2013年中考數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn) 軸對(duì)稱復(fù)習(xí) 軸對(duì)稱知識(shí)點(diǎn)分類匯總大全（無(wú)答案）

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1、軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形 一、知識(shí)點(diǎn)： 1． 什么叫軸對(duì)稱： 如果把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊后，能夠與另一個(gè)圖形重合，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線成軸對(duì)稱，這條直線叫做對(duì)稱軸，兩個(gè)圖形中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)叫做對(duì)稱點(diǎn)。 2． 什么叫軸對(duì)稱圖形： 如果把一個(gè)圖形沿著一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸。 3．軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形的區(qū)別與聯(lián)系： 區(qū)別： ①軸對(duì)稱是指兩個(gè)圖形沿某直線對(duì)折能夠完全重合，而軸對(duì)稱圖形是指一個(gè)圖形的兩個(gè)部分沿某直線對(duì)折能完全重合。 ②軸對(duì)稱是反映兩個(gè)圖形的特殊位置、大小關(guān)系；軸對(duì)稱圖形是反映一個(gè)圖形的特性。 聯(lián)系：

2、 ①兩部分都完全重合，都有對(duì)稱軸，都有對(duì)稱點(diǎn)。 ②如果把成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形看成是一個(gè)整體，這個(gè)整體就是一個(gè)軸對(duì)稱圖形；如果把一個(gè)軸對(duì)稱圖形的兩旁的部分看成兩個(gè)圖形，這兩個(gè)部分圖形就成軸對(duì)稱。 常見(jiàn)的軸對(duì)稱圖形有：圓、正方形、長(zhǎng)方形、菱形、等腰梯形、等腰三角形、等邊三角形、角、線段、相交的兩條直線等。 l A B 4．線段的垂直平分線： 垂直并且平分一條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線。 （也稱線段的中垂線） 5．軸對(duì)稱的性質(zhì)： ⑴成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形全等。 ⑵如果兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是對(duì)稱點(diǎn)連線的垂直平分線。 6．怎樣畫(huà)軸對(duì)稱圖形： 畫(huà)軸對(duì)稱圖形時(shí)

3、，應(yīng)先確定對(duì)稱軸，再找出對(duì)稱點(diǎn)。 二、舉例： 例1：判斷題： ① 角是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是角的平分線； （ ） ②等腰三角形至少有1條對(duì)稱軸，至多有3條對(duì)稱軸； （ ） ③關(guān)于某直線對(duì)稱的兩個(gè)三角形一定是全等三角形； （ ） ④兩圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，對(duì)稱點(diǎn)一定在直線的兩旁。 （ ） 例2：下圖曾被哈佛大學(xué)選為入學(xué)考試的試題.請(qǐng)?jiān)谙铝幸唤M圖形符

4、號(hào)中找出它們所蘊(yùn)含的內(nèi)在規(guī)律，然后把圖形空白處填上恰當(dāng)?shù)膱D形. 例3：如圖，由小正方形組成的L形圖中，請(qǐng)你用三種方法分別在下圖中添畫(huà)一個(gè)小正方形使它成為一個(gè)軸對(duì)稱圖形： 方法1 方法2 方法3 例4：如圖，已知：ΔABC和直線l，請(qǐng)作出ΔABC關(guān)于直線l的對(duì)稱三角形。 l B A C l B A C l B A C C A D B 例5：如圖，DA、CB是平面鏡前同一發(fā)光點(diǎn)S發(fā)出的經(jīng)平面鏡反射后的反射光線，請(qǐng)通過(guò)畫(huà)圖確定發(fā)光點(diǎn)S的位置

5、，并將光路圖補(bǔ)充完整。 例6：如圖，四邊形ABCD是長(zhǎng)方形彈子球臺(tái)面，有黑白兩球分別位于E、F兩點(diǎn)位置上，試問(wèn)怎樣撞擊黑球E，才能使黑球先碰撞臺(tái)邊AB反彈后再擊中白球F？ 例7：如圖，要在河邊修建一個(gè)水泵站，向張莊A、李莊B送水。修在河邊什么地方，可使使用的水管最短？ · · A B a 例8：如圖，OA、OB是兩條相交的公路，點(diǎn)P是一個(gè)郵電所，現(xiàn)想在OA、OB上各設(shè)立一個(gè)投遞點(diǎn)，要想使郵電員每次投遞路程最近，問(wèn)投遞點(diǎn)應(yīng)設(shè)立在何處？ · P B O A 線段、

6、角的軸對(duì)稱性 l A B M 一、知識(shí)點(diǎn)： 1．線段的軸對(duì)稱性： ① 線段是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸有兩條；一條是線段所在的直線， 另一條是這條線段的垂直平分線。 ②線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等。 ③到線段兩端距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。 結(jié)論：線段的垂直平分線是到線段兩端距離相等的點(diǎn)的集合 2．角的軸對(duì)稱性： ①角是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是角平分線所在的直線。 ②角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等。 ③到角的兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上。 結(jié)論：角的平分線是到角的兩邊距離相等的點(diǎn)的集合 二、舉例： 例1：已知ABC中，AB=AC=

7、10，DE垂直平分AB，交AC于E，已知BEC的周長(zhǎng)是16。求ABC的周長(zhǎng). · C B O A · D 例2：如圖，已知∠AOB及點(diǎn)C、D，求作一點(diǎn)P，使PC=PD，并且使點(diǎn)P到OA、OB的距離相等。 l · · A B 例3：如圖，已知直線及其兩側(cè)兩點(diǎn)A、B。 （1） 在直線上求一點(diǎn)P，使PA=PB； （2）在直線上求一點(diǎn)Q，使平分∠AQB。 例4：如圖，直線a、b、c表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相等，可供選擇的地址有幾處？如何選？ O

8、D C B A E 例5：已知：如圖，在ΔABC中，O是∠B、∠C外角的平分線的交點(diǎn)，那么點(diǎn)O在∠A的平分線上嗎？為什么？ O D C B A 1 2 3 4 例6：如圖，已知：AD和BC相交于O，∠1=∠2，∠3=∠4。試判斷AD和BC的關(guān)系，并說(shuō)明理由。 例7：已知：如圖，△ABC中，BC邊中垂線ED交BC于E，交BA延長(zhǎng)線于D，過(guò)C作CF⊥BD于F，交DE于G，DF=BC，試說(shuō)明∠FCB=∠B 例8：已知：在∠ABC中，D是∠ABC平分線上一點(diǎn)，E、F分別在AB、AC上，且D

9、E=DF。 試判斷∠BED與∠BFD的關(guān)系，并說(shuō)明理由. 2、已知：在ΔABC中，D是BC上一點(diǎn)，DE⊥BA于E，DF⊥AC于F，且DE=DF.。試判斷線段AD與EF有何關(guān)系?并說(shuō)明理由。 3、如圖，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC于E。試說(shuō)明BD垂直平分AE 等腰三角形的軸對(duì)稱性 一、知識(shí)點(diǎn)： 3． 等腰三角形的性質(zhì)： ①等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，頂角平分線所在直線是它的對(duì)稱軸； ②等腰三角形的兩個(gè)底角相等；（簡(jiǎn)稱“等邊對(duì)等角”） ③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中

10、線、底邊上的高互相重合。(簡(jiǎn)稱“三線合一”) 4． 等腰三角形的判定： ①如果一個(gè)三角形有2個(gè)角相等，那么這2個(gè)角所對(duì)的邊也相等；（簡(jiǎn)稱“等角對(duì)等邊”） ②直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半。 3．等邊三角形： ① 等邊三角形的定義： 三邊相等的三角形叫做等邊三角形或正三角形。 ② 等邊三角形的性質(zhì)： 等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，并且有3條對(duì)稱軸； 等邊三角形的每個(gè)角都等于600。 ③等邊三角形的判定： 3個(gè)角相等的三角形是等邊三角形； 有兩個(gè)角等于600的三角形是等邊三角形； 有一個(gè)角等于600的等腰三角形是等邊三角形。 4．三角形的分類：

11、 斜三角形：三邊都不相等的三角形。 三角形 只有兩邊相等的三角形。 等腰三角形 等邊三角形 二、舉例： 例1、如圖，已知D、E兩點(diǎn)在線段BC上，AB＝AC，AD＝AE，試說(shuō)明BD=CE的理由? A B C E D 例2：如圖，已知：△ABC中，AB＝AC，BD和CE分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，且相交于O點(diǎn)。①試說(shuō)明△OBC是等腰三角形；②連接OA，試判斷直

12、線OA與線段BC的關(guān)系？并說(shuō)明理由。 A E D B C O O D C B A 1 2 3 4 例3：如圖，已知：AD和BC相交于O，∠1=∠2，∠3=∠4。試判斷AD和BC的關(guān)系，并說(shuō)明理由。 E D C B A 例4：如圖，已知：△ABC中，∠C=900，D、E是AB邊上的兩點(diǎn)，且AD=AC，BD=BC。 求∠DCE的度數(shù)。 G F E D C B A · · 例5：如圖，已知：△ABC中，BD、CE分別是AC、AB邊上的高，G、F分別是BC、DE的中點(diǎn)

13、。試探索FG與DE的關(guān)系。 A F E D B C M 例6：如圖，已知：△ABC中，∠C=900，AC=BC，M是AB的中點(diǎn)，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F。試判斷△MEF的形狀？并說(shuō)明理由。 E D C B A 例7：如圖，已知：△ABC為等邊三角形，延長(zhǎng)BC到D，延長(zhǎng)BA到E，AE=BD，連結(jié)EC、ED，試說(shuō)明CE=DE。 A F C E B D M P 例8：如圖，在等邊△ABC中，P為△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，AM⊥BC于M，試

14、猜想AM、PD、PE、PF之間的關(guān)系，并證明你的猜想． 等腰梯形的軸對(duì)稱性 一、知識(shí)點(diǎn)： 5． 等腰梯形的定義： ①梯形的定義：一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊不平行為梯形。 梯形中，平行的一組對(duì)邊稱為底，不平行的一組對(duì)邊稱為腰。 A D C B ②等腰梯形的定義：兩腰相等的梯形叫做等腰梯形。 6． 等腰梯形的性質(zhì)： ①等腰梯形是軸對(duì)稱圖形，是兩底中點(diǎn)的連線所在的直線。 ②等腰梯形同一底上兩底角相等。 ③等腰梯形的對(duì)角線相等。 3．等腰梯形的判定： ③ 在同一底上的2個(gè)底角相等的梯形是等腰梯形。 ④ 補(bǔ)充：對(duì)角線相等的梯形是等腰梯形。 二、舉例：

15、 例1：填空： 1、等腰梯形的腰長(zhǎng)為12cm，上底長(zhǎng)為15cm，上底與腰的夾角為120°，則下底長(zhǎng)為 cm． 2、如果一個(gè)等腰梯形的二個(gè)內(nèi)角的和為 1000 ，那么此梯形的四個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為 ． 3、等腰梯形上底的長(zhǎng)與腰長(zhǎng)相等，而一條對(duì)角線與一腰垂直，則梯形上底角的度數(shù)是______； 4、已知等腰梯形的一個(gè)底角等于600，它的兩底分別為13cm和37cm，它的周長(zhǎng)為_(kāi)______； A D C B 5、如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，∠A＝120°，對(duì)角線BD平分∠ABC，則 ∠BDC的度數(shù)是 ；又若AD＝5，則BC＝

16、 ． 6、如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB = AD，BD = BC， 則∠C= 0。 例2：如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O．試說(shuō)明：AO＝DO． 例3：如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AC=BD。試說(shuō)明：梯形ABCD是等腰梯形。 A D B C E 例4：如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3cm，BC＝7cm，E為CD的中點(diǎn)，四邊形ABED的周長(zhǎng)比△BCE的周長(zhǎng)大2 cm，試求AB的長(zhǎng)． 例5：如圖，在

17、等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，M為BC中點(diǎn)，則： (1)點(diǎn)M到兩腰AB、CD的距離相等嗎?請(qǐng)說(shuō)出你的理由。 (2)若連結(jié)AM、DM，那么△AMD是等腰三角形嗎?為什么? (3)又若N為AD的中點(diǎn)，那么MN⊥AD一定成立．你能說(shuō)明為什么嗎? A D B C E F M A D E F C B 例6、如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，E為CD中點(diǎn)，AE與BC的延長(zhǎng)線交于F． (1)判斷S△ABF和S梯形ABCD有何關(guān)系，并說(shuō)明理由． (2)判斷S△ABE和S梯形ABCD有何關(guān)系，并說(shuō)明

18、理由． (3)上述結(jié)論對(duì)一般梯形是否成立?為什么? A D E C B 例7、如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，E為CD的中點(diǎn)，AD+BC＝AB．則： (1)AE、BE分別平分∠DAB、∠ABC嗎?為什么? (2)AE⊥BE嗎?為什么? A P D Q B C 例8：在梯形ABCD中，∠B＝900，AB＝14cm ，AD＝18cm ，BC＝21cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿AD邊向點(diǎn)D以1 cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C開(kāi)始沿CB向點(diǎn)B以2cm/s的速度移動(dòng)，如果點(diǎn)P、Q分別從兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，多少秒后，梯形PBQD是等腰梯形？

19、 中心對(duì)稱與中心對(duì)稱圖形 一、知識(shí)點(diǎn)： 1、圖形的旋轉(zhuǎn)： 在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形繞一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)稱為圖形的旋轉(zhuǎn)，這個(gè)定點(diǎn)稱為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)的角度稱為旋轉(zhuǎn)角。旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等。對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等。每一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角彼此相等。 2、中心對(duì)稱： 把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么稱這兩個(gè)圖形關(guān)于這一點(diǎn)對(duì)稱。

20、也稱這兩個(gè)圖形成中心對(duì)稱，這個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)稱中心，兩個(gè)圖形中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)叫做對(duì)稱點(diǎn)。 注意：①中心對(duì)稱是旋轉(zhuǎn)的一種特例，因此， 成中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形具有旋轉(zhuǎn)圖形的一切性質(zhì)。 ②成中心對(duì)稱的2個(gè)圖形，對(duì)稱點(diǎn)的連線都經(jīng)過(guò)對(duì)稱中心， 并且被對(duì)稱中心平分。 3、中心對(duì)稱圖形： 把一個(gè)平面圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠和原來(lái)的圖形互相重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形。這個(gè)點(diǎn)就是它的對(duì)稱中心。 中心對(duì)稱圖形上的每一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連成的線段都被對(duì)稱中心平分。 4、中心對(duì)稱與中心對(duì)稱圖形之間的關(guān)系： 區(qū)別：（1）中心對(duì)稱是指兩個(gè)圖形的關(guān)系，中心對(duì)稱圖形是指具有某種性質(zhì)的圖形。（2）成

21、中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形的對(duì)稱點(diǎn)分別在兩個(gè)圖形上，中心對(duì)稱圖形的對(duì)稱點(diǎn)在一個(gè)圖形上。 聯(lián)系：若把中心對(duì)稱圖形的兩部分看成兩個(gè)圖形，則它們成中心對(duì)稱；若把中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形看成一個(gè)整體，則成為中心對(duì)稱圖形 . 5、對(duì)比軸對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形： 軸對(duì)稱圖形 中心對(duì)稱圖形 有一條對(duì)稱軸——直線 有一個(gè)對(duì)稱中心——點(diǎn) 沿對(duì)稱軸對(duì)折 繞對(duì)稱中心旋轉(zhuǎn)180O 對(duì)折后與原圖形重合 旋轉(zhuǎn)后與原圖形重合 二、舉例： 例1：如圖，將點(diǎn)陣中的圖形繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)900，畫(huà)出旋轉(zhuǎn)后的圖形. · 例2：畫(huà)出將ΔABC繞點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)120°后的對(duì)應(yīng)三角

22、形。 ·O C B A P′ P C B A 例3：如圖，已知ΔABC是直角三角形，BC為斜邊。若AP=3，將ΔABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，能與ΔACP′重合，求PP′的長(zhǎng)。 例4：如圖AC＝BD，∠A＝∠B，點(diǎn)E、F在AB上，且DE∥CF，試說(shuō)明此圖是中心對(duì)稱圖形的理由。 例5：已知：如圖，在△ABC中，∠BAC=1200，以BC為邊向形外作等邊三角形△BCD，把△ABD繞著點(diǎn)D按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)600后得到△ECD，若AB=3，AC=2，求∠BAD的度數(shù)與AD的長(zhǎng). 例6：如圖，直線l1⊥l2，垂足為O，點(diǎn)A1與點(diǎn)A關(guān)于直線l1對(duì)稱，點(diǎn)A2與點(diǎn)A關(guān)于直線l2對(duì)稱。點(diǎn)A1與點(diǎn)A2有怎樣的對(duì)稱關(guān)系？你能說(shuō)明理由嗎？