2013年全國高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí) 專題三 三角函數(shù)及解三角形第2講 三角恒等變換及解三角形 文

專題三三角函數(shù)及解三角形第2講三角恒等變換及解三角形真題試做1(2012·廣東高考，文6)在ABC中，若A60°，B45°，BC3，則AC()A4 B2 C D2(2012·上海高考，文17)在ABC中，若sin2Asin2Bsin2C，則ABC的形狀是()A鈍角三角形 B直角三角形C銳角三角形 D不能確定3(2012·江西高考，文4)若，則tan 2()A B C D4(2012·重慶高考，文5)()A B C D考向分析本部分主要考查三角函數(shù)的基本公式，三角恒等變形及解三角形等基本知識(shí)近幾年高考題目中每年有12個(gè)小題，一個(gè)大題，解答題以中低檔題為主，很多情況下與平面向量綜合考查，有時(shí)也與不等式、函數(shù)最值結(jié)合在一起，但難度不大，而三角函數(shù)與解三角形相結(jié)合，更是考向的主要趨勢(shì)三角恒等變換是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，主要考查利用各種三角函數(shù)進(jìn)行求值與化簡，其中降冪公式、輔助角公式是考查的重點(diǎn)，切化弦、角的變換是?？嫉娜亲儞Q思想正弦定理、余弦定理以及解三角形問題是高考的必考內(nèi)容，主要考查：邊和角的計(jì)算；三角形形狀的判斷；面積的計(jì)算；有關(guān)的范圍問題由于此內(nèi)容應(yīng)用性較強(qiáng)，與實(shí)際問題結(jié)合起來命題將是今后高考的一個(gè)關(guān)注點(diǎn)，不可小視熱點(diǎn)例析熱點(diǎn)一三角恒等變換及求值【例1】(2012·山東淄博一模，17)已知函數(shù)f(x)2cos2sin x.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和值域；(2)若為第二象限角，且f，求的值規(guī)律方法 明確“待求和已知三角函數(shù)間的差異”是解決三角函數(shù)化簡、求值、證明問題的關(guān)鍵三角恒等變換的常用策略有：(1)常值代換：特別是“1”的代換，1sin2cos2tan 45°等(2)項(xiàng)的分拆與角的配湊：二倍角只是個(gè)相對(duì)概念，如是的二倍角，是的二倍角等；，()等；熟悉公式的特點(diǎn)，正用或逆用都要靈活，特別對(duì)以下幾種變形更要牢記并會(huì)靈活運(yùn)用：1±sin 2sin2cos2±2sin cos (sin ±cos )2，cos 等(3)降冪與升冪：正用二倍角公式升冪，逆用二倍角公式降冪(4)角的合成及三角函數(shù)名的統(tǒng)一：asin bcos sin().變式訓(xùn)練1 (2012·山東濟(jì)寧模擬，17)已知函數(shù)f(x)sin xcos x(xR，0)的最小正周期為6.(1)求f的值；(2)設(shè)，f，f(32)，求cos()的值熱點(diǎn)二三角函數(shù)、三角形與向量等知識(shí)的交會(huì)【例2】(2012·山東煙臺(tái)適用性測(cè)試一，理17)在銳角三角形ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，m(2bc，cos C)，n(a，cos A)，且mn.(1)求角A的大?。?2)求函數(shù)y2sin2Bcos的值域規(guī)律方法 以解三角形為命題形式考查三角函數(shù)是“眾望所歸”：正、余弦定理的應(yīng)用，難度適中，運(yùn)算量適度，方向明確(化角或化邊)(1)利用正弦定理，將角化為邊時(shí)，實(shí)際上是把角的正弦替換為所對(duì)邊與外接圓直徑的比值(2)求角的大小一定要有兩個(gè)條件：是角的范圍；是角的某一三角函數(shù)值用三角函數(shù)值判斷角的大小時(shí)，一定要注意角的范圍及三角函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用(3)三角形的內(nèi)角和為，這是三角形中三角函數(shù)問題的特殊性在三角形中，任意兩角和與第三個(gè)角總互補(bǔ)，任意兩半角和與第三個(gè)角的半角總互余銳角三角形三內(nèi)角都是銳角三內(nèi)角的余弦值均為正值任意兩角的和都是鈍角任意兩邊的平方和大于第三邊的平方變式訓(xùn)練2 (2012·湖北武漢4月調(diào)研，18)在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知B60°，cos(BC).(1)求cos C的值；(2)若a5，求ABC的面積熱點(diǎn)三正、余弦定理的實(shí)際應(yīng)用【例3】某城市有一條公路，自西向東經(jīng)過A點(diǎn)到市中心O點(diǎn)后轉(zhuǎn)向東北方向OB現(xiàn)要修建一條鐵路L，L在OA上設(shè)一站A，在OB上設(shè)一站B，鐵路在AB部分為直線段現(xiàn)要求市中心O與AB的距離為10 km，問把A，B分別設(shè)在公路上離市中心O多遠(yuǎn)處才能使A，B之間的距離最短？并求最短距離(結(jié)果保留根號(hào))規(guī)律方法 (1)三角形應(yīng)用題主要是解決三類問題：測(cè)高度、測(cè)距離和測(cè)角度(2)在解三角形時(shí)，要根據(jù)具體的已知條件合理選擇解法，同時(shí)，不可將正弦定理與余弦定理割裂開來，有時(shí)需綜合運(yùn)用(3)在解決與三角形有關(guān)的實(shí)際問題時(shí)，首先要明確題意，正確畫出平面圖形或空間圖形，然后根據(jù)條件和圖形特點(diǎn)將問題歸納到三角形中解決要明確先用哪個(gè)公式或定理，先求哪些量，確定解三角形的方法在演算過程中，要算法簡練、算式工整、計(jì)算正確，還要注意近似計(jì)算的要求(4)在畫圖和識(shí)圖過程中要準(zhǔn)確理解題目中所涉及的幾種角，如仰角、俯角、方位角，以防出錯(cuò)(5)有些時(shí)候也必須注意到三角形的特殊性，如直角三角形、等腰三角形、銳角三角形等變式訓(xùn)練3 如圖，一船在海上自西向東航行，在A處測(cè)得某島M的方位角為北偏東，前進(jìn)m km后在B處測(cè)得該島的方位角為北偏東，已知該島周圍n km范圍內(nèi)(包括邊界)有暗礁，現(xiàn)該船繼續(xù)東行當(dāng)與滿足條件_時(shí)，該船沒有觸礁危險(xiǎn)思想滲透化歸轉(zhuǎn)化思想解答三角恒等變換問題求解恒等變換問題的思路：一角二名三結(jié)構(gòu)，即用化歸轉(zhuǎn)化的思想“去異求同”的過程，具體分析如下：(1)變角：首先觀察角與角之間的關(guān)系，注意角的一些常用變換形式，角的變換是三角函數(shù)變換的核心；(2)變名：其次看函數(shù)名稱之間的關(guān)系，通常“切化弦”，誘導(dǎo)公式的運(yùn)用；(3)結(jié)構(gòu)：再次觀察代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，降冪與升冪，巧用“1”的代換等(2012·福建高考，文20)某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù)：sin213°cos217°sin 13°cos 17°；sin215°cos215°sin 15°cos 15°；sin218°cos212°sin 18°cos 12°；sin2(18°)cos248°sin(18°)cos 48°；sin2(25°)cos255°sin(25°)cos 55°.(1)試從上述五個(gè)式子中選擇一個(gè)，求出這個(gè)常數(shù)；(2)根據(jù)(1)的計(jì)算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論解法一：(1)選擇式，計(jì)算如下：sin215°cos215°sin 15°cos 15°1sin 30°1.(2)三角恒等式為sin2cos2(30°)sin cos(30°).證明如下：sin2cos2(30°)sin cos(30°)sin2(cos 30°cos sin 30°sin )2sin (cos 30°cos sin 30°sin )sin2cos2sin cos sin2sin cos sin2sin2cos2.解法二：(1)同解法一(2)三角恒等式為sin2cos2(30°)sin cos(30°).證明如下：sin2cos2(30°)sin cos(30°)sin (cos 30°cos sin 30°sin )cos 2(cos 60°cos 2sin 60°sin 2)sin cos sin2cos 2cos 2sin 2sin 2(1cos 2)1cos 2cos 2.1已知cos xsin x，則sin()A B C D2在ABC中，如果0tan Atan B1，那么ABC是()A銳角三角形 B直角三角形C鈍角三角形 D不能確定3(2012·山東煙臺(tái)適用性測(cè)試一，5)已知傾斜角為的直線l與直線x2y20平行，則tan 2的值為()A B C D4(2012·江西南昌二模，5)已知cos，則cos xcos的值是()A B± C1 D±15(2012·山東淄博一模，10)在ABC中，已知bcos Cccos B3acos B，其中a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，則cos B的值為()A B C D6(原創(chuàng)題)已知sin x，則sin 2_.7(2012·湖南長沙模擬，18)已知函數(shù)f(x)3sin2x2sin xcos x5cos2x.(1)若f()5，求tan 的值；(2)設(shè)ABC三內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且，求f(x)在(0，B上的值域8(2012·廣東廣州二模，16)已知函數(shù)f(x)Asin(A0，0)在某一個(gè)周期內(nèi)的圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，.(1)求A和的值；(2)已知，且sin ，求f()的值參考答案命題調(diào)研·明晰考向真題試做1B解析：由正弦定理得，即，解得AC2.2A解析：由sin2Asin2Bsin2C，得a2b2c2，所以cos C0，所以C為鈍角，即ABC為鈍角三角形3B解析：因?yàn)?，所以，解方程得tan 3.于是根據(jù)倍角公式可得tan 2，故選B.4C解析：因?yàn)閟in 47°sin(30°17°)sin 30°cos 17°sin 17°cos 30°，所以原式sin 30°，故選C.精要例析·聚焦熱點(diǎn)熱點(diǎn)例析【例1】解：(1)f(x)1cos xsin x12cos，函數(shù)f(x)的最小正周期為2.又1cos1，函數(shù)f(x)的值域?yàn)?,3(2)f，12cos ，即cos .，又為第二象限角，且cos ，sin .原式.【變式訓(xùn)練1】解：(1)f(x)sin xcos x22sin.函數(shù)f(x)的最小正周期為6，T6，即.f(x)2sin.f2sin2sin.(2)f2sin2sin ，sin .f(32)2sin2sin2cos ，cos .，cos ，sin .cos()cos cos sin sin ××.【例2】解：(1)由mn，得(2bc)cos Aacos C0，(2sin Bsin C)cos Asin Acos C0，2sin Bcos Asin Ccos Asin Acos Csin(AC)sin(B)sin B.在銳角三角形ABC中，sin B0，cos A，故A.(2)在銳角三角形ABC中，A，故B.y2sin2Bcos1cos 2Bcos 2Bsin 2B1sin 2Bcos 2B1sin.B，2B.sin1，y2.函數(shù)y2sin2Bcos的值域?yàn)?【變式訓(xùn)練2】解：(1)在ABC中，由cos(BC)，得sin(BC)，cos Ccos (BC)Bcos(BC)cos Bsin(BC)sin B××.(2)由(1)，得sin C，sin Asin(BC).在ABC中，由正弦定理，得，c8.故ABC的面積為Sacsin B×5×8×10.【例3】解：在AOB中，設(shè)OAa，OBb.因?yàn)镺A為正西方向，OB為東北方向，所以AOB135°.又O到AB的距離為10，所以SABOabsin 135°|AB|·10，得|AB|ab.設(shè)OAB，則OBA45°.因?yàn)閍，b，所以ab·.當(dāng)且僅當(dāng)22°30時(shí)，“”成立所以|AB|×20(1)當(dāng)且僅當(dāng)22°30時(shí)，“”成立所以，當(dāng)ab10時(shí)，A，B之間的距離最短，且最短距離為20(1)km.即當(dāng)A，B分別在OA，OB上離市中心O 10km處時(shí)，能使A，B之間的距離最短，最短距離為20(1)km.【變式訓(xùn)練3】mcos cos nsin()解析：MAB90°，MBC90°MABAMB90°AMB，所以AMB.由題可知，在ABM中，根據(jù)正弦定理得，解得BM.要使船沒有觸礁危險(xiǎn)，需要BMsin(90°)n，所以與滿足mcos cos nsin()時(shí)，該船沒有觸礁危險(xiǎn)創(chuàng)新模擬·預(yù)測(cè)演練1B解析：由cos xsin x222sin，可得sin.2C解析：由題意0A，0B，tan Atan B0，則A，B兩角為銳角，又tan(AB)0，則AB為銳角，則角C為鈍角，故選C.3B解析：已知傾斜角為的直線l與直線x2y20平行，則tan ，tan 2.4C解析：cos xcoscos xcos xcossin xsincos xsin xcos×1.5A解析：因?yàn)閎cos Cccos B3acos B，所以sin Bcos Ccos Bsin C3sin Acos B，即sin(BC)3sin Acos B，即cos B.62解析：sin 2sincos 2x(12sin2x)2sin2x12×21312.7解：(1)由f()5，得3sin22sin cos 5cos25，3·sin 25·5.sin 2cos 21，即sin 21cos 22sin cos 2sin2，sin 0或tan .tan 0或tan .(2)由，得，則cos B，即B.又f(x)3sin2x2sin xcos x5cos2xsin 2xcos 2x42sin4，由0x，可得sin1，故5f(x)6，即所求值域是5,68解：(1)函數(shù)f(x)的圖象的最高點(diǎn)坐標(biāo)為，A2.依題意，得函數(shù)f(x)的周期T2，2.(2)由(1)得f(x)2sin.，且sin ，cos .sin 22sin cos ，cos 212sin2.f()2sin2.