專題五平面解析幾何(1)

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1、專題五 平面解析幾何 第一講 直線和圓的方程聚焦高考命題要點(diǎn)：（1）直線方程的各種形式；（2）直線方程的幾個特征值的運(yùn)用（如傾斜角、斜率、截距、方向向量、法向量等）；（3）圓方程的兩種形式；（4）直線與圓的位置關(guān)系及圓和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用。命題趨勢：（1）直線方程考察的重點(diǎn)是直線方程的特征值（主要是直線的斜率、截距等）有關(guān)問題，可與三角知識聯(lián)系；（2）圓的方程的考查主要是圓的兩種程方程的確定，特別是待定系數(shù)法確定圓的方程。（3）直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系要注重用幾何法處理相關(guān)問題，要注意培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想?？键c(diǎn)整合1傾斜角：一條直線L與X軸相交時，將X軸繞交點(diǎn)向逆時針方向旋轉(zhuǎn)與L重合時所轉(zhuǎn)

2、過的最小正角，叫做直線的傾斜角，當(dāng)直線L與X軸平行或重合時規(guī)定傾斜角為0，所以傾斜角的范圍為。2斜率：當(dāng)直線的傾斜角不是900時，則稱其正切值為該直線的斜率，即k=tan;當(dāng)直線的傾斜角等于900時，直線的斜率不存在.說明：平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一條直線都有傾斜角，但不是每一條直線都有斜率。 斜率與傾斜角的關(guān)系如圖：3.過兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1x2)的直線的斜率公式:k=tan（若x1x2，則直線P1P2的斜率不存在，此時直線的傾斜角為900。4.方向向量：當(dāng)向量與直線L平行時，稱此向量為方向向量。斜率k=5.法向量：當(dāng)向量與直線垂直時，稱此向量為法向量。斜率k=6直線

3、方程的六種形式確定直線方程需要有兩個互相獨(dú)立的條件。確定直線方程的形式很多，但必須注意各種形式的直線方程的適用范圍。名稱方程說明適用條件斜截式y(tǒng)=kx+bk斜率b縱截距傾斜角為90的直線不能用此式點(diǎn)斜式y(tǒng)-y0=k(x-x0)(x0，y0)直線上已知點(diǎn)，k斜率傾斜角為90的直線不能用此式兩點(diǎn)式=(x1，y1)，(x2，y2)是直線上兩個已知點(diǎn)與兩坐標(biāo)軸平行的直線不能用此式點(diǎn)法式A、B不能同時為零截距式+=1a直線的橫截距b直線的縱截距過（0，0）及與兩坐標(biāo)軸平行的直線不能用此式一般式Ax+By+C=0，分別為斜率、橫截距和縱截距A、B不能同時為零7. 兩條直線的位置關(guān)系：（1）當(dāng)直線方程為、時

4、，若，則；若、重合，則；若，則。（2）當(dāng)兩直線方程為時，若，則；若、重合，則；若，則。 說明：利用斜率來判斷兩條直線的位置關(guān)系時，必須是在兩直線斜率都存在的前提下才行，否則就會得出錯誤結(jié)論，而利用兩條直線的一般式方程的系數(shù)來判斷就不易出錯。8幾個距離公式（1）兩點(diǎn)間的距離公式：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則AB=（2）點(diǎn)到直線的距離公式：點(diǎn)A（x0,y0）到直線Ax+By+C=0的距離(3)平行線間的距離公式：設(shè)兩平行線方程為Ax+By+C1=0和Ax+By+C2=0，則它們之間的距離9圓的方程(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：圓心為，半徑為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為。特殊地，當(dāng)時，圓心在原點(diǎn)的圓的方程為

5、：。（2）圓的一般方程：，圓心為點(diǎn)，半徑，其中。說明：二元二次方程，表示圓的方程的充要條件是：、項(xiàng)項(xiàng)的系數(shù)相同且不為0，即；、沒有xy項(xiàng)，即B=0；、。10.直線與圓的位置關(guān)系有三種 ：設(shè)圓心到直線的距離為d,半徑為r,則 ; ; 11.圓和圓的位置關(guān)系有五種：設(shè)兩圓圓心分別為O1，O2，半徑分別為r1，r2，典例剖析【例1】（1）若直線l的方程是y = x+ 2，則（）A.一定是直線l的傾斜角B. 一定不是直線l的傾斜角C.一定是直線l的傾斜角D. 不一定是直線l的傾斜角解析：設(shè)傾斜角為，則 ，而是任意角，所以選D。(2)若圖中的直線l1、l2、l3的斜率分別為k1、k2、k3，則有( )A

6、.k1k2k3 B.k3k1k2 C.k3k2k1 D.k1k3k2解析：由傾斜角和斜率的關(guān)系可知，l1的斜率為負(fù)且最小，l2的斜率比l3的斜率大且為正數(shù)，所以選D(3)設(shè)點(diǎn)A(2，-3)，B(-3，-2)，直線l過點(diǎn)P(1，1)且與線段AB相交，則l的斜率k的取值范圍是( )A.k或k-4B.k或k- C.-4kD.- k4解析：易算出，若直線l要與線段AB相交，由數(shù)形結(jié)合易知選A.(4)若為三角形中最大內(nèi)角，則直線的傾斜角的范圍是（ ） A. B. C. D. 解析：是三角形中的最大內(nèi)角， 直線的斜率它的傾斜角的范圍是，選A方法提煉傾斜角和斜率的關(guān)系符合“正切函數(shù)在和上均遞增”這一性質(zhì)，且

7、在上斜率為正，在上斜率為負(fù)，注意數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用?！纠?】（1）（2008四川.理4）直線繞原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，再向右平移個單位，所得到的直線為( ).解析：直線繞原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)的直線為，從而淘汰，D 又將向右平移個單位得，即 故選A；（2）已知直線在兩軸上的截距之和是2，并且經(jīng)過(2，3 ) ，則直線方程為( ) A3x2y + 12 = 0 B. x + y1 = 0 C.x2y + 4 = 0或3x + y3 = 0 D. 2y3x12 = 0或y = 1x解析：設(shè)直線的方程為截距式，則有解得a=b=1或a=-4,b=6,所以選D方法提煉要注意根據(jù)題目條件靈活選擇適當(dāng)?shù)闹本€形式，要注意待定

8、系數(shù)法這一方法的應(yīng)用。 【例3】 已知直線和點(diǎn)，過點(diǎn)做直線與已知直線l1相交于點(diǎn)，且，求直線的方程。 解析：過點(diǎn)與軸平行的直線為，解方程 求得點(diǎn)坐標(biāo)為，此時，即為所求。設(shè)過且與軸不平行的直線為：，解方程組 得兩直線交點(diǎn)為（，否則與已知直線平行） 由已知 解得， 即為所求方法提煉利用待定系數(shù)法設(shè)直線方程時要注意方程形式的條件，解題時一般先考慮特殊情形?！纠?】已知直線經(jīng)過點(diǎn)P（-5，-4），且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為5，求直線的方程。 解析：設(shè)所求直線的方程為， 直線過點(diǎn)P（-5，-4），即。 又由已知有，即， 解方程組，得：或 故所求直線的方程為：，或。 即，或 方法提煉 要求的方程，須先

9、求截距a、b的值，而求截距的方法也有三種： （1）從點(diǎn)的坐標(biāo)或中直接觀察出來； （2）由斜截式或截距式方程確定截距；（3）在其他形式的直線方程中，令得軸上的截距b；令得出x軸上的截距a?！纠?】（1）過點(diǎn)作直線l交x軸、y軸的正半軸于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)取最小值時，求直線l的方程解析：設(shè)l：（k0）內(nèi)異于圓心的一點(diǎn)，則直線x0x+y0y=r2與此圓的位置關(guān)系是（ ）A相交 B.相切 C.相離 D.不能確定解析：圓心O（0，0）到直線x0x+y0y=r2的距離為d=P（x0，y0）在圓內(nèi)，r，故直線和圓相離選C.7.設(shè)、，點(diǎn)P在x軸上，則的最小值是_解析：取A點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，則最小值為8.實(shí)數(shù)滿足

10、(13)，則的最大值、最小值分別是_解析: 設(shè)，因?yàn)榫€段的兩端點(diǎn)為（1，-1），（3，2），所以-1k,答案最大值為,最小值為-1.9.曲線與直線y=k（x-2）+4有兩個交點(diǎn),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_解析: 曲線表示半圓,直線過定點(diǎn)（2，4），由數(shù)形結(jié)合，當(dāng)線圓相切時k=,有兩個交點(diǎn)需k10.圓心在直線2xy7=0上的圓C與y軸交于兩點(diǎn)A（0，4）、B（0，2），則圓C的方程為_解析：圓C與y軸交于A（0，4），B（0，2），由垂徑定理得圓心在y=3這條直線上又已知圓心在直線2xy7=0上，聯(lián)立y=3，2xy7=0 解得x=2，圓心為（2，3），半徑r=|AC|=所求圓C的方程為（x2）2+（

11、y+3）2=511.已知圓C: x2+y2-2x+4y-4=0,是否存在斜率為1的直線L,使以L被圓C截得弦AB為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)?若存在,寫出直線的方程;若不存在,說明理由.解析:設(shè)直線L的斜率為，且L的方程為y=x+b,則消元得方程x2+（2b+2）x+b2+4b-4=0,設(shè)此方程兩根為x1,x2，則x1x2（b+1）,y1+y2= x1x2+2b=b-1,則中點(diǎn)為，又弦長為，由題意可列式解得b=1或b=-9,經(jīng)檢驗(yàn)b=-9不合題意所以所求直線方程為y=x+112.自點(diǎn)A(-3,3)發(fā)出的光線射到x軸上,被x軸反射,其反射光線所在的直線與圓相切,求光線所在的直線方程解析：由已知可得圓C：關(guān)于x軸對稱的圓C的方程為，其圓心C（2，-2），則與圓C相切，設(shè): y-3=k(x+3),，整理得12k2+ 25k+12=0, 解得或，所以所求直線方程為y-3= (x+3)或 y-3= (x+3)，即 3x+4y-3=0或4x+3y+3=012