2013年高中數(shù)學(xué) 暑期特獻(xiàn) 重要知識點(diǎn) 隱函數(shù)的求導(dǎo)、微分

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1、2013年高中數(shù)學(xué) 暑期特獻(xiàn) 重要知識點(diǎn) 隱函數(shù)的求導(dǎo)、微分若已知F(x,y)=0，求時(shí)，一般按下列步驟進(jìn)行求解： a)：若方程F(x,y)=0，能化為的形式，則用前面我們所學(xué)的方法進(jìn)行求導(dǎo)； b)：若方程F(x,y)=0，不能化為的形式，則是方程兩邊對x進(jìn)行求導(dǎo)，并把y看成x的函數(shù)，用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則進(jìn)行。 例題：已知，求 解答：此方程不易顯化，故運(yùn)用隱函數(shù)求導(dǎo)法.兩邊對x進(jìn)行求導(dǎo)， ，，故= ?? 注：我們對隱函數(shù)兩邊對x進(jìn)行求導(dǎo)時(shí)，一定要把變量y看成x的函數(shù)，然后對其利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則進(jìn)行求導(dǎo)。 例題：求隱函數(shù)，在x=0處的導(dǎo)數(shù) 解答：兩邊對x求導(dǎo)，故，當(dāng)x=0時(shí)，y=0

2、.故。 有些函數(shù)在求導(dǎo)數(shù)時(shí)，若對其直接求導(dǎo)有時(shí)很不方便，像對某些冪函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)時(shí)，有沒有一種比較直觀的方法呢？下面我們再來學(xué)習(xí)一種求導(dǎo)的方法：對數(shù)求導(dǎo)法 對數(shù)求導(dǎo)法 對數(shù)求導(dǎo)的法則：根據(jù)隱函數(shù)求導(dǎo)的方法，對某一函數(shù)先取函數(shù)的自然對數(shù)，然后在求導(dǎo)。注：此方法特別適用于冪函數(shù)的求導(dǎo)問題。 例題：已知x＞0，求 此題若對其直接求導(dǎo)比較麻煩，我們可以先對其兩邊取自然對數(shù)，然后再把它看成隱函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，就比較簡便些。如下 解答：先兩邊取對數(shù)： ，把其看成隱函數(shù)，再兩邊求導(dǎo) 因?yàn)椋? 例題：已知，求 此題可用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則進(jìn)行求導(dǎo)，但是比較麻煩，下面我們利用對數(shù)求導(dǎo)法進(jìn)行求導(dǎo)

3、解答：先兩邊取對數(shù)再兩邊求導(dǎo)因?yàn)?，所? 函數(shù)的微分 學(xué)習(xí)函數(shù)的微分之前，我們先來分析一個(gè)具體問題：一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響時(shí)，其邊長由x0變到了x0+△x，則此薄片的面積改變了多少？ 解答：設(shè)此薄片的邊長為x，面積為A，則A是x的函數(shù)： 薄片受溫度變化的影響面積的改變量，可以看成是當(dāng)自變量x從x0取的增量△x時(shí)，函數(shù)A相應(yīng)的增量△A，即：。從上式我們可以看出，△A分成兩部分，第一部分是△x的線性函數(shù)，即下圖中紅色部分；第二部分即圖中的黑色部分，當(dāng)△x→0時(shí)，它是△x的高階無窮小，表示為： 由此我們可以發(fā)現(xiàn)，如果邊長變化的很小時(shí)，面積的改變量可以近似的用地一部分來代替。下面我們

4、給出微分的數(shù)學(xué)定義： 函數(shù)微分的定義：設(shè)函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)有定義，x0及x0+△x在這區(qū)間內(nèi)，若函數(shù)的增量可表示為，其中A是不依賴于△x的常數(shù)，是△x的高階無窮小，則稱函數(shù)在點(diǎn)x0可微的。叫做函數(shù)在點(diǎn)x0相應(yīng)于自變量增量△x的微分，記作dy，即：=。 通過上面的學(xué)習(xí)我們知道：微分是自變量改變量△x的線性函數(shù)，dy與△y的差是關(guān)于△x的高階無窮小量，我們把dy稱作△y的線性主部。于是我們又得出：當(dāng)△x→0時(shí)，△y≈dy.導(dǎo)數(shù)的記號為： ，現(xiàn)在我們可以發(fā)現(xiàn)，它不僅表示導(dǎo)數(shù)的記號，而且還可以表示兩個(gè)微分的比值(把△x看成dx,即:定義自變量的增量等于自變量的微分)，還可表示為： 由此我們得出：若函

5、數(shù)在某區(qū)間上可導(dǎo)，則它在此區(qū)間上一定可微，反之亦成立。 微分形式不變性 ?? 什么是微分形式不邊形呢？ ?? 設(shè)，則復(fù)合函數(shù)的微分為： ?????????????????????????? ， ?? 由于，故我們可以把復(fù)合函數(shù)的微分寫成 ?????????????????????????? ?? 由此可見，不論u是自變量還是中間變量，的微分dy總可以用與du的乘積來表示， ?? 我們把這一性質(zhì)稱為微分形式不變性。 ?? 例題：已知，求dy ?? 解答：把2x+1看成中間變量u，根據(jù)微分形式不變性，則 ????????? ?? 通過上面的學(xué)習(xí)，我們知道微分與導(dǎo)數(shù)有

6、著不可分割的聯(lián)系，前面我們知道基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù) ?? 的運(yùn)算法則，那么基本初等函數(shù)的微分公式和微分運(yùn)算法則是怎樣的呢？ ????? 下面我們來學(xué)習(xí)———基本初等函數(shù)的微分公式與微分的運(yùn)算法則 基本初等函數(shù)的微分公式與微分的運(yùn)算法則 　 基本初等函數(shù)的微分公式 ?? 由于函數(shù)微分的表達(dá)式為：，于是我們通過基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)的公式可得出基本初等函數(shù)微分的公式，下面我們用表格來把基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式與微分公式對比一下：(部分公式) 導(dǎo)數(shù)公式 微分公式 微分運(yùn)算法則 ?? 由函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則，可推出

7、相應(yīng)的微分法則.為了便于理解，下面我們用表格來把微分的運(yùn)算法則與導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則對照一下： 函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則 函數(shù)和、差、積、商的微分法則 ?? 復(fù)合函數(shù)的微分法則就是前面我們學(xué)到的微分形式不變性，在此不再詳述。 ?? 例題：設(shè)，求對x3的導(dǎo)數(shù) ?? 解答：根據(jù)微分形式的不變性 ???????? 微分的應(yīng)用 ?? 微分是表示函數(shù)增量的線性主部.計(jì)算函數(shù)的增量，有時(shí)比較困難，但計(jì)算微分則比較簡單，為此我們用函數(shù)的微分來近似的代替函數(shù)的增量，這就是微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用. ?? 例題：求的近似值。 ?? 解答：我們發(fā)現(xiàn)用計(jì)算的方法特別麻煩，為此把轉(zhuǎn)化為求微分的問題 ????????? ????????????? ?????? 故其近似值為1.025(精確值為1.024695)