《靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題》PPT課件.ppt

《《靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題》PPT課件.ppt》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《《靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題》PPT課件.ppt（46頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、靜電場(chǎng)的邊值問(wèn)題,一般情況下電位或場(chǎng)強(qiáng)滿足兩個(gè)方程 無(wú)源Laplaces Equation 有源Poissions Equation 邊值問(wèn)題：在給定邊界條件下求解偏微分方程 Poissions Equation+邊界條件 Laplaces Equation +邊界條件,電場(chǎng)邊值問(wèn)題的分類,第1類: 已知整個(gè)邊界上的電位（Dirichlet Problems） 第2類: 已知整個(gè)邊界上電位的法向?qū)?shù)Neumann Problems 第3類: 已知邊界上電位+邊界電位 法向?qū)?shù)的值 Hybrid Problems,5.3 一維場(chǎng)直接積分,例1. 求同軸線中的電場(chǎng)分布，已知內(nèi)半徑a外半徑b，內(nèi)導(dǎo)體

2、電位U，外導(dǎo)體為0。 在柱坐標(biāo)系下，柱對(duì)稱下拉普拉斯方程,,r 0,代入邊界條件: r=a時(shí)y=U，r=b時(shí)y=0，C1=?, C2=?,得：,則：,（柱坐標(biāo)下）,例 2已知：導(dǎo)體球，半徑a，球體電位U 。求：球外的電位？,分析： 球?qū)ΨQ球坐標(biāo)系下，電位只與半徑有關(guān),則：,直接積分得：,利用邊界條件確定兩個(gè)待定常數(shù),r=a時(shí)y=U，r=時(shí)y=0，得C1, C2,例3. 同軸電纜，填充兩種介質(zhì)，內(nèi)導(dǎo)體電位為U ,外導(dǎo)體接地。求電位。,由于對(duì)稱性，電位與j、z座標(biāo)無(wú)關(guān)，僅與r相關(guān) 柱座標(biāo)系下拉氏方程,解得：,利用邊界條件：,根據(jù)以上條件求出系數(shù)就得到介質(zhì)中電位。,內(nèi)容主要包括:,二維拉氏方程 直角

3、坐標(biāo)系下 柱坐標(biāo)系下 未包括： 二維球坐標(biāo)系下拉氏方程 三維Laplace方程求解 泊松方程（非齊次方程）求解,5.4 分離變量法求解拉氏方程,分離變量法的主要思想,將方程中含有各個(gè)變量的項(xiàng)分離開來(lái)，從而原方程拆分成多個(gè)更簡(jiǎn)單的只含1個(gè)自變量和參數(shù)的常微分方程； 運(yùn)用線性疊加原理，將非齊次方程拆分成多個(gè)齊次的或易于求解的方程； 利用高數(shù)知識(shí)、級(jí)數(shù)求解知識(shí)、以及其他巧妙方法，求出各個(gè)方程的通解； 最后將這些通解“組裝”起來(lái)。,笛卡兒坐標(biāo)系中分離變量法求解,令：,兩邊同時(shí)除以：,三項(xiàng)中每一項(xiàng)必須是常數(shù)！,令：,的求解,1. 如果,(k為正實(shí)數(shù)),2. 如果,3. 如果,(k為正實(shí)數(shù)),確定Y和Z通

4、解的步驟類似 最后再將X、Y、Z的通解“組裝”在一起 最后代入邊界條件確定待定常數(shù),P108頁(yè),電勢(shì)滿足方程：,分離變量得：,解得：,腔內(nèi)電勢(shì)解,由二維傅里葉變換得,一、求解矩形區(qū)域的Laplace方程,微波導(dǎo)和光波導(dǎo)器件的 橫截面常是矩形, 其中的電磁場(chǎng)模式多是橫電波或橫磁波, 即電場(chǎng)或磁場(chǎng)不沿著波導(dǎo)的長(zhǎng)度方向改變，而只隨橫截面的坐標(biāo)變化; 此時(shí)求解矩形區(qū)域的Laplace方程是研究波導(dǎo)中場(chǎng)量和模式的重要手段。,舉例. 如圖的波導(dǎo)中求解電位,求解v(x,y),設(shè)解為：,代入上面關(guān)于v的方程得：,先求解哪一個(gè)？？？,與齊次邊界有關(guān)的那個(gè)。,本征函數(shù)為：,本征值為：,,將本征值ln代入 Y 的方

5、程，可得通解：,于是由疊加原理得到v的通解為：,將另一對(duì)邊界條件代入方程的通解得：,上兩式實(shí)際上是u0和U0展開后的正弦級(jí)數(shù), 于是,聯(lián)立上兩式可得An和Bn, 從而原方程的解得以確定。,上題中邊界處的電位分布,探討一下邊界處分布函數(shù)的形狀：,求解步驟,正確寫出方程和邊界條件； 在齊次化邊界條件下利用分離變量法求解； 利用齊次邊界條件求特征值、特征函數(shù)； 寫出通解形式 代入邊界，求待定系數(shù)。,二、求解柱坐標(biāo)系下的Laplace方程,此時(shí)求解圓形區(qū)域的Laplace方程是研究場(chǎng)量和模式的重要手段。 在最常見的微波傳輸線(銅軸線)和最常見的光傳輸線(光纖)中，橫截面都是圓形，其中的電磁場(chǎng)模式也大多

6、是橫電波或橫磁波，即電場(chǎng)或磁場(chǎng)不沿著波導(dǎo)的長(zhǎng)度方向改變，而只隨橫截面的坐標(biāo)變化；,求解柱坐標(biāo)系下的Laplace方程,電位只與 r 有關(guān) 電位只與 r、z 有關(guān) 電位只與 r、j 有關(guān),只與 r、z 有關(guān)的Laplace方程, 當(dāng)=0時(shí)：, 當(dāng)0時(shí)：,若要在圓柱上下底面滿足齊次邊界條件, 則 m不可能0.,求解圓柱內(nèi)部問(wèn)題(包含圓柱軸線r=0)時(shí), 為了滿足自然邊界條件, Nn(.)項(xiàng)應(yīng)舍去., 當(dāng)m <0時(shí)：,R(r)沒有實(shí)的零點(diǎn), 如果要求 u 在圓柱側(cè)面r=a 滿足齊次邊界條件，則應(yīng)排除<0的可能。,求解圓柱內(nèi)部問(wèn)題(包含圓柱軸線r=0)時(shí), 為了滿足自然邊界條件, Kn(.)項(xiàng)應(yīng)舍去.

7、,一般解為： 1)如果考慮圓內(nèi)問(wèn)題則其解為 2)如果考慮圓外問(wèn)題則其解為 3)如果考慮是圓環(huán)問(wèn)題，則其解為一般解，其中的系數(shù)由邊界條件確定。,3. 電位只與 r、j 有關(guān),3. 球坐標(biāo)系下與j無(wú)關(guān)時(shí)（軸對(duì)稱情況）,球內(nèi)電位取有限值（r=0電位有限）,球外電位取有限值（r取無(wú)窮大電位有限）,,例1. 解題時(shí)首先看能否化簡(jiǎn),已知：很長(zhǎng)的同軸電纜，內(nèi)導(dǎo)體半徑為a,維持電位V0，外導(dǎo)體半徑為b，接地。 求：導(dǎo)體區(qū)域內(nèi)的電位分布？,分析：柱座標(biāo)，電位對(duì)稱，僅與r有關(guān),例2.,書p136例5.6,三. 球坐標(biāo)系下的二維Laplace方程,自學(xué)內(nèi)容,什么是“鏡像法”？,用適當(dāng)?shù)溺R像電荷(Image-Char

8、ges)代替邊界，求解電位分布的方法。,“鏡像法”的依據(jù)“唯一性定理”,Uniqueness Theorem,“鏡像法”思路 用假想的鏡像電荷代替邊界上的感應(yīng)電荷 保持求解區(qū)域中場(chǎng)方程和邊界條件不變,“鏡像法”使用范圍： 界面幾何形狀較規(guī)范， 電荷個(gè)數(shù)有限，或分布形式簡(jiǎn)單,5.5 鏡像法,Method of Images,(1)將導(dǎo)體移走,在“對(duì)稱”點(diǎn)處放置一個(gè)“像”電荷q*,第一類鏡像法：平面鏡像,(2)仍然要滿足“導(dǎo)體板”存在時(shí)的條件, q*？,q*q,,邊界條件：,對(duì)稱性：,拉氏方程,q*q,“像點(diǎn)”q*：滿足“導(dǎo)體板”存在時(shí)的條件,滿足！,滿足！,滿足！,由唯一性定理知,第二類鏡像法：柱面鏡像,像？線電荷“電軸” 位置？柱內(nèi)、與線電荷平行 分布？密度設(shè)為p*,假設(shè)：,導(dǎo)體圓柱面上任一點(diǎn)M,因?yàn)閷?dǎo)體是等位體,若“三角形相似”,思考：復(fù)雜的第2類鏡像問(wèn)題,已知：兩根無(wú)限長(zhǎng)平行圓柱，半徑為a、b，軸心距離d 求：兩柱間單位長(zhǎng)度上的電容,請(qǐng)參考：書P158 例5.13,第三類鏡像法：球面鏡像,例如：一個(gè)點(diǎn)電荷，位于接地導(dǎo)體球旁邊，球半徑為a 求：該電荷受到的靜電力?,導(dǎo)體球上任一點(diǎn)M,電介質(zhì)中的鏡像,分界面上切向電場(chǎng)連續(xù),且一般情況下法向電位移連續(xù):,結(jié)論：,