不等式 (2)

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1、1. 解不等式 （一）含參數(shù)的分式不等式研究 1. 已知函數(shù)的定義域為集合. （1）若函數(shù)的定義域也為集合，的值域為，求； （2）已知,若,求實數(shù)的取值范圍. 解：（1）由，得，， ， 當時，，于是，即， ， （2）由，得，即．. 當時，，滿足； 當時，，因為，所以 解得， 又，所以；當時，， 因為，所以解得， 又，所以此時無解； 綜上所述，實數(shù)的取值范圍是． 2. 若（m 1 0）對一切x≥4恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是 ． 3. 解關于的不等式 4. 已知，其中是常數(shù). （1）若的解集為，求的值，并解不等式； （2）若不等式有解，

2、且解區(qū)間長度不超過5個長度單位，求實數(shù)的取值范圍. 5.（好題，涉及二次函數(shù)的開口大?。┤艉瘮?shù)對于任意的，不等式成立. （1）若，求的最大值； （2）對于給定的正數(shù)，當為何值時，最大？并求出這個最大的. , 6. 已知不等式，． （1）解上述不等式； （2）若存在實數(shù)，使得不等式的解集中所有整數(shù)元素的和為28，求的取值范圍． 【解】（1）不等式可化為． 當時，解集為；當時，解集為；當時，解集為． （2）由題意，不等式的解集為．由，解得． 所以符合條件的的取值范圍是． 變式：若，且不等式的解集中

3、有且只有三個整數(shù)，則所有滿足條件的值之和為__________. 21 7. 已知為常數(shù)，函數(shù) （1）若對一切恒成立，求的取值范圍； （2）解不等式. 8. 已知函數(shù)． （1）當關于x的不等式f(x) > 0的解集為（-1，3）時，求實數(shù)a，b的值； （2）若對任意實數(shù)a，不等式f(2) < 0恒成立，求實數(shù)b的取值范圍； （3）設b為常數(shù)，求關于a的不等式f(1) < 0的解集． 2. 線性規(guī)劃 1. 若函數(shù)的定義域為，則的取值范圍是_____ 2. （反比例型）在平面直角坐標系中，點A，B，C的坐標分別為(0，1)，(4，2)，(2，6)．如 果P(x，y)是△A

4、BC圍成的區(qū)域(含邊界)上的點，那么當ω = xy取到最大值時，點P的坐 標是________．(，5) 3. 可轉(zhuǎn)化為斜率的線性規(guī)劃問題 （1）已知實數(shù)，滿足不等式，則的取值范圍是 ． （2）已知x，y，滿足，x≥1，則的最大值為 ． 4. （2011年清華等該高水平大學自主招生）在銳角中，已知，則的取值范圍是_________. 5. 已知函數(shù)（） ，函數(shù)的定義域為B.若，解關于的不等式； （2）若時，關于的不等式的解集為A, 且,求的取值范圍； （3）若函數(shù)的一個零點在內(nèi)，一個零點在內(nèi)，求的取值范圍. 解：（1）當時，不等式為，--

5、----2分 （2） 因函數(shù)的定義域為B ，所以 -------3分 解得 ：B= ---------4分 當時，不等式即，-------5分 方程，解得兩解 需分類討論： =0時，解得A=，與矛盾，故不成立 ----------6分 當時，解得A= ，又有，所以 有 ----------8分 時，，解得A=，又有，所以 有 --------------10分 綜合得，的取值范圍為 （3）若函數(shù)的一個零點在內(nèi)，一個零點在內(nèi)，故等價于 ， ---------12分 得到可行域如圖陰影部分 得到交點A，C,

6、 ---------------14分 令當直線在b軸上的截距的相反數(shù)就是的取值范圍， 故當直線經(jīng)過點A，得到 當直線經(jīng)過點C,得到， 所以 ----------------------------------------------------------16分 6. 線性規(guī)劃問題： 1. 點在直線的下方，則實數(shù)的取值范圍是_________. 2. 不等式組，表示的平面區(qū)域的形狀為________. 等腰梯形. 3. 點在直線的左側(cè)，則實數(shù)的取值范圍是_________. 4. 不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)的整點個數(shù)為_________.

7、12 線性規(guī)劃問題： 1、如圖所示，表示滿足不等式(x－y)(x＋2y－2)>0的點(x，y)所在的區(qū)域為___________ 2、不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)整點的個數(shù)是___________ 3、在平面直角坐標系中，不等式組 (a為常數(shù))表示的平面區(qū)域的面積是9，那么實數(shù)a的值為___________ 4、不等式組表示的平面區(qū)域的形狀為___________ 5、若實數(shù)x，y滿足不等式組則x＋y的最大值為 ___________ 6、設變量x，y滿足約束條件則目標函數(shù)z＝3x－4y的最大值___________ 7、已知－1

8、3，則z＝2x－3y的取值范圍是________ 3. 基本不等式 （一）基本不等式的應用 1. （向量與基本不等式）在中，若（，則的最小值為 ． 變式：在△ABC中，，則角A的最大值為_________． 解：轉(zhuǎn)化為邊的關系（余弦定理）；余弦定理結(jié)合基本不等式 2. 已知二次不等式的解集為，且，則的最小值為___________ 3. 設，則的最小值為 ．4 4. 在中，，，則的最小值為 . 基本不等式、幾何解釋！ 5. 已知正實數(shù)x，y滿足，則x + y 的最小值為 ．和定或積定 6. 在平面直角坐

9、標系xOy中，曲線上的點到原點O的最短距離為 ． 5 7. 設平面向量a，b滿足，則a·b的最小值為 ． 8. 函數(shù) ，若對任意的實數(shù)，不等式 恒成立，則實數(shù)的取值范圍是 ． 9．已知a > 0，b > 0，且，其中{a，b}表示數(shù)a，b中較小的數(shù)，則h的最大值= ．． 10. 已知正實數(shù)x，y，z滿足，則的最小值為____． 11. 已知x，y，z為正實數(shù)，則的最大值為________． 12. 已知實數(shù)x，y，z滿足x + y + z = 1，x2 + y2 + z2 = 3，則xyz的最大值為______． 13

10、. 已知正數(shù)滿足，則的最小值為 ． 9 （二）應用題 1. 現(xiàn)有長度為48cm的鋼管和面積為Sm2的鐵皮，用鋼管焊接一個長方體框架，再用鐵皮圍在框架的六個表面做成一個長方體水箱（不考慮建材和焊接的損失）. (1) 無論如何焊接長方體，在鋼管全部用完的前提下，若要確保鐵皮夠用，求鐵皮面積S的最小值. (2) 若鐵皮面積為90 m2，分別求出下列兩種方案下水箱容積的最大值 (i) 鐵皮和鋼管全部用完； (ii) 鋼管全部用完，鐵皮未用完； (iii) 鐵皮全部用完，鋼管未用完； （1）解：由題可設長方體的長、寬、高分別為 由題得，所求 , 當且僅當時等號

11、成立. （2）解：（i）鐵皮和鋼管全部用完; 此時（三元方程的處理問題） 由基本不等式可得，則 求導后得當時，. (ii) 鋼管全部用完，鐵皮未用完; 則，由三元均值不等式，當且僅當 時等號成立，此時，不合題意 (iii) 鐵皮全部用完，鋼管未用完； 此時由三元均值不等式可得： 可得：，當且僅當時等號成立， 此時成立 （注：若鋼管和鐵皮均為用完，情況略復雜，應涉及的是三元線性規(guī)劃問題） 2. 某村計劃建造一個室內(nèi)面積為的矩形蔬菜溫室，在溫室內(nèi)，沿左、右兩側(cè)與后側(cè)內(nèi)墻各保留寬的通道，沿前側(cè)內(nèi)墻保留寬的空地.當矩形溫室的邊長各為多少時，蔬菜的種植面積最大？最大種植面積是

12、多少？（基本不等式） 左側(cè)邊長40m，后側(cè)邊長為20m，蔬菜的種植面積為 （三）綜合應用 1. 已知三次函數(shù)f(x) = 4x3＋ax2＋bx＋c(a，b，c) (1) 如果f(x)是奇函數(shù)，過點（2，10）作y = f(x)圖象的切線l，若這樣的切線有三條，求實數(shù)b的取值范圍； (2) 當－1≤x≤1時有－1≤f(x)≤1，求a，b，c的所有可能的取值． 解 (1) 因為f(x)是奇函數(shù)，所以由f(－x) = －f(x)得a = c = 0， 設切點為P(t，4t3＋bt)，則切線l的方程為y－(4t3＋bt) = (12t2＋b)(x－t)，由于切線l過點（2，10），所以1

13、0－(4t3＋bt) = (12t2＋b)(2－t)，整理得b = 4t3－12t2＋5， 令g(t) = 4t3－12t2＋5－b，則g′(t) = 12t 2－24t = 12t(t－2)， 所以g(t)在(－∞，0)上是增函數(shù)，在(0，2)上是減函數(shù)，在(2，＋∞)上是增函數(shù)，要使切線l有三條，當且僅當g(t) = 0有三個實數(shù)根，g(t) = 0有三個實數(shù)根當且僅當g(0)＞0，且g(2)＜0，解得－11＜b＜5． (2)由題意，當x = ±1，±時，均有－1≤f(x)≤1，故 －1≤4＋a＋b＋c≤1， ① －1≤－4＋a－b＋c≤1， 即－1≤4－a＋b－c≤1，

14、 ② －1≤＋＋＋c≤1， ③ －1≤－＋－＋c≤1， 即－1≤－＋－c≤1， ④ ①＋②得－2≤8＋2b≤2，從而b≤－3； ③＋④得－2≤1＋2b≤2，從而b≥－3． 代入①②③④得a＋c = 0，＋c = 0，從而a = c = 0． 下面證明：f(x) = 4x3－3x滿足條件． 事實上，f ′(x) = 12x2－3 = 3(2x＋1)(2x－1)，所以f(x)在(－1， －)上單調(diào)遞增，在(－， )上單調(diào)遞減，在(，1)上單調(diào)遞增，而f(－1) = －1，f(－) = 1，f() = －1，f(1) = 1，所以當－1≤x≤1時 f(x)滿足－1≤f(x)≤

15、1． 2. 設函數(shù)的定義域為，且，對于任意，，， 若，，是直角三角形的三條邊長，且，，也能成為三角形的三條邊 長，那么的最小值為 變式：如果對任意一個三角形，只要它的三邊長a，b，c都在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)，就有f(a)，f(b)，f(c)也是某個三角形的三邊長，則稱f(x)為“保三角形函數(shù)”. （1）判斷下列函數(shù)是不是“保三角形函數(shù)”，并證明你的結(jié)論： ① f(x)＝ ； ② g(x)＝sinx (x∈(0，π)). （2）若函數(shù)h(x)＝lnx (x∈［M，＋∞))是保三角形函數(shù)，求證：M的最小值為2 解：（1）【答】f(x)＝ 是保三角形函數(shù)

16、，g(x)＝sinx (x∈(0，π))不是保三角形函數(shù). 【證明】① f(x)＝ 是保三角形函數(shù). 對任意一個三角形的三邊長a，b，c，則a＋b＞c，b＋c＞a，c＋a＞b， f(a)＝ ，f(b)＝ ，f(c)＝ . 因為(＋)2＝a＋2＋b＞c＋2＞()2，所以＋＞. 同理可以證明：＋＞，＋＞. 所以f(a)、f(b)、f(c)也是某個三角形的三邊長，故 f(x)＝ 是保三角形函數(shù). ②g(x)＝sinx (x∈(0，π))不是保三角形函數(shù). 取，顯然這三個數(shù)能作為一個三角形的三條邊的長. 而sin＝1，sin＝，不能作為一個三角形的三邊長. 所以g(x)＝s

17、inx (x∈(0，π))不是保三角形函數(shù). (2)【解】M的最小值為2. (i)首先證明當M≥2時，函數(shù)h(x)＝lnx (x∈［M，＋∞))是保三角形函數(shù). 對任意一個三角形三邊長a，b，c∈［M，＋∞)，且a＋b＞c，b＋c＞a，c＋a＞b， 則h(a)＝lna，h(b)＝lnb，h(c)＝lnc. 因為a≥2，b≥2，a＋b＞c，所以(a－1)(b－1)≥1，所以ab≥a＋b＞c，所以lnab＞lnc， 即lna＋lnb＞lnc. 同理可證明lnb＋ln

18、c＞lna，lnc＋lna＞lnb. 所以lna，lnb，lnc是一個三角形的三邊長. 故函數(shù)h(x)＝lnx (x∈［M，＋∞)，M≥2)，是保三角形函數(shù). (ii)其次證明當0

19、 所以，當M＜2時，h(x)＝lnx (x∈［M，＋∞))不是保三角形函數(shù). 綜上所述：M的最小值為2. 思考1、如果是定義在上的周期函數(shù)，且值域為，則是不是“保三角形函數(shù)”？ 設為的一個周期，由于其值域為，所以，存在，使得， 取正整數(shù)，可知這三個數(shù)可作為一個三角形的三邊長，但，不能作為任何一個三角形的三邊長．故不是“保三角形函數(shù)”． 思考2、由解法可知不是保三角形函數(shù)，但是在定義域的某個區(qū)間上能不能成為保三角形函數(shù)？

20、 比如是保三角形函數(shù)，求的最大值。 （可以利用公式） 分析：的最大值為． 一方面，若，下證不是“保三角形函數(shù)”. 取，顯然這三個數(shù)可作為一個三角形的三邊長，但 不能作為任何一個三角形的三邊長，故不是“保三角形函數(shù)”. 另一方面，以下證明時，是“保三角形函數(shù)”． 對任意三角形的三邊，若，則分類討論如下： （1）， 此時，同理，， ∴，故，． 同理可證其余兩式. ∴可作為某個三角形的三邊長． （2） 此時，，可得如下兩種情況： 時，由于，所以，. 由在上的單調(diào)性可得；

21、時，， 同樣，由在上的單調(diào)性可得； 總之，. 又由及余弦函數(shù)在上單調(diào)遞減，得 ， ∴． 同理可證其余兩式，所以也是某個三角形的三邊長．故時，是“保三角形函數(shù)”． 綜上，的最大值為． 3. 在△ABC中，設AD為BC邊上的高，且AD = BC，b，c分別表示角B，C所對的邊長，則的取值范圍是____________． 4. 若平面向量滿足：；則的最小值是_______． 5. （08年浙江大學自主招生試題）設為正實數(shù)，，，（1）如果，則是否存在以為三邊長的三角形？請說明理由； （2）對任意的正實數(shù)，試探索當存在以為三邊長的三角形時的取值范圍. 解析：（1）時，此時直角三

22、角形； （2）由題可知： 綜上可得： 均值不等式： 1. （08年浙大自主招生）已知，求證： 解：由均值不等式得： 而，然后裂項求和可得 多元函數(shù)的最值問題： 1. 若非負實數(shù)，滿足和，求的最值. 最小值為，最大值為 2. 非負實數(shù)滿足：，求的最值. 最小值為 3. 已知等差數(shù)列{an}中公差d>0,前n項的和為Sn,設,且，求證： . 變式：設數(shù)列{an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，前n項的和為Sn，證明：. 4. 若實數(shù)成等比數(shù)列，且，則的取值范圍是________. 不

23、等式 第一課時：不等關系 等與不等是哲學中的辯證關系，不等式是刻畫現(xiàn)實世界中不等關系的重要模型. 自學教材73-74頁的三個例題，要求對問題中包含的數(shù)量關系進行認真、細致的分析，試用相應的不等式模型刻畫上述三個例題的不等關系 解讀： （1）數(shù)學模型為一元一次不等式； （2）數(shù)學模型為一元二次不等式； （3）數(shù)學模型是二元一次不等式組（線性規(guī)劃問題）. 練習：教材74頁1-5. 問題研究兩則： 探究1：已知糖水中有糖（），若再添加糖（），則糖水變得更甜. 試根據(jù)這個事實寫出所滿足的不等關系. 這個不等式就是著名的糖水不等式. 思考1：該不等式迄今為止給出了32種證明方

24、法，你能想到幾種呢？ 思考2：該不等式在日常生活中還有哪些應用？ 實例1：一般的人，下半身長與全身長的比值在之間，而芭蕾舞演員在表演時，腳尖立起給人以美的享受. 原來，腳尖立起調(diào)整了身段的比例. 如果設人的腳尖立起提高了，則下半身與全身的長度比由變成了，這樣比值就非常接近黃金分割值（golden section）0.618. 女士們追求美而穿高跟鞋，有些男士穿增高鞋，其目的之一就是在追求這個比值. 用來解釋這種現(xiàn)象的數(shù)學關系是： 實例2：建筑設計規(guī)定，民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積. 但按采光標準，窗戶面積與地板面積的比值應不

25、小于，且這個比值越大，住宅的采光條件越好. 同時增加相等的窗戶面積和地板面積，住宅的采光條件變好了，用來解釋這種現(xiàn)象的數(shù)學關系為 思考3：若，試比較與的大小. 探究2：甲、乙兩人同時從地出發(fā)沿同一條路線走到地，所用時間分別為，甲有一半時間以速度行走，另一半時間以速度行走；乙有一半路程以速度行走，另一半路程以速度行走，且. （1）請你與同學各自計算（用表示）； （2）與同學一起比較的大小，并判斷甲、乙誰先到達地. 變式：甲、乙兩人同去一家糧店買了兩次糧食，兩次糧食的價格不同，兩人的購糧方式也不同，其中，甲每次買，乙每次買1000元. （1）求兩人的購糧均價； （2）誰的購

26、糧方式更合算？ 探究3：設，且，求證：. 思路1：能否從初中的《一元二次方程》的角度給出證明？ 思路2：能否從《集合與簡易邏輯》的角度給出證明？ 思路3：能否從《基本初等函數(shù)Ⅰ》的角度給出證明？ 思路4：能否從《數(shù)列》的角度給出證明？ 思路5：能否從《基本初等函數(shù)Ⅱ三角函數(shù)》的角度給出證明？ 思路6：能否從《平面向量》的角度給出證明？ 后續(xù)的研究： 思路7：能否從《不等式》的角度給出證明？ 思路8：能否從《立體幾何》的角度給出證明？ 思路9：能否從《排列、組合與概率》的角度給出證明？ 思路10：能否從《導數(shù)》的角度給出證明？ 思路11：能否從《圓錐曲線》的角度給出

27、證明？ 第二課時：含參的一元二次不等式的解法問題探究兩則 一、基礎小題：回顧如何求解一元二次不等式？ 1. 若關于的一元二次方程有實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是_________. 變式：若二次函數(shù)的值域為，則實數(shù)的值為_________. 2. 已知不等式對一切實數(shù)恒成立，則實數(shù)的取值范圍是______. 拓展1：已知二次函數(shù)的值恒大于0，求實數(shù)的取值范圍； 拓展2：已知一元二次不等式的解集為，求實數(shù)的取值范圍； 拓展3：若不等式的解集為，求實數(shù)的取值范圍； 拓展4：若函數(shù)的解集為，求實數(shù)的取值范圍； 拓展5：若不等式對滿足的所有都成立，求實數(shù)的取值范圍. 3.

28、解不等式：； 4. 解不等式： 二、例題選講： 探究1：含參的一元二次不等式的解法 例1. 解關于的不等式： 練習1： 解關于的不等式： 練習2： 函數(shù)若在區(qū)間上單調(diào)，則實數(shù)的取值范圍為_______ 變式：已知函數(shù)f(x)＝x2，g(x)＝x－1，設F(x)＝f(x)－mg(x)＋1－m－m2，且|F(x)|在[0,1]上單調(diào)遞增，求實數(shù)m的取值范圍. 例2. 求實數(shù)m的取值范圍，使關于x的方程有兩實根。 （1）有兩個實根，并且一根小于2，另一根大于2； （2）有兩個實根，且都比1大； （3）有兩個實根，且滿足. 反饋檢測： 1. 不等式對任意

29、實數(shù)恒成立，求自然數(shù)的值. 變式：（日本高考題）已知不等式對任意實數(shù)恒成立，求的值. 2. 已知不等式對一切實數(shù)恒成立，則實數(shù)的取值范圍是______. 13．我國西部某地區(qū)去年各季度某種農(nóng)產(chǎn)品的價格如下表： 季度 第一季度 第二季度 第三季度 第四季度 每擔售價 （單位：元） 203.5 200.5 195.5 200.5 今年某農(nóng)貿(mào)公司計劃按去年各季度市場價的“最佳近似值m”（m是其與上表中各售價差的平方和取最小值時的值）收購該種農(nóng)產(chǎn)品，并按每100元納稅10元（又稱征稅率為10個百分點），計劃可收購a萬擔．政府為了鼓勵收購公司多收購這種農(nóng)產(chǎn)品，決

30、定征稅率降低x個百分點，預測收購量可增加2x個百分點. （1）根據(jù)題中條件填空，m= （元/擔） （2）寫出稅收y（萬元）與x的函數(shù)關系式； （3）要使此項稅收在稅率調(diào)節(jié)后不少于原計劃稅收的83.2%，試確定x的取值范圍． 14. 某地區(qū)上年度電價為0.80元/kW· h，年用電量為a kW· h．本年度計劃將電價降到0.55元/kW·h至0.75元/kW·h之間，而用戶期望電價為0.4元/kW·h．經(jīng)測算，下調(diào)電價后新增的用電量與實際電價和用戶期望電價的差成反比(比例系數(shù)為k)．該地區(qū)電力的成本為0.3元/kW·h． （1） 寫出本年度電價下調(diào)后，電力部門的收益

31、y與實際電價x的函數(shù)關系式． （2） 設k=0.2a，當電價最低定為多少時，仍可保證電力部門的收益比上年至少增長20%？ (注：收益=實際用電量×(實際電價－成本價)) 15. 設是方程的兩個實根，則的最小值為_______. 1 16. 有純農(nóng)藥桶一桶，倒出8升后用水補滿，然后又倒出4升后再用水補滿，此時桶中的農(nóng)藥不超過容積的，則桶的容積最大為______升. 設桶的容積為升，則由題意得：，解得 第三課時：二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域 數(shù)學來源于靈感，數(shù)學來源于猜想. 二元一次不等式的解集是什么呢？ （直線的一般式方程） （1）一元一次不等式的解

32、集是什么？如何用數(shù)軸表示？ （2）一元一次不等式的解集可以在一維數(shù)軸上表示出來，那么二元一次不等式的解集呢？ （3）二元一次方程的解集是什么？那么二元一次不等式的解集又是什么呢？ ★ 教學過程一：預習教材82-83頁（包括兩個例題，時間5分鐘），邊學邊思： 思考1：如何用二元一次不等式表示平面區(qū)域？ 思考2：判斷二元一次不等式表示的平面區(qū)域的方法是什么？ 一般地，直線把平面分成兩個區(qū)域：表示直線______方的區(qū)域；表示直線______方的區(qū)域（方向法）. 例1：對于不含邊界的區(qū)域，要將邊界化為______線； 例2：表示出二元一次不等式時，如何確定不等號？ 練習1-6：

33、 練習3變式：若點和在直線的異側(cè)，求實數(shù)的取值范圍. 練習4思考題：對于二元一次不等式（），如何確定它所表示的平面區(qū)域？ ★ 教學過程二：預習教材84-86頁（包括三個例題，時間5分鐘） 二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域是二元一次不等式表示的平面區(qū)域的交集（公共部分）. 例1思考：如何尋找滿足（2）的不等式組的整數(shù)解？ 思考：三邊，，的長都是整數(shù)，且，如果，則這 樣的三角形共________個. 練習86：1-6 練習6（2）思考：對角形區(qū)域怎么表示？ 變式：畫出不等式組所表示的平面區(qū)域. 練習6（3）思考：整點個數(shù)有多少？ 8.某地區(qū)共有100戶農(nóng)民從事

34、蔬菜種植，據(jù)調(diào)查，每戶年均收入為3萬元．為了調(diào)整產(chǎn)業(yè) 結(jié)構(gòu)，當?shù)卣疀Q定動員部分種植戶從事蔬菜加工．據(jù)估計，如果能動員x(x＞0)戶農(nóng)民從 事蔬菜加工，那么剩下從事蔬菜種植的農(nóng)民每戶年均收入有望提高2x%，從事蔬菜加工的 農(nóng)民每戶年均收入為（）萬元。 （1）在動員x戶農(nóng)民從事蔬菜加工后，要使從事蔬菜種植的農(nóng)民的年總收入不低于動員前從事蔬菜種植的年總收入，試求x的取值范圍； （2）在（1）的條件下，要使這100戶農(nóng)民中從事蔬菜加工農(nóng)民的年總收入始終不高于從事蔬菜種植農(nóng)民的年總收入，試求實數(shù)的最大值。 解（1）由題意得 ， 即，解得， 又因為，所以；----------------

35、----------------------------------------6分 （2）從事蔬菜加工的農(nóng)民的年總收入為萬元，從事蔬菜種植農(nóng)民的年總收入為萬元，根據(jù)題意得，恒成立， 即恒成立． 又，所以恒成立， 而5（當且僅當時取得等號）， 所以的最大值為5．--------------------------------------------------------10分 變式：某企業(yè)有員工共100名，平均每人每年創(chuàng)造利潤10（萬元），為了進一步提高經(jīng)濟效益，該企業(yè)決定優(yōu)化產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)，調(diào)整部分員工從事第三產(chǎn)業(yè). 經(jīng)測算，若名員工從事第三產(chǎn)業(yè)，則剩下的員工平均每人每年創(chuàng)造的利潤可

36、提高，而從事第三產(chǎn)業(yè)的員工平均每人每年創(chuàng)造的利潤為（萬元）. （1）如果要保證調(diào)整后該企業(yè)的全體員工創(chuàng)造的年總利潤，至少比原來的年總利潤多150（萬元），求可從事第三產(chǎn)業(yè)的員工的最小人數(shù)與最多人數(shù)； （2） 如果要使調(diào)整后該企業(yè)的全體員工創(chuàng)造的年總利潤最大，求從事第三產(chǎn)業(yè)的員工 人數(shù). 9. B A C D 地面 某建筑的金屬支架如圖所示，根據(jù)要求至少長2.8m，為的中點，到的距離比的長小0.5m，，已知建筑支架的材料每米的價格一定，問怎樣設計的長，可使建造這個支架的成本最低？ 解：設 連結(jié)BD. 則在中， 設 則 等號成立時

37、答：當時，建造這個支架的成本最低. 10. 某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的年固定成本為250萬元，每生產(chǎn)萬件，需另投入成本為，當年產(chǎn)量不超過100萬件時，（萬元）；當年產(chǎn)量大于100萬件時，（萬元）．因設備問題，該廠年生產(chǎn)量不超過200萬件．現(xiàn)已知此商品每件售價為50元，且年內(nèi)生產(chǎn)的此商品能全部銷售完． （1）寫出年利潤（萬元）關于年產(chǎn)量（萬件）的函數(shù)解析式； （2）年產(chǎn)量為多少萬件時，該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大？ 基本不等式： 13.（1）若正數(shù)滿足，則的取值范圍為_________； （2）若正數(shù)滿足，則的取值范圍為_________； （3）當時，函數(shù)的最大值

38、為___________； （4）當時，函數(shù)的最大值為___________； （5）設為正實數(shù)，滿足，則的最小值為________； （6）已知且，則的最小值為_________； （7）若A，B，C為△ABC的三個內(nèi)角，則＋的最小值為 ； 變式：已知，則的最小值為__________ （8）已知各項為正數(shù)的等比數(shù)列滿足．若存在兩項使得 ，則的最小值為 ． 若不等式的解集為，則實數(shù)a的取值范圍為 . 甲乙兩地相距千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過千米／時，已知汽車每小時運輸成本（以元為單位）由可變部分和固定

39、部分組成，可變部分與速度（千米／時）的平方成正比，比例系數(shù)為，固定部分為元. （1）把全程運輸成本（元）表示為速度（千米／時）的函數(shù)，并指出這個函數(shù)的定義域；（2）為了使全程運輸成本最小，汽車應以多大速度行駛？ （1）由題意，從甲地到乙地的時間為，全程運輸成本為，定義域為 （2） 由題意知都是正數(shù)，故有，當且僅當時取等號。 此時 若時，時運輸成本最小； 若時，當時，設，任取， 。因為，，，所以，所以在是減函數(shù)。（14分）所以，當且僅當時取等號 答：當，時運輸成本最小，當時，時運輸成本最小 如圖，某小區(qū)進行綠化改造，計劃圍出一塊三角形綠地，其中一邊利用現(xiàn)成的圍墻，長度為1（百米），另外兩邊使用某種新型材料，，設（百米），（百米）. （1）求滿足的關系式（指出的取值范圍）； （2）若無論如何設計此兩邊的長，都能確保圍成三角形綠地，則至少需準備長度為多少（百米）的此種新型材料？ C A B 120°