靜態(tài)場及其邊值問題的解[潘錦].ppt

《靜態(tài)場及其邊值問題的解[潘錦].ppt》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《靜態(tài)場及其邊值問題的解[潘錦].ppt（152頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、1,分析求解電磁問題的基本出發(fā)點和強制條件,出發(fā)點,,Maxwell方程組,,條 件,本構關系,,邊界條件,,,,,,2,分類分析求解電磁問題,,,靜態(tài)電磁場,,,電磁波,按時間變化情況,,,,,,第3章,第4、5、6、7、8章,3,第三章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解,4,出發(fā)點,,Maxwell方程組,,條 件,本構關系,,邊界條件,,,,,,靜態(tài)電磁場問題,特點：電場和磁場獨立,5,分類分析求解靜態(tài)電磁場問題,靜態(tài)電場,按場的類型,,,,,,靜態(tài)磁場,6,出發(fā)點,,Maxwell方程組,,條 件,本構關系,,邊界條件,,,,,,靜態(tài)電場問題,按電荷靜止或運動情況分類,,,,靜電場,恒定電流

2、場,,靜止 任意,勻速運動 有限,7,出發(fā)點,,Maxwell方程組,,條 件,本構關系,,邊界條件,,,,,,靜態(tài)（恒定）磁場問題,8,本章內(nèi)容安排 3.1 靜電場分析 3.2 導電媒質(zhì)中的恒定電場分析 3.3 恒定磁場分析 3.4 靜態(tài)場的邊值問題及解的惟一性定理 3.5 鏡像法 3.6 分離變量法,9,靜態(tài)電場問題,按電荷靜止或運動情況分類,,,,靜電場,恒定電流場,,,靜止 任意,勻速運動 有限,10,面對的問題？ 分析方法？ 典型應用？ 關聯(lián)的一般性物理問題？,11,3.1 靜電場分析,學習內(nèi)容 3.1.1 靜電場的基本方程和邊界條件 3.1.2 電位函數(shù) 3.1.3

3、 導體系統(tǒng)的電容與部分電容 3.1.4 靜電場的能量 3.1.5 靜電力,12,面對的問題: 存在什么源？ 在何媒質(zhì)環(huán)境中？ 有何突變邊界？ 分析方法？ 典型應用？ 關聯(lián)的一般性物理問題？,13,2. 邊界條件（一般性問題）,微分形式：,本構關系：,1. 基本方程（一般性問題）,積分形式：,或,3.1.1 靜電場的基本方程和邊界條件,3. 按媒質(zhì)分類的兩類問題（特殊性問題）,理想介質(zhì)：,存在導體：,14,導體內(nèi)部的電場為零,或,理想介質(zhì)情況,導體情況,界面兩側場矢量的方向關系,介質(zhì)表面的自然邊界條件,靜電平衡,導體表面的邊界條件,,,導體,介質(zhì),,,,15,面對的問題！ 分析求解方法： 已有方

4、法及其適用范圍？ 利用靜電場的特性，研究新方法及其優(yōu)越性？ 典型應用？ 關聯(lián)的一般性物理問題？,16,由,稱為靜電場的標量電位函數(shù)或簡稱電位。,1. 電位函數(shù)的定義,,3.1.2 電位函數(shù),優(yōu)越性：求矢量函數(shù)的問題轉化為求標量函數(shù)的問題,17,求,2. 電場強度與電位函數(shù)的關系,,已知,已知,求,如何求出電位函數(shù)？,18,在均勻介質(zhì)區(qū)域中，有,3. 電位的微分方程,在無源區(qū)域，,,,,電荷區(qū),19,4. 利用電位求無限大均勻媒質(zhì)空間中的問題,點電荷源情況：,,,,,,,20,4. 利用電位求無限大均勻媒質(zhì)空間中的問題(續(xù)),任意電荷源情況：(元電荷產(chǎn)生電位的迭加）,體分布電荷源,,,面分布電荷

5、源,,線分布電荷源,21,5. 利用電位求存在不同媒質(zhì)空間中的問題,導體表面邊界面,兩理想介質(zhì)分界面 （無強加自由電荷）,,常數(shù)，,,靜電位的邊界條件(任意靜電場情況),,,實際問題中典型的靜電場情況,22,6. 由電位函數(shù)引出的經(jīng)典物理量電壓（電位差）,電場力做的功,,問題：選擇不同的積分路徑會改變電壓的計算結果嗎？,23,靜電位不惟一，可以相差一個常數(shù)，即無確定值,選參考點,,令參考點電位為零,電位確定值 (與零電位點的電壓),,選擇電位參考點的原則 應使電位表達式有意義。 應使電位表達式最簡單。 同一個問題只能有一個參考點。,7. 電位參考點,解決辦法：,24,例 3.1.1 求電偶極子

6、的電位和電場強度.,解 在球坐標系中,用二項式展開，由于，得,代入上式，得,表示電偶極矩，方向由負電荷指向正電荷。,化簡,25,將 和 代入上式，解得E線方程為,,電力線的微分方程：,等位線方程：,求電場強度,26,解 選定均勻電場空間中的一點O為坐標 原點，而任意點P 的位置矢量為r ，則,若選擇點O為電位參考點，即 ，則,例3.1.2 求均勻電場的電位分布。,,用拉普拉斯方程如何求解,27,解 建立一個最好的坐標系，如圖，則,例3.1.3 求長度為2L、電荷線密度為 的均勻帶電線的電位。,選一個最利的電位參考點確定C，例如 則C=0,28,任選有限遠處的某點為電位參考點，例

7、如，= a 點，則有,,求無限長直均勻線電荷產(chǎn)生的電位,最有利的零電位點選擇？,29,例3.1.4 兩塊無限大接地導體平板分別置于 x = 0 和 x = a 處，在兩板之間的 x = b 處有一面密度為 的均勻電荷分布，如圖所示。求兩導體平板之間的電位和電場。,解,方程的解為,分析,用直接積分方法求解？,30,最后得,確定待定常數(shù),利用邊界條件,方法,,31,兩區(qū)的介質(zhì)不同？ 用高斯定理求解？ 用Maxwell微分方程求解？ 其它坐標系下的同類問題？,延伸應用思考：,32,面對的問題！ 分析求解方法！ 典型應用： 靜電感應 靜電屏蔽 關聯(lián)的一般性物理問題？,33,電容器在實際問題中的作用：

8、,,3.1.3 導體系統(tǒng)的電容與部分電容,典型的有利作用： 儲能、濾波、移相、隔直、旁路、選頻等,典型的不利作用： 電容耦合系統(tǒng)和部件產(chǎn)生的電磁兼容問題,34,1. 電容,孤立導體的電容,兩導體所組成電容器的電容,*多導體系統(tǒng)中導體兩兩間形成部分電容,35,導體系統(tǒng)的結構、尺寸、形狀和其周圍的電介質(zhì) 與導體的帶電量和電位無關,決定電容量大小的因素,36,假定導體/兩導體帶電荷q /q 求導體/兩導體間的電位/電壓,方法一：,求解電容量的方法 （利用與導體的帶電量和電位無關）,方法二：,按定義求得電容,假定導體/兩導體的電位/電壓 求導體表面所帶電量q,37,解：設內(nèi)導體的電荷為q ，則由高斯定

9、理可求得內(nèi)外導體間的電場,同心導體間的電壓,,球形電容器的電容,當 時，,例3.1.4 同心球形電容器的內(nèi)導體半徑為a 、外導體半徑為b，其間填充介電常數(shù)為的均勻介質(zhì)。求此球形電容器的電容。,38,例 3.1.5 如圖所示的平行雙線傳輸線，導線半徑為a ，兩導線的軸線距離為D ，且D a ，求傳輸線單位長度的電容。,解 設兩導線上的帶電量分別為 和 。由于 ，故可近似地認為電荷在各導線表面均勻分布。因此導線間x處的電場強度為,兩導線間的電位差,故單位長度的電容為,39,例3.1.6 同軸線內(nèi)導體半徑為a ，外導體半徑為b ，內(nèi)外導體間填充的介電常數(shù)為 的均勻介質(zhì)，求同軸線單位長度的電

10、容。,內(nèi)外導體間的電位差,解 設同軸線的內(nèi)、外導體單位長度帶電量分別為 和 ，應用高斯定理可得到內(nèi)外導體間任一點的電場強度為,故得同軸線單位長度的電容為,40,面對的問題！ 分析求解方法！ 典型應用! 關聯(lián)的一般性物理問題: 靜電場的能量 電容的儲能,41,,靜電場能量的分布空間,靜電場具有能量的實驗證據(jù),3.1.4 靜電場的能量,42,,1. 靜電場的能量,通過電位計算,體分布電荷情況,面分布電荷,電容器的儲能, 第i 個導體所帶的電荷, 第i 個導體的電位,式中：,43,2. 電場能量密度,電場能量密度：,電場的總能量：,對于線性、各向同性介質(zhì)，則有,通過電場分布計算,44,由于體積V

11、外的電荷密度0，若將上式中的積分區(qū)域擴大到整個場空間，結果仍然成立。只要電荷分布在有限區(qū)域內(nèi)，當閉合面S 無限擴大時，則有,故,推證：,,,,,45,例3.1.7 半徑為a 的球形空間內(nèi)均勻分布有電荷體密度為的電荷，試求靜電場能量。,解： 方法一，利用 計算,根據(jù)高斯定理求得電場強度,故,46,方法二：利用 計算,先求出電位分布,故,47,靜態(tài)電場問題,按電荷靜止或運動情況分類,,,,靜電場,恒定電流場,,,靜止 任意,勻速運動 有限,48,面對的問題？ 分析方法？ 典型應用？ 關聯(lián)的一般性物理問題？,49,3.2 導電媒質(zhì)中的恒定電場分析,3.2.1 恒定電場的基本方程和

12、邊界條件 3.2.2 恒定電場與靜電場的比擬 3.2.3 漏電導,50,面對的問題: 存在什么源？ 在何媒質(zhì)環(huán)境中？ 有何特殊現(xiàn)象？ 邊界有何物理量的突變？ 分析方法？ 典型應用？ 關聯(lián)的一般性物理問題？,51,什么情況下會產(chǎn)生恒定電流場的問題？ 導電媒質(zhì)中存在電場的時候！,52,出發(fā)點,,Maxwell方程組,,條 件,本構關系,,邊界條件,,,,,,靜態(tài)電場問題,53,2. 邊界條件（一般性問題）,微分形式：,本構關系：,1. 基本方程（一般性問題）,積分形式：,或,3. 按媒質(zhì)分類的兩類問題（特殊性問題）,導電媒質(zhì)：,存在介質(zhì)：,3.2.1 恒定電場的基本方程和邊界條件,均勻導電媒質(zhì)

13、中存在凈電荷？,54,導電媒質(zhì)情況,存在介質(zhì)情況,界面兩側場矢量的方向關系,分界上兩側的邊界條件,界面上兩側場量的特殊性,,,導體,介質(zhì),,,,,面電荷？,導體是等位體？,有限,,55,56,面對的問題！ 分析方法： 哪些方法最適合？ 典型應用？ 關聯(lián)的一般性物理問題？,57,什么情況下會產(chǎn)生恒定電流場的問題？ 導電媒質(zhì)中存在電場的時候！ 分析解決問題的關鍵是求電場強度 基于已知電荷的方法 基于電流（歐姆定律） 基于電位的方法,58,（1）利用歐姆定律（導電媒質(zhì)的本構關系）表示了電場強度,基于電流求解分析恒定電場問題的方法,（2）用已知量（通常是激勵電壓）表示出未知量,59,電位函數(shù)滿足Lap

14、lace方程,基于電位求解分析恒定電場問題的方法,電位的邊界條件,,60,例3.2.1一個有兩層介質(zhì)的平行板電容器，其參數(shù)分別為1、1 和 2、2 ，外加電壓U。求介質(zhì)面上的自由電荷密度。,解：極板是理想導體，為等位面，電流沿z 方向。,,,,,,61,例3.2.2 如圖示設內(nèi)導體的電壓為U0 ，外導體接地。求：（1）同軸線中各區(qū)域中的電流密度和電場強度分布；（2）各分界面上的自由電荷面密度。,,,,外導體,內(nèi)導體,介質(zhì)2,,,,,,,介質(zhì)1,,,,,,,,62,（1）設同軸電纜中的徑向電流為I ,則由 可得電流密度,介質(zhì)中的電場,解 電流由內(nèi)導體流向外導體，在分界面上只有法向分量

15、，所以電流密度成軸對稱分布。,單位長度的徑向電流,63,故兩種介質(zhì)中的電流密度和電場強度分別為,由于,于是得到,64,（2）由 可得，介質(zhì)1內(nèi)表面的電荷面密度為,介質(zhì)2外表面的電荷面密度為,兩種介質(zhì)分界面上的電荷面密度為,65,面對的問題！ 分析方法！ 典型應用： 導體的電阻和電導 關聯(lián)的一般性物理問題？,66,3.2.3 電阻和電導,67,(1) 假定兩電極間的電流為I ； 由 ，求出兩導 體間的電位差； (3) 由定義求電導：,計算電導的方法一：,計算電導的方法二：,(1) 假定兩電極間的電位差為U； (2) 由 ，求出兩導體 間電流； (3) 由定義求電導：

16、,,,計算電導的方法三：,靜電比擬法：,68,恒定電場與靜電場的比擬,,,基本方程,靜電場（ 區(qū)域）,,,,,,,,,,,本構關系,位函數(shù),邊界條件,恒定電場（電源外）,69,例3.2.3 求同軸電纜的絕緣電阻。設內(nèi)外的半徑分別為a 、b，長度為l ，其間媒質(zhì)的電導率為、介電常數(shù)為。,解：直接用恒定電場的計算方法,電導,絕緣電阻,,,設由內(nèi)導體流向外導體的電流為I 。,70,方程通解為,例3.2.4 在一塊厚度為h 的導電板上， 由兩個半徑為r1 和 r2 的圓弧和夾角為 0 的兩半徑割出的一段環(huán)形導電媒質(zhì)，如圖所示。計算沿 方向的兩電極之間的電阻。設導電媒質(zhì)的電導率為。,解： 設在沿 方向的

17、兩電極之間外加電壓U0，則電流沿 方向流動，而且電流密度是隨 變化的。但容易判定電位 只是變量 的函數(shù)，因此電位函數(shù) 滿足一維拉普拉斯方程,代入邊界條件,可以得到,71,電流密度,兩電極之間的電流,故沿 方向的兩電極之間的電阻為,所以,72,面對的問題！ 分析方法！ 典型應用！ 關聯(lián)的一般性物理問題： 功耗,73,導體媒質(zhì)的功耗,功耗密度和功耗,為什么電阻R消耗的功率是,74,分類分析求解電磁問題,,,靜態(tài)電磁場,,,電磁波,按時間變化情況,,,,,,第3章,第4、5、6、7、8章,75,分類分析求解靜態(tài)電磁場問題,靜態(tài)電場,按場的類型,,,,,,靜態(tài)磁場,,,,,靜電場,恒定電場,76,一、

18、靜止電荷產(chǎn)生的場（靜電場）,導體（ ）內(nèi)部的電場為零 導體表面的切向電場為零 等勢體 導體內(nèi)部的電荷為零 電荷只能位于導體表面，密集于表面類銳部分 應用：靜電感應，靜電屏蔽，避雷針， ,靜態(tài)電場的典型現(xiàn)象和結論,,77,二、運動電荷產(chǎn)生的直流電場（恒定電場）,導體（ ）內(nèi)部可存在電場 導體表面的切向電場一般非零 非等勢體 導體內(nèi)部可有運動電荷，但凈電荷量為零 凈電荷只能位于導體表面 理想導體（ ）內(nèi)部電場為零，電流為零 理想導體邊界上的電場垂直于表面 等勢體,典型靜電場現(xiàn)象,,,78,進一步理解靜電場和恒定電場,思考題：,,,,,,,,,,,導體,U,求：1） ；2）儲能或功耗？

19、,,,,,,,,導體,,,w,,,,,t,,,0,,,t,,,,,,,U,,,,,,79,分類分析求解靜態(tài)電磁場問題,靜態(tài)電場,按場的類型,,,,,,靜態(tài)磁場,80,面對的問題？ 分析方法？ 典型應用？ 關聯(lián)的一般性物理問題？,靜態(tài)磁場,81,3.3.1 恒定磁場的基本方程和邊界條件 3.3.2 恒定磁場的矢量磁位和標量磁位 3.3.3 電感 3.3.4 恒定磁場的能量 3.3.5 磁場力,3.3 恒定磁場分析,82,面對的問題: 存在什么源？ 在何媒質(zhì)環(huán)境中？ 突變邊界上有何現(xiàn)象？ 分析方法？ 典型應用？ 關聯(lián)的一般性物理問題？,靜態(tài)磁場,83,出發(fā)點,,Maxwell方程組,,條 件,本

20、構關系,,邊界條件,,,,,,靜態(tài)（恒定）磁場問題,84,2. 邊界條件（一般性問題）,微分形式：,本構關系：,1. 基本方程（一般性問題）,積分形式：,3.3.1 恒定磁場的基本方程和邊界條件,或,85,面對的問題: 存在什么源？ 在何媒質(zhì)環(huán)境中？ 突變邊界上有何現(xiàn)象？ 分析方法？ 典型應用？ 關聯(lián)的一般性物理問題？,靜態(tài)磁場,86,面對的問題！ 分析求解方法： 已有方法及其適用范圍？ 利用靜磁場的特性，研究新方法及其優(yōu)越性？ 典型應用？ 關聯(lián)的一般性物理問題？,靜態(tài)磁場,87,稱為矢量磁位或簡稱磁矢位。,1. 矢量磁位的定義,3.3.2 恒定磁場的矢量磁位,優(yōu)越性：可以任意選擇規(guī)定磁矢位的

21、散度,,在恒定磁場中通常規(guī)定，并稱為庫侖規(guī)范。,如何求出電位函數(shù)？,88,2. 磁矢位的微分方程（一般性問題）,在無源區(qū)：,,,,89,,3. 無限大均勻媒質(zhì)空間中的問題 （特殊性問題）,類比方法求解,,,,,90,3. 無限大均勻媒質(zhì)空間中的問題(續(xù)),對于電流的不同分布形式：,體電流分布,面電流分布,線上的電流,91,4. 存在不同媒質(zhì)空間中的問題（一般性問題）,磁矢位的邊界條件,,,,,,,92,面對的問題！ 分析求解方法： 已有方法及其適用范圍？ 利用靜電場的特性，研究新方法及其優(yōu)越性？ 典型應用？ 關聯(lián)的一般性物理問題？,靜態(tài)磁場,93,面對的問題！ 分析求解方法！ 典型應用： 電感

22、（自感、互感） 關聯(lián)的一般性物理問題？,靜態(tài)磁場,94,1. 磁通與磁鏈,3.3.3 電感,,,,,,,,,C,,回路,磁通,磁鏈,,,,,,,C,I,電流回路,特征：回路可以是任意幾何回路,與所有電流回路鉸鏈的總磁通,,特征： 回路是電流回路 計入電流存在的所有回路 每個回路是計入與之鉸鏈的全部磁通,,,,,,I,95,n: 為磁場鉸鏈的電流與回路電流I 之比 （不一定為整數(shù)）,,單匝線圈,多匝線圈,粗導線回路,磁鏈計算,o :外磁鏈； i :內(nèi)磁鏈,96,稱為導體回路 C 的自感系數(shù)，簡稱自感。, 外自感,2. 自感, 內(nèi)自感；,粗導體回路的自感：L = Li + Lo,自感只與回路的幾何

23、形狀、尺寸以及周圍的磁介質(zhì)有關，與電流和磁鏈的大小無關。,自感的特點：,特征：磁鏈是I自已產(chǎn)生的,97,回路 C1 對回路 C2 的互感系數(shù)，簡稱互感。,3. 互感,同理，回路 C2 對回路 C1 的互感為,,,,,,C1,C2,I1,I2,特征： 在C2中看由I1產(chǎn)生的磁鏈,特征： 在C1中看由I2產(chǎn)生的磁鏈,紐曼公式,,,C1 中總磁鏈:1總 =1+12,C2 中總磁鏈:2總 =2 +21,思考： 1總 =？； 2總 =？,98,4. 紐曼公式的證明,紐曼公式,所以：,同理：,而：,故：,99,面對的問題！ 分析求解方法！ 典型應用！ 關聯(lián)的一般性物理問題： 磁場能量 電感的儲能,靜態(tài)磁場

24、,100,,磁場能量的分布空間,磁場具有能量的實驗證據(jù),3.3.4 恒定磁場的能量,哪里有磁場，哪里就有磁場能量！,101,1. 通過磁場分布計算磁場能量,磁場能量密度：,磁場能量：,對于線性各向同性媒質(zhì)，則有,102,,體分布電流時,面分布電流時,回路線電流時,2. 通過磁矢位計算磁場能量,103,3. 通過電感計算磁場能量,電感儲能（單個載流回路）：,電感儲能（ N個載流回路）：,例如對2個載流回路,104,面對的問題！ 分析求解方法！ 典型應用！ 關聯(lián)的一般性物理問題！,靜態(tài)磁場！,105,解：先求長度為2L 的直線電流的磁矢位。電流元 到點 的距離 。則,例

25、3.3.2 求無限長線電流 I 的磁矢位，設電流沿+z 方向流動。,與計算無限長線電荷的電位一樣，令 可得到無限長線電流的磁矢位,106,解：先求內(nèi)導體的內(nèi)自感。設同軸線中的電流為I ，由安培環(huán)路定理,處面元的磁通為,例3.3.4 求同軸線單位長度的自感。,得,則其磁鏈為,107,因此內(nèi)導體中總的內(nèi)磁鏈為,故單位長度的內(nèi)自感為,再求內(nèi)、外導體間的外自感。,,則,故單位長度的外自感為,單位長度的總自感為,108,例3.3.5 計算平行雙線傳輸線單位長度的自感。（D a ）,外磁鏈為，,解 應用安培環(huán)路定理和疊加原理 可得，,于是單位長度的外自感為，,109,兩根導線單位長度的內(nèi)自感為,

26、故得到平行雙線傳輸線單位長度的自感為,110,例3.3.8 試求同軸電纜中單位長度儲存的磁場能量與自感。,解：由安培環(huán)路定理，得,111,三個區(qū)域單位長度內(nèi)的磁場能量分別為,112,單位長度內(nèi)總的磁場能量為,單位長度的總自感,內(nèi)導體的內(nèi)自感,,,內(nèi)外導體間的外自感,,,113,分類分析求解靜態(tài)電磁場問題,靜態(tài)電場,按場的類型,,,,,,靜態(tài)磁場,114,出發(fā)點,,Maxwell方程組,,條 件,本構關系,,邊界條件,,,,,,直接針對場量計算的靜態(tài)電磁場分析方法,115,電位函數(shù)滿足Poisson方程,基于電位求解分析靜態(tài)電場問題的方法,電位的邊界條件,通過位函數(shù)間接計算靜態(tài)電磁場的分析方法,

27、116,磁矢位的邊界條件,磁矢位函數(shù)滿足Poisson方程,基于磁矢位求解分析靜態(tài)磁場問題的方法,117,具有強對稱性的問題,無限大的均勻媒質(zhì)空間中的問題,已經(jīng)學習掌握的分析能力,待求場量或位函數(shù)具有單一坐標變量依賴的特征?。?！,（一維問題）,（包括高維問題）,118,對于高維問題(多自變量) 如何著手分析？ 求解邊值問題！ 邊值問題的描述 邊值問題的解法,119,3.4 靜態(tài)場的邊值問題,討論內(nèi)容 3.4.1 邊值問題的類型 3.4.2 惟一性定理,邊值問題：在給定的邊界條件下，求解位函數(shù)的 泊松方程或拉普拉斯方程,120,求解邊值問題： 邊值問題的描述 邊值問題的解法,1

28、21,3.4.1 邊值問題的類型,給定,第一類邊值問題（或狄里赫利問題）,給定,給定,第三類邊值問題（或混合邊值問題）,第二類邊值問題（或紐曼問題）,V：求解域 S：V的包圍面,122,自然邊界條件 （無界空間）,要求：掌握用解邊值問題的思想求解 任意復雜問題的數(shù)學描述方法,123,例：,（第一類邊值問題）,（第三類邊值問題）,例：,124,求解邊值問題： 邊值問題的描述 邊值問題的解法 鏡象法 分離變量法 有限差分法 ..,125,在求解域V內(nèi)保持待求量的方程不變，同時，在V的包圍邊界面S上保持給定的 或 的邊值不變，則泊松方程或拉普拉斯方程在場域V 內(nèi)的解惟一。,3.4.2 惟一性定

29、理,惟一性定理的重要意義,給出了邊值問題具有惟一解的條件,為求解場問題的各種求解方法提供了理論依據(jù),為求解結果的正確性提供了判據(jù),惟一性定理的表述,V：求解域 S：V的包圍面,126,3.5.1 鏡像法的基本原理 3.5.2 接地導體平面的鏡像 3.5.3 導體球面的鏡像 3.5.4 導體圓柱面的鏡像 3.5.5 點電荷與無限大電介質(zhì)平面的鏡像 3.5.6 線電流與無限大磁介質(zhì)平面的鏡像,3.5 鏡像法,127,,1. 問題的提出,幾個實例 接地導體板附近有一個點電荷，如圖所示。,,q,q,非均勻感應面電荷,等效電荷,,3.5.1 鏡像法的基本原理,,128,接地導體球附近有一個點電

30、荷，如圖。,接地導體柱附近有一個線電荷。情況與上例類似，但等效電 荷為線電荷。,,,q,非均勻感應電荷,,q,等效電荷,,問題：這種等效電荷是否存在？ 這種等效是否合理？,,129,2. 鏡像法的原理,方法： 在求解域外設置等效電荷，集中代表邊界上分布電荷的作用,3. 鏡像法的理論基礎,目的： 使復雜邊值問題，化為無限大單一媒質(zhì)空間的問題,解的惟一性定理,130,像電荷的個數(shù)、位置及其電量大小確定“三要素”,4. 鏡像法應用的關鍵點,5. 確定鏡像電荷的兩條原則,明確等效求解的“有效場域”,鏡像電荷的確定,像電荷必須位于求解域以外,像電荷的個數(shù)、位置及電荷量的大小的選擇目標 是保持問題的邊

31、界條件不變,131,,1. 點電荷對無限大接地導體平面的鏡像,,滿足原邊值問題，所得的結果正確！,3.5.2 接地導體平面的鏡像,鏡像電荷,電位函數(shù),因z = 0時，,,有效區(qū)域,,,,132,求接地平板導體上的感應電荷面密度和總電荷量,,q,,,導體平面上的感應電荷密度為,導體平面上的總感應電荷為,133,2. 線電荷對無限大接地導體平面的鏡像,鏡像線電荷：,電位函數(shù)：,邊值 問題,當z = 0 時，,,滿足原邊值問題， 所得的結果正確！,134,3. 點電荷對相交半無限大接地導體平面的鏡像,q對于平面1: 有鏡像電荷q1=q，位于(d1, d2 ),q對于平面2: 有鏡像電荷q2=q，位于

32、( d1, d2 ),求得電位函數(shù)為：,q1對于平面2及q2對于平面1: 有鏡像電荷q3=q，位于( -d1, d2 ),135,例3.5.1 一個點電荷q與無限大導體平面距離為d，如果把它移至無窮遠處，需要做多少功？,解：,,,136,3.5.3 導體球面的鏡像,1. 點電荷對接地導體球面的鏡像,方法: ?,問題：,邊界條件！,137,,像電荷的電量,,,常數(shù),138,可見，導體球面上的總感應電荷也與所設置的鏡像電荷相等。,求球面上的感應電荷密度和總電荷,導體球面上的總感應電荷為,球面上的感應電荷面密度為,139,點電荷對接地空心導體球殼的鏡像,| q||q| 與外半徑 b 無關（為什么？）

33、,140,感應面密度為：,導體球內(nèi)表面的總感應電荷為,求球殼內(nèi)表面上的感應電荷密度和總電荷,等效電荷量總是等于感應電荷量？,等效電荷量總是等于感應電荷量？ NO！,141,2 . 點電荷對不接地導體球的鏡像,導體球不接地時的特點：,導體等勢但不為零,球面上感應電荷總量為零,負電荷分布同接地球球分布？ 正電荷均勻分布？,感應電荷的面分布為：,142,用鏡像法要求分析求解的問題,1. 平面（接地）導體 2. 球面（接地）導體（包括球內(nèi)、球外） 3. 球面（不接地）導體（包括球內(nèi)、球外） 思考題： 求不接地無限大導體上點電荷的電位函數(shù)？,143,分析方法總結,已經(jīng)學到的方法和可以解決的問題 無限大單

34、一媒質(zhì)空間的問題（一維、二維、三維問題） 場-源直接積分法 積分方程方法（Maxwell方程的積分形式） 微分方程方法（Maxwell方程的微分形式、Poisson方程） 2. 單一/非單一媒質(zhì)空間的問題（一維問題） Gauss定律、安培環(huán)路定律（積分方程簡化為代數(shù)方程） Poisson方程（偏微分方程簡化為常微分方程） 3. 非單一媒質(zhì)空間的高維問題 鏡像法,144,3.6 分離變量法,3.6.1 分離變量法解題的基本原理 3.6.2 直角坐標系中的分離變量法 3.6.3 圓柱坐標系中的分離變量法 3.6.4 球坐標系中的分離變量法,145,將未知函數(shù)對其多自變量（高維問題）的依賴關系

35、，化為對各自變量單獨依賴的關系（變量可分離），從而實現(xiàn)將高維問題轉化為一維問題求解,分離變量法是求解邊值問題的一種一般性方法,分離變量法的理論依據(jù)是惟一性定理,分離變量法解題的基本思路：,3.6.1 分離變量法解題的基本原理,146,在直角坐標系中，若位函數(shù)與z 無關，則拉普拉斯方程為,3.6.2 直角坐標系中的分離變量法,將 (x, y) 表示為兩個一維函數(shù) X( x )和Y( y )的乘積，即,將其代入拉普拉斯方程，得,再除以 X( x ) Y( y ) ，有,147,若取k2 ，則有,,當,,,當,,148,將所有可能的 (x, y)線性疊加起來，則得到位函數(shù)的通解，即,若取k2 ，同理可得到,通解中的分離常數(shù)和待定系數(shù)由給定的邊界條件確定。,149,例3.6.1 無限長的矩形金屬導體槽上有一蓋板，蓋板與金屬槽絕緣，蓋板電位為U0，金屬槽接地，橫截面如圖所示，試計算此導體槽內(nèi)的電位分布。,解：位函數(shù)滿足的方程和邊界條件為,,因 (0 , y)0、 (a , y)0，故位函數(shù)的通解應取為,150,,確定待定系數(shù),,,,,,,,151,,,,,將U0 在（0, a）上按 展開為傅里葉級數(shù)，即,其中,152,,由,故得到,