（福建專用）2013年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第八章第8課時(shí) 立體幾何中的向量方法課時(shí)闖關(guān)（含解析）

（福建專用）2013年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第八章第8課時(shí) 立體幾何中的向量方法課時(shí)闖關(guān)（含解析）一、選擇題1(原創(chuàng)題)如果平面的一條斜線和它在這個(gè)平面上的射影的方向向量分別是a(0,2,1)，b(，)，那么這條斜線與平面的夾角是()A90°B60°C45° D30°解析：選D.cos，因此a與b的夾角為30°.從而可得斜面與平面的夾角為30°.2.如圖所示，正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別是正方形ADD1A1和ABCD的中心，G是CC1的中點(diǎn)，設(shè)GF、C1E與AB所成的角分別為、，則等于()A120°B60°C75° D90°解析：選D.建立坐標(biāo)系如圖，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則B(2,0,0)，A(2,2,0)，G(0,0,1)，F(xiàn)(1,1,0)，C1(0,0,2)，E(1,2,1)則(0,2,0)，(1,1，1)，(1,2，1)，cos，cos，cos，sin，cos，sin，90°，故選D.3(2010·高考大綱全國(guó)卷)正方體ABCDA1B1C1D1中，BB1與平面ACD1所成角的余弦值為()A.B.C. D.解析：選D.如圖，連接BD交AC于O，連接D1O.由于BB1DD1，DD1與平面ACD1所成的角就是BB1與平面ACD1所成的角易知DD1O即為所求設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則DD11，DO，D1O，cosDD1O.BB1與平面ACD1所成角的余弦值為.4直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90°，BAC30°，BC1，AA1，M是CC1的中點(diǎn)，則異面直線AB1與A1M所成的角為()A60° B45°C30° D90°解析：選D.建立坐標(biāo)系如圖所示，易得M(0,0，)，A1(0，0)，A(0，)，B1(1,0,0)，(1，)，(0，)·1×030，.即AB1A1M.5已知在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，高為4，則點(diǎn)A1到截面AB1D1的距離是()A. B.C. D.解析：選C.如圖建立坐標(biāo)系Dxyz，則A1(2,0,4)，A(2,0,0)，B1(2,2,4)，D1(0,0,4)，(2,0,4)，(0,2,4)，(0,0,4)，設(shè)平面AB1D1的法向量為n(x，y，z)，則即解得x2z且y2z，不妨設(shè)n(2，2,1)，設(shè)點(diǎn)A1到平面AB1D1的距離為d，則d，故選C.二、填空題6(2012·漳州調(diào)研)長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，AD1，E為CC1的中點(diǎn)，則異面直線BC1與AE所成角的余弦值為_(kāi)解析：建立坐標(biāo)系如圖，則A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)，(1,0,2)，(1,2,1)，cos，.答案：7.如圖所示，已知正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱長(zhǎng)都相等，D是A1C1的中點(diǎn)，則直線AD與平面B1DC所成角的正弦值為_(kāi)解析：不妨設(shè)正三棱柱ABCA1B1C1的棱長(zhǎng)為2，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系(x軸垂直于AB)，則C(0,0,0)，A(，1,0)，B1(，1,2)，D(，2)，則(，2)，(，1,2)設(shè)平面B1DC的法向量為n(x，y,1)，由解得n(，1,1)又(，2)，sin|cos，n|.答案：8.如圖，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB1，AA12，則二面角C1ABC的余弦值為_(kāi)解析：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0)，(0,1,2)，(，0)設(shè)n(x，y，z)為平面ABC1的法向量，則取n(，2，1)，同理取m(0,0,1)作為平面ABC的法向量則cosm，n.二面角C1ABC的余弦值為.答案：三、解答題9(2010·高考天津卷)如圖，在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱BC，CC1上的點(diǎn)，CFAB2CE，ABADAA1124.(1)求異面直線EF與A1D所成角的余弦值；(2)證明AF平面A1ED；(3)求二面角A1EDF的正弦值解：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)設(shè)AB1，依題意得D(0,2,0)，F(xiàn)(1,2,1)，A1(0,0,4)，E(1，0)(1)易得(0，1)，(0,2，4)，于是cos，.所以異面直線EF與A1D所成角的余弦值為.(2)證明：易知(1,2,1)，(1，4)，(1，0)，于是·0，·0.因此，AFEA1，AFED.又EA1EDE，所以AF平面A1ED.(3)設(shè)平面EFD的法向量u(x，y，z)，則即不妨令x1，可得u(1,2，1)，由(2)可知，為平面A1ED的一個(gè)法向量，于是cosu，從而sinu，.所以二面角A1EDF的正弦值為.10四棱錐PABCD的底面與四個(gè)側(cè)面的形狀和大小如圖所示(1)寫出四棱錐PABCD中四對(duì)線面垂直關(guān)系(不要求證明)；(2)在四棱錐PABCD中，若E為PA的中點(diǎn)，求證：BE平面PCD；(3)在四棱錐PABCD中，設(shè)面PAB與面PCD所成的角為(0°<90°)，求cos的值解：(1)在四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，AD平面PAB，BC平面PAB，AB平面PAD.CD平面PAC.(2)依題意AB，AD，AP兩兩垂直，分別以直線AB，AD，AP為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如上圖則P(0,0,2)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,4,0)E是PA的中點(diǎn)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,0,1)，(2,0,1)，(2,2，2)，(0,4，2)設(shè)n1(x，y，z)是平面PCD的法向量由即取y1，得n1(1,1,2)為平面PCD的一個(gè)法向量·n12×10×11×20，n1，平面PCD.又BE平面PCD，BE平面PCD.(3)由(2)，平面PCD的一個(gè)法向量為n1(1,1,2)又AD平面PAB，平面PAB的一個(gè)法向量為n2(0,1,0)cos|.一、選擇題1.如圖所示，A1B1C1ABC是直三棱柱，BCA90°，點(diǎn)D1、F1分別是A1B1和A1C1的中點(diǎn)，若BCCACC1，則BD1與AF1所成角的余弦值為()A. B.C. D解析：選A.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)BCCACC12，則A(2,0,0)，B(0，2,0)，C1(0,0,2)，A1(2,0,2)，B1(0，2,2)D1、F1為A1B1、A1C1的中點(diǎn)，D1(1,1,2)，F(xiàn)1(1,0,2)，(1，1,2)，(1,0,2)，·(1，1,2)·(1,0,2)3，|，|，cos，.2.(2010·高考北京卷)如圖，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，動(dòng)點(diǎn)E、F在棱A1B1上，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別在棱AD，CD上，若EF1，A1Ex，DQy，DPz(x，y，z大于零)，則四面體PEFQ的體積()A與x，y，z都有關(guān)B與x有關(guān)，與y，z無(wú)關(guān)C與y有關(guān)，與x，z無(wú)關(guān)D與z有關(guān)，與x，y無(wú)關(guān)答案：D二、填空題3已知在半徑為2的球面上有A、B、C、D四點(diǎn)，若ABCD2，則四面體ABCD的體積的最大值為_(kāi)解析：過(guò)CD作平面PCD，使AB平面PCD，交AB與P，設(shè)點(diǎn)P到CD的距離為h，則有V四面體ABCD×2××2×hh，當(dāng)直徑通過(guò)AB與CD的中點(diǎn)時(shí)，hmax22，故Vmax.答案：4.(2011·高考湖北卷)如圖，直角坐標(biāo)系xOy所在的平面為，直角坐標(biāo)系xOy(其中y軸與y軸重合)所在的平面為，xOx45°.(1)已知平面內(nèi)有一點(diǎn)P(2，2)，則點(diǎn)P在平面內(nèi)的射影P的坐標(biāo)為_(kāi)；(2)已知平面內(nèi)的曲線C的方程是(x)22y220，則曲線C在平面內(nèi)的射影C的方程是_解析：(1)設(shè)點(diǎn)P在平面內(nèi)的射影P的坐標(biāo)為x，y，則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)和P(2，2)縱坐標(biāo)相同，所以y2，過(guò)點(diǎn)P作PHOy，垂足為H，連結(jié)PH，則PHP45°，P橫坐標(biāo)xPHPHcos45°xcos45°2×2，所以點(diǎn)P在平面內(nèi)的射影P的坐標(biāo)為(2,2)；(2)由(1)得xxcos45°x×，yy，所以代入曲線C的方程(x)22y220，得(x)22y220(x1)2y21，所以射影C的方程填(x1)2y21.答案：(2,2)(x1)2y21三、解答題5.如圖所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)面A1ABB1和BCC1B1是兩個(gè)全等的正方形，AC1平面A1DB，D為AC的中點(diǎn)(1)求證：平面A1ABB1平面BCC1B1；(2)求證：B1C平面A1DB；(3)設(shè)E是CC1上一點(diǎn)，試確定點(diǎn)E的位置，使平面A1DB平面BDE，并說(shuō)明理由解：(1)證明：如圖，連結(jié)AB1交A1B于O點(diǎn)，連結(jié)OD.AC1平面A1DB，A1B平面A1DB，AC1A1B.又在正方形A1ABB1中，A1BAB1，AC1AB1A.A1B面AC1B1.又B1C1面AC1B1，A1BB1C1.在正方形BCC1B1中有B1C1BB1，又BB1A1BB，B1C1平面A1ABB1.平面A1ABB1平面BCC1B1.(2)證明：由(1)知BC，BB1，BA兩兩垂直，如圖以B為原點(diǎn)，BC，BB1，BA分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系Bxyz，設(shè)正方形邊長(zhǎng)為1，則C(1,0,0)，C1(1,1,0)，B1(0,1,0)，A1(0,1,1)，A(0,0,1)，D(，0，)由AC1平面A1DB，得平面A1DB的一個(gè)法向量為n(1,1，1)(1，1,0)，·n(1，1,0)·(1,1，1)1100.又B1C平面A1DB，B1C平面A1DB.(3)設(shè)點(diǎn)E(1，b,0)，平面BDE的法向量為m(x，y，z)，則由得令y1，則m(b,1，b)，由m·n(b,1，b)·(1,1，1)0，得b，即當(dāng)E為CC1中點(diǎn)時(shí)，平面A1DB平面BDE.6.(2011·高考四川卷)如圖，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，BAC90°，ABACAA11.D是棱CC1上的一點(diǎn)，P是AD的延長(zhǎng)線與A1C1的延長(zhǎng)線的交點(diǎn)，且PB1平面BDA1.求證：CDC1D；求二面角A­A1D­B的平面角的余弦值；求點(diǎn)C到平面B1DP的距離解：法一：(1)證明：如圖所示，連接AB1，與BA1交于點(diǎn)O，連接OD，PB1平面BDA1，PB1平面AB1P，平面AB1P平面BDA1OD，ODPB1.又AOB1O，ADPD.又ACC1P，CDC1D.如圖所示，過(guò)點(diǎn)A作AEDA1于點(diǎn)E，連接BE.BACA，BAAA1，且AA1ACA，BA平面AA1C1C.由三垂線定理可知BEDA1，BEA為二面角A­A1D­B的平面角在RtA1C1D中，A1D ，又SAA1D×1×1×·AE，AE.在RtBAE中，BE，cosBEA.故二面角A­A1D­B的平面角的余弦值為.由題意知，點(diǎn)C到平面B1DP的距離是點(diǎn)C到平面DB1A的距離設(shè)此距離為h，VC­AB1DVB1­ACD，SDB1A·hSACD·B1A1.由已知可得AP，PB1，AB1，在等腰AB1P中，SAB1PAB1·.SAB1DSAB1P.又SACDAC·CD，h.故點(diǎn)C到平面B1DP的距離等于.法二：如圖，以A1為原點(diǎn)，A1B1，A1C1，A1A所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A1，B1，C1，B.證明：設(shè)C1Dx，ACPC1，.由此可得D，P.，.設(shè)平面BA1D的一個(gè)法向量為n1，則令c1，則n1.PB1平面BDA1，n1·1×x·×00.由此可得x.故CDC1D.由知，平面BA1D的一個(gè)法向量n1.又n2為平面AA1D的一個(gè)法向量，cosn1，n2.故二面角A­A1D­B的平面角的余弦值為.，設(shè)平面B1DP的一個(gè)法向量為n3.則令c11，可得n3.又，C到平面B1DP的距離d.