2011-2012年高考數(shù)學(xué) 真題分類匯編 概率與統(tǒng)計(jì)（含解析）

概率與統(tǒng)計(jì)1. (2012·遼寧高考卷·T5·5分) 一排9個(gè)座位坐了3個(gè)三口之家，若每家人坐在一起，則不同的坐法種數(shù)為(A)3×3！ (B) 3×(3！)3 (C)(3！)4 (D) 9！【答案】C【解析】此排列可分兩步進(jìn)行，先把三個(gè)家庭分別排列，每個(gè)家庭有種排法，三個(gè)家庭共有種排法；再把三個(gè)家庭進(jìn)行全排列有種排法。因此不同的坐法種數(shù)為，答案為C 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查分步計(jì)數(shù)原理，以及分析問題、解決問題的能力，屬于中檔題。2. (2012·遼寧高考卷·T10·5分)在長為12cm的線段AB上任取一點(diǎn)C.現(xiàn)作一矩形，領(lǐng)邊長分別等于線段AC，CB的長，則該矩形面積小于32cm2的概率為(A) (B) (C) (D) 【答案】C【解析】設(shè)線段AC的長為cm，則線段CB的長為()cm,那么矩形的面積為cm2，由，解得。又，所以該矩形面積小于32cm2的概率為，故選C【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)模型的應(yīng)用、不等式的解法、幾何概型的計(jì)算，以及分析問題的能力，屬于中檔題。3.（2012·上海高考卷·T17·5分）設(shè)，隨機(jī)變量取值的概率均為，隨機(jī)變量取值的概率也均為，若記分別為的方差，則（ ）A B C D與的大小關(guān)系與的取值有關(guān)【答案】 A【解析】 由隨機(jī)變量的取值情況，它們的平均數(shù)分別為：， 且隨機(jī)變量的概率都為，所以有. 故選擇A.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查離散型隨機(jī)變量的期望和方差公式.記牢公式是解決此類問題的前提和基礎(chǔ)，本題屬于中檔題.4.（2012·湖北高考卷·T8·5分）如圖,在圓心角為直角的扇形OAB中,分別以O(shè)A,OB為直徑作兩個(gè)半圓. 在扇形OAB內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自陰影部分的概率是（）AB CD【答案】A【解析】如下圖所示，設(shè)的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，半圓與半圓的交點(diǎn)分別為，則四邊形是正方形.不妨設(shè)扇形的半徑為，記兩塊白色區(qū)域的面積分別為，兩塊陰影部分的面積分別為.則, 而，即, 由-，得.又由圖象觀察可知，.故由幾何概型概率公式可得，此點(diǎn)取自陰影部分的概率.【點(diǎn)評(píng)】本題考查古典概型的應(yīng)用以及觀察推理的能力.本題難在如何求解陰影部分的面積，即如何巧妙地將不規(guī)則圖形的面積化為規(guī)則圖形的面積來求解.來年需注意幾何概型在實(shí)際生活中的應(yīng)用.5.（2011年湖北）如圖，用K、三類不同的元件連接成一個(gè)系統(tǒng)。當(dāng)正常工作且、至少有一個(gè)正常工作時(shí)，系統(tǒng)正常工作，已知K、正常工作的概率依次為09、08、08，則系統(tǒng)正常工作的概率為A0960 B0864 C0720 D0576B6. （2011年湖北）在30瓶飲料中，有3瓶已過了保質(zhì)期。從這30瓶飲料中任取2瓶，則至少取到一瓶已過保質(zhì)期飲料的概率為 。（結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示）7. （2011年湖北）給個(gè)自上而下相連的正方形著黑色或白色。當(dāng)時(shí)，在所有不同的著色方案中，黑色正方形互不相鄰的著色方案如下圖所示：由此推斷，當(dāng)時(shí)，黑色正方形互不相鄰的著色方案共有 種，至少有兩個(gè)黑色正方形相鄰的著色方案共有 種，（結(jié)果用數(shù)值表示）答案：21，438. （2011年湖南）通過隨機(jī)詢問110名性別不同的大學(xué)生是否愛好某項(xiàng)運(yùn)動(dòng)，得到如下的列聯(lián)表：男女總計(jì)愛好402060不愛好203050總計(jì)6050110由算得，0050001000013841663510828參照附表，得到的正確結(jié)論是A再犯錯(cuò)誤的概率不超過01%的前提下，認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”B再犯錯(cuò)誤的概率不超過01%的前提下，認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無關(guān)”C有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”D有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無關(guān)”答案：C9. （2011年江蘇）從1，2，3，4這四個(gè)數(shù)中一次隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)，則其中一個(gè)數(shù)是另一個(gè)的兩倍的概率為_答案：10（2011年安徽）工作人員需進(jìn)入核電站完成某項(xiàng)具有高輻射危險(xiǎn)的任務(wù)，每次只派一個(gè)人進(jìn)去，且每個(gè)人只派一次，工作時(shí)間不超過10分鐘，如果有一個(gè)人10分鐘內(nèi)不能完成任務(wù)則撤出，再派下一個(gè)人。現(xiàn)在一共只有甲、乙、丙三個(gè)人可派，他們各自能完成任務(wù)的概率分別，假設(shè)互不相等，且假定各人能否完成任務(wù)的事件相互獨(dú)立.（）如果按甲最先，乙次之，丙最后的順序派人，求任務(wù)能被完成的概率。若改變?nèi)齻€(gè)人被派出的先后順序，任務(wù)能被完成的概率是否發(fā)生變化？（）若按某指定順序派人，這三個(gè)人各自能完成任務(wù)的概率依次為，其中是的一個(gè)排列，求所需派出人員數(shù)目的分布列和均值（數(shù)字期望）；（）假定，試分析以怎樣的先后順序派出人員，可使所需派出的人員數(shù)目的均值（數(shù)字期望）達(dá)到最小。分析：本題考查相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算，考查離散型隨機(jī)變量及其分布列、均值等基本知識(shí)，考查在復(fù)雜情境下處理問題的能力以及抽象概括能力、合情推理與演繹推理，分類讀者論論思想，應(yīng)用意識(shí)與創(chuàng)新意識(shí).解：（I）無論以怎樣的順序派出人員，任務(wù)不能被完成的概率都是，所以任務(wù)能被完成的概率與三個(gè)被派出的先后順序無關(guān)，并等于 （II）當(dāng)依次派出的三個(gè)人各自完成任務(wù)的概率分別為時(shí)，隨機(jī)變量X的分布列為X123P所需派出的人員數(shù)目的均值（數(shù)學(xué)期望）EX是 （III）（方法一）由（II）的結(jié)論知，當(dāng)以甲最先、乙次之、丙最后的順序派人時(shí)，根據(jù)常理，優(yōu)先派出完成任務(wù)概率大的人，可減少所需派出的人員數(shù)目的均值.下面證明：對(duì)于的任意排列，都有（*）事實(shí)上，即（*）成立.（方法二）（i）可將（II）中所求的EX改寫為若交換前兩人的派出順序，則變?yōu)?由此可見，當(dāng)時(shí)，交換前兩人的派出順序可減小均值.（ii）也可將（II）中所求的EX改寫為，或交換后兩人的派出順序，則變?yōu)?由此可見，若保持第一個(gè)派出的人選不變，當(dāng)時(shí)，交換后兩人的派出順序也可減小均值.序綜合（i）（ii）可知，當(dāng)時(shí)，EX達(dá)到最小. 即完成任務(wù)概率大的人優(yōu)先派出，可減小所需派出人員數(shù)目的均值，這一結(jié)論是合乎常理的.11.（2011年北京）以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組個(gè)四名同學(xué)的植樹棵樹。乙組記錄中有一個(gè)數(shù)據(jù)模糊，無法確認(rèn)，在圖中以X表示。（）如果X=8,求乙組同學(xué)植樹棵樹的平均數(shù)和方差；（）如果X=9，分別從甲、乙兩組中隨機(jī)選取一名同學(xué)，求這兩名同學(xué)的植樹總棵樹Y的分布列和數(shù)學(xué)期望。（注：方差，其中為， 的平均數(shù)）解（1）當(dāng)X=8時(shí)，由莖葉圖可知，乙組同學(xué)的植樹棵數(shù)是：8，8，9，10，所以平均數(shù)為方差為（）當(dāng)X=9時(shí)，由莖葉圖可知，甲組同學(xué)的植樹棵樹是：9，9，11，11；乙組同學(xué)的植樹棵數(shù)是：9，8，9，10。分別從甲、乙兩組中隨機(jī)選取一名同學(xué)，共有4×4=16種可能的結(jié)果，這兩名同學(xué)植樹總棵數(shù)Y的可能取值為17，18，19，20，21事件“Y=17”等價(jià)于“甲組選出的同學(xué)植樹9棵，乙組選出的同學(xué)植樹8棵”所以該事件有2種可能的結(jié)果，因此P（Y=17）=同理可得所以隨機(jī)變量Y的分布列為：Y1718192021PEY=17×P（Y=17）+18×P（Y=18）+19×P（Y=19）+20×P（Y=20）+21×P（Y=21）=17×+18×+19×+20×+21×=1912.（2011年福建）某產(chǎn)品按行業(yè)生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)分成8個(gè)等級(jí)，等級(jí)系數(shù)X依次為1,2，8，其中X5為標(biāo)準(zhǔn)A，X為標(biāo)準(zhǔn)B，已知甲廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)A生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價(jià)為6元/件；乙廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)B生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價(jià)為4元/件，假定甲、乙兩廠得產(chǎn)品都符合相應(yīng)的執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)（I）已知甲廠產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)X1的概率分布列如下所示：5678P04ab01且X1的數(shù)字期望EX1=6，求a，b的值；（II）為分析乙廠產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)X2，從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取30件，相應(yīng)的等級(jí)系數(shù)組成一個(gè)樣本，數(shù)據(jù)如下： 3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 38 3 4 3 4 4 7 5 6 7用這個(gè)樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，將頻率視為概率，求等級(jí)系數(shù)X2的數(shù)學(xué)期望 （III）在（I）、（II）的條件下，若以“性價(jià)比”為判斷標(biāo)準(zhǔn)，則哪個(gè)工廠的產(chǎn)品更具可購買性？說明理由注：（1）產(chǎn)品的“性價(jià)比”=； （2）“性價(jià)比”大的產(chǎn)品更具可購買性分析：本小題主要考查概率、統(tǒng)計(jì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)據(jù)處理能力、運(yùn)算求解能力、應(yīng)用意識(shí)，考查函數(shù)與方程思想、必然與或然思想、分類與整合思想。解：（I）因?yàn)橛钟蒟1的概率分布列得由（II）由已知得，樣本的頻率分布表如下：345678030202010101用這個(gè)樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，將頻率視為概率，可得等級(jí)系數(shù)X2的概率分布列如下：345678P030202010101所以即乙廠產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于4.8.（III）乙廠的產(chǎn)品更具可購買性，理由如下：因?yàn)榧讖S產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)的期望數(shù)學(xué)等于6，價(jià)格為6元/件，所以其性價(jià)比為因?yàn)橐覐S產(chǎn)呂的等級(jí)系數(shù)的期望等于4.8，價(jià)格為4元/件，所以其性價(jià)比為據(jù)此，乙廠的產(chǎn)品更具可購買性。13.（2011年廣東）為了解甲、乙兩廠的產(chǎn)品質(zhì)量，采用分層抽樣的方法從甲、乙兩廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中分別抽出取14件和5件，測(cè)量產(chǎn)品中的微量元素x,y的含量（單位：毫克）下表是乙廠的5件產(chǎn)品的測(cè)量數(shù)據(jù)：編號(hào)12345x169178166175180y7580777081（1）已知甲廠生產(chǎn)的產(chǎn)品共有98件，求乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量；（2）當(dāng)產(chǎn)品中的微量元素x,y滿足x175，且y75時(shí),該產(chǎn)品為優(yōu)等品。用上述樣本數(shù)據(jù)估計(jì)乙廠生產(chǎn)的優(yōu)等品的數(shù)量；（3）從乙廠抽出的上述5件產(chǎn)品中，隨機(jī)抽取2件，求抽取的2件產(chǎn)品中優(yōu)等品數(shù)的分布列極其均值（即數(shù)學(xué)期望）。解：（1），即乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量為35件。 （2）易見只有編號(hào)為2，5的產(chǎn)品為優(yōu)等品，所以乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中的優(yōu)等品故乙廠生產(chǎn)有大約（件）優(yōu)等品， （3）的取值為0，1，2。所以的分布列為012P14故（2012·安徽高考卷·T17·12分)某單位招聘面試，每次從試題庫隨機(jī)調(diào)用一道試題，若調(diào)用類型試題，則使用后該試題回庫，并增補(bǔ)一道類試題和一道類型試題入庫，此次調(diào)題工作結(jié)束；若調(diào)用的是類型試題，則使用后該試題回庫，此次調(diào)題工作結(jié)束.試題庫中現(xiàn)共有道試題，其中有道類型試題和道類型試題，以表示兩次調(diào)題工作完成后，試題庫中類試題的數(shù)量.（）求的概率；（）設(shè)，求的分布列和均值（數(shù)學(xué)期望）.【解題指導(dǎo)】本題考查基本事件概率，條件概率，離散型隨機(jī)變量及其分布列均值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查分類討論思想和應(yīng)用創(chuàng)新意識(shí).【解析】（I）表示兩次調(diào)題均為類型試題，概率為.（）時(shí)，每次調(diào)用的是類型試題的概率為，隨機(jī)變量可取.，.答：（）的概率為； （）的均值為.【易錯(cuò)警示】本題在求解時(shí)，注意第一次取出不同試題之后，放回的試題不一樣，這樣在第二次取試題的時(shí)候，背景就改變了，究竟第二次取試題是在什么樣的背景下，要緊密關(guān)聯(lián)第一次取試題的結(jié)果，如果割裂開兩次取試題之間的關(guān)系，就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.15.（2012·湖南高考卷·T17·12分)某超市為了解顧客的購物量及結(jié)算時(shí)間等信息，安排一名員工隨機(jī)收集了在該超市購物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表所示.一次購物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顧客數(shù)（人）302510結(jié)算時(shí)間（分鐘/人）11.522.53已知這100位顧客中的一次購物量超過8件的顧客占55.（）確定x，y的值，并估計(jì)顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間的平均值；（）求一位顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間不超過2分鐘的概率.（將頻率視為概率）【解析】（）由已知得，該超市所有顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間組成一個(gè)總體，所收集的100位顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間可視為一個(gè)容量為100的簡單隨機(jī)樣本，顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間的平均值可用樣本平均數(shù)估計(jì)，其估計(jì)值為:(分鐘).（）記A為事件“一位顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間不超過2分鐘”，分別表示事件“該顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間為1分鐘”， “該顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間為分鐘”， “該顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間為2分鐘”.將頻率視為概率，得.是互斥事件，.故一位顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間不超過2分鐘的概率為.【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力、分析問題能力.第一問中根據(jù)統(tǒng)計(jì)表和100位顧客中的一次購物量超過8件的顧客占55，知從而解得，再用樣本估計(jì)總體，得出顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間的平均值的估計(jì)值；第二問，通過設(shè)事件，判斷事件之間互斥關(guān)系，從而求得一位顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間不超過2分鐘的概率.16某河流上的一座水力發(fā)電站，每年六月份的發(fā)電量Y（單位：萬千瓦時(shí)）與該河上游在六月份是我降雨量X（單位：毫米）有關(guān)，據(jù)統(tǒng)計(jì)，當(dāng)X=70時(shí)，Y=460；X每增加10，Y增加5已知近20年X的值為：140, 110, 160, 70, 200, 160, 140, 160, 220, 200, 110, 160, 160, 200, 140, 110, 160, 220, 140, 160. （）完成如下的頻率分布表近20年六月份降雨量頻率分布表降雨量70110140160200220頻率 （）假定今年六月份的降雨量與近20年六月份降雨量的分布規(guī)律相同，并將頻率是為概率，求今年六月份該水力發(fā)電站的發(fā)電量低于490（萬千瓦時(shí)）或超過530（萬千瓦時(shí)）的概率解：（I）在所給數(shù)據(jù)中，降雨量為110毫米的有3個(gè)，為160毫米的有7個(gè)，為200毫米的有3個(gè)，故近20年六月份降雨量頻率分布表為降雨量70110140160200220頻率 （II）P（“發(fā)電量低于490萬千瓦時(shí)或超過530萬千瓦時(shí)”） 故今年六月份該水力發(fā)電站的發(fā)電量低于490（萬千瓦時(shí)）或超過530（萬千瓦時(shí)）的概率為17（2011年湖南）某商店試銷某種商品20天，獲得如下數(shù)據(jù)：日銷售量（件）0123頻數(shù)1595試銷結(jié)束后（假設(shè)該商品的日銷售量的分布規(guī)律不變），設(shè)某天開始營業(yè)時(shí)有該商品3件，當(dāng)天營業(yè)結(jié)束后檢查存貨，若發(fā)現(xiàn)存貨少于2件，則當(dāng)天進(jìn)貨補(bǔ)充至3件，否則不進(jìn)貨，將頻率視為概率。（）求當(dāng)天商品不進(jìn)貨的概率；（）記X為第二天開始營業(yè)時(shí)該商品的件數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期型。解（I）（“當(dāng)天商品不進(jìn)貨”）（“當(dāng)天商品銷售量為0件”）（“當(dāng)天商品銷售量為1件”）（）由題意知，的可能取值為2,3. （“當(dāng)天商品銷售量為1件”） （“當(dāng)天商品銷售量為0件”）（“當(dāng)天商品銷售量為2件”）（“當(dāng)天商品銷售量為3件”） 故的分布列為23 的數(shù)學(xué)期望為18.（2011年安徽）工作人員需進(jìn)入核電站完成某項(xiàng)具有高輻射危險(xiǎn)的任務(wù)，每次只派一個(gè)人進(jìn)去，且每個(gè)人只派一次，工作時(shí)間不超過10分鐘，如果有一個(gè)人10分鐘內(nèi)不能完成任務(wù)則撤出，再派下一個(gè)人。現(xiàn)在一共只有甲、乙、丙三個(gè)人可派，他們各自能完成任務(wù)的概率分別，假設(shè)互不相等，且假定各人能否完成任務(wù)的事件相互獨(dú)立.（）如果按甲最先，乙次之，丙最后的順序派人，求任務(wù)能被完成的概率。若改變?nèi)齻€(gè)人被派出的先后順序，任務(wù)能被完成的概率是否發(fā)生變化？（）若按某指定順序派人，這三個(gè)人各自能完成任務(wù)的概率依次為，其中是的一個(gè)排列，求所需派出人員數(shù)目的分布列和均值（數(shù)字期望）；（）假定，試分析以怎樣的先后順序派出人員，可使所需派出的人員數(shù)目的均值（數(shù)字期望）達(dá)到最小。解：本題考查相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算，考查離散型隨機(jī)變量及其分布列、均值等基本知識(shí)，考查在復(fù)雜情境下處理問題的能力以及抽象概括能力、合情推理與演繹推理，分類讀者論論思想，應(yīng)用意識(shí)與創(chuàng)新意識(shí).解：（I）無論以怎樣的順序派出人員，任務(wù)不能被完成的概率都是，所以任務(wù)能被完成的概率與三個(gè)被派出的先后順序無關(guān)，并等于 （II）當(dāng)依次派出的三個(gè)人各自完成任務(wù)的概率分別為時(shí)，隨機(jī)變量X的分布列為X123P 所需派出的人員數(shù)目的均值（數(shù)學(xué)期望）EX是 （III）（方法一）由（II）的結(jié)論知，當(dāng)以甲最先、乙次之、丙最后的順序派人時(shí)，根據(jù)常理，優(yōu)先派出完成任務(wù)概率大的人，可減少所需派出的人員數(shù)目的均值.下面證明：對(duì)于的任意排列，都有（*）事實(shí)上，即（*）成立.（方法二）（i）可將（II）中所求的EX改寫為若交換前兩人的派出順序，則變?yōu)?由此可見，當(dāng)時(shí)，交換前兩人的派出順序可減小均值.（ii）也可將（II）中所求的EX改寫為，或交換后兩人的派出順序，則變?yōu)?由此可見，若保持第一個(gè)派出的人選不變，當(dāng)時(shí)，交換后兩人的派出順序也可減小均值.序綜合（i）（ii）可知，當(dāng)時(shí)，EX達(dá)到最小. 即完成任務(wù)概率大的人優(yōu)先派出，可減小所需派出人員數(shù)目的均值，這一結(jié)論是合乎常理的.19.（2011年北京）以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組個(gè)四名同學(xué)的植樹棵樹。乙組記錄中有一個(gè)數(shù)據(jù)模糊，無法確認(rèn)，在圖中以X表示。（）如果X=8,求乙組同學(xué)植樹棵樹的平均數(shù)和方差；（）如果X=9，分別從甲、乙兩組中隨機(jī)選取一名同學(xué)，求這兩名同學(xué)的植樹總棵樹Y的分布列和數(shù)學(xué)期望。（注：方差，其中為， 的平均數(shù)）解：（1）當(dāng)X=8時(shí)，由莖葉圖可知，乙組同學(xué)的植樹棵數(shù)是：8，8，9，10，所以平均數(shù)為方差為（）當(dāng)X=9時(shí)，由莖葉圖可知，甲組同學(xué)的植樹棵樹是：9，9，11，11；乙組同學(xué)的植樹棵數(shù)是：9，8，9，10。分別從甲、乙兩組中隨機(jī)選取一名同學(xué)，共有4×4=16種可能的結(jié)果，這兩名同學(xué)植樹總棵數(shù)Y的可能取值為17，18，19，20，21事件“Y=17”等價(jià)于“甲組選出的同學(xué)植樹9棵，乙組選出的同學(xué)植樹8棵”所以該事件有2種可能的結(jié)果，因此P（Y=17）=同理可得所以隨機(jī)變量Y的分布列為：Y1718192021PEY=17×P（Y=17）+18×P（Y=18）+19×P（Y=19）+20×P（Y=20）+21×P（Y=21）=17×+18×+19×+20×+21×=1920.（2011年福建）某產(chǎn)品按行業(yè)生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)分成8個(gè)等級(jí)，等級(jí)系數(shù)X依次為1,2，8，其中X5為標(biāo)準(zhǔn)A，X為標(biāo)準(zhǔn)B，已知甲廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)A生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價(jià)為6元/件；乙廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)B生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價(jià)為4元/件，假定甲、乙兩廠得產(chǎn)品都符合相應(yīng)的執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)（I）已知甲廠產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)X1的概率分布列如下所示：5678P04ab01且X1的數(shù)字期望EX1=6，求a，b的值；（II）為分析乙廠產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)X2，從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取30件，相應(yīng)的等級(jí)系數(shù)組成一個(gè)樣本，數(shù)據(jù)如下： 3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 38 3 4 3 4 4 7 5 6 7用這個(gè)樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，將頻率視為概率，求等級(jí)系數(shù)X2的數(shù)學(xué)期望 （III）在（I）、（II）的條件下，若以“性價(jià)比”為判斷標(biāo)準(zhǔn)，則哪個(gè)工廠的產(chǎn)品更具可購買性？說明理由注：（1）產(chǎn)品的“性價(jià)比”=； （2）“性價(jià)比”大的產(chǎn)品更具可購買性解：本小題主要考查概率、統(tǒng)計(jì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)據(jù)處理能力、運(yùn)算求解能力、應(yīng)用意識(shí)，考查函數(shù)與方程思想、必然與或然思想、分類與整合思想，滿分13分。解：（I）因?yàn)橛钟蒟1的概率分布列得由（II）由已知得，樣本的頻率分布表如下：345678030202010101用這個(gè)樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，將頻率視為概率，可得等級(jí)系數(shù)X2的概率分布列如下：345678P030202010101所以即乙廠產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于4.8.（III）乙廠的產(chǎn)品更具可購買性，理由如下：因?yàn)榧讖S產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)的期望數(shù)學(xué)等于6，價(jià)格為6元/件，所以其性價(jià)比為因?yàn)橐覐S產(chǎn)呂的等級(jí)系數(shù)的期望等于4.8，價(jià)格為4元/件，所以其性價(jià)比為據(jù)此，乙廠的產(chǎn)品更具可購買性。21.（2011年廣東）為了解甲、乙兩廠的產(chǎn)品質(zhì)量，采用分層抽樣的方法從甲、乙兩廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中分別抽出取14件和5件，測(cè)量產(chǎn)品中的微量元素x,y的含量（單位：毫克）下表是乙廠的5件產(chǎn)品的測(cè)量數(shù)據(jù)：編號(hào)12345x169178166175180y7580777081（1）已知甲廠生產(chǎn)的產(chǎn)品共有98件，求乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量；（2）當(dāng)產(chǎn)品中的微量元素x,y滿足x175，且y75時(shí),該產(chǎn)品為優(yōu)等品。用上述樣本數(shù)據(jù)估計(jì)乙廠生產(chǎn)的優(yōu)等品的數(shù)量；（3）從乙廠抽出的上述5件產(chǎn)品中，隨機(jī)抽取2件，求抽取的2件產(chǎn)品中優(yōu)等品數(shù)的分布列極其均值（即數(shù)學(xué)期望）。解：（1），即乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量為35件。 （2）易見只有編號(hào)為2，5的產(chǎn)品為優(yōu)等品，所以乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中的優(yōu)等品故乙廠生產(chǎn)有大約（件）優(yōu)等品， （3）的取值為0，1，2。所以的分布列為012P故22.（2011年遼寧）某農(nóng)場(chǎng)計(jì)劃種植某種新作物，為此對(duì)這種作物的兩個(gè)品種（分別稱為品種家和品種乙）進(jìn)行田間試驗(yàn)選取兩大塊地，每大塊地分成n小塊地，在總共2n小塊地中，隨機(jī)選n小塊地種植品種甲，另外n小塊地種植品種乙（I）假設(shè)n=4，在第一大塊地中，種植品種甲的小塊地的數(shù)目記為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（II）試驗(yàn)時(shí)每大塊地分成8小塊，即n=8，試驗(yàn)結(jié)束后得到品種甲和品種乙在個(gè)小塊地上的每公頃產(chǎn)量（單位：kg/hm2）如下表：品種甲403397390404388400412406品種乙419403412418408423400413分別求品種甲和品種乙的每公頃產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本方差；根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果，你認(rèn)為應(yīng)該種植哪一品種？附：樣本數(shù)據(jù)的的樣本方差，其中為樣本平均數(shù)解： （I）X可能的取值為0，1，2，3，4，且即X的分布列為 4分X的數(shù)學(xué)期望為 6分 （II）品種甲的每公頃產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本方差分別為： 8分品種乙的每公頃產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本方差分別為： 10分由以上結(jié)果可以看出，品種乙的樣本平均數(shù)大于品種甲的樣本平均數(shù)，且兩品種的樣本方差差異不大，故應(yīng)該選擇種植品種乙.23.（2011年全國大綱）根據(jù)以往統(tǒng)計(jì)資料，某地車主購買甲種保險(xiǎn)的概率為05，購買乙種保險(xiǎn)但不購買甲種保險(xiǎn)的概率為03,設(shè)各車主購買保險(xiǎn)相互獨(dú)立（I）求該地1位車主至少購買甲、乙兩種保險(xiǎn)中的l種的概率；（）X表示該地的l00位車主中，甲、乙兩種保險(xiǎn)都不購買的車主數(shù)。求X的期望。 解：記A表示事件：該地的1位車主購買甲種保險(xiǎn)； B表示事件：該地的1位車主購買乙種保險(xiǎn)但不購買甲種保險(xiǎn)； C表示事件：該地的1位車主至少購買甲、乙兩種保險(xiǎn)中的1種； D表示事件：該地的1位車主甲、乙兩種保險(xiǎn)都不購買； （I）3分 6分 （II），即X服從二項(xiàng)分布，10分所以期望12分24.（2011年全國新課標(biāo)）某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標(biāo)值衡量，質(zhì)量指標(biāo)越大表明質(zhì)量越好，且質(zhì)量指標(biāo)值大于或等于102的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品現(xiàn)用兩種新配方（分別稱為A配方和B配方）做試驗(yàn)，各生產(chǎn)了100件這種產(chǎn)品，并測(cè)量了每產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值，得到時(shí)下面試驗(yàn)結(jié)果：A配方的頻數(shù)分布表指標(biāo)值分組90，94）94，98）98，102）102，106）106，110頻數(shù)82042228B配方的頻數(shù)分布表指標(biāo)值分組90，94）94，98）98，102）102，106）106，110頻數(shù)412423210（I）分別估計(jì)用A配方，B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率；（II）已知用B配方生產(chǎn)的一種產(chǎn)品利潤y（單位：元）與其質(zhì)量指標(biāo)值t的關(guān)系式為從用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取一件，其利潤記為X（單位：元）求X的分布列及數(shù)學(xué)期望（以試驗(yàn)結(jié)果中質(zhì)量指標(biāo)值落入各組的頻率作為一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值落入相應(yīng)組的概率）解（）由試驗(yàn)結(jié)果知，用A配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)的平率為，所以用A配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率的估計(jì)值為0.3由試驗(yàn)結(jié)果知，用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的頻率為，所以用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率的估計(jì)值為0.42（）用B配方生產(chǎn)的100件產(chǎn)品中，其質(zhì)量指標(biāo)值落入?yún)^(qū)間的頻率分別為0.04，054，0.42，因此P(X=-2)=0.04， P(X=2)=0.54， P(X=4)=0.42，即X的分布列為2240.040.540.42X的數(shù)學(xué)期望值EX=-2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.6825.（2011年山東）紅隊(duì)隊(duì)員甲、乙、丙與藍(lán)隊(duì)隊(duì)員A、B、C進(jìn)行圍棋比賽，甲對(duì)A，乙對(duì)B，丙對(duì)C各一盤，已知甲勝A，乙勝B，丙勝C的概率分別為0.6,0.5,0.5，假設(shè)各盤比賽結(jié)果相互獨(dú)立。（）求紅隊(duì)至少兩名隊(duì)員獲勝的概率；（）用表示紅隊(duì)隊(duì)員獲勝的總盤數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.解：（I）設(shè)甲勝A的事件為D，乙勝B的事件為E，丙勝C的事件為F，則分別表示甲不勝A、乙不勝B，丙不勝C的事件。因?yàn)橛蓪?duì)立事件的概率公式知紅隊(duì)至少兩人獲勝的事件有：由于以上四個(gè)事件兩兩互斥且各盤比賽的結(jié)果相互獨(dú)立，因此紅隊(duì)至少兩人獲勝的概率為 （II）由題意知可能的取值為0，1，2，3。又由（I）知是兩兩互斥事件，且各盤比賽的結(jié)果相互獨(dú)立，因此由對(duì)立事件的概率公式得所以的分布列為：0123P0103504015因此26.（2011年陜西）如圖，A地到火車站共有兩條路徑L1和L2，據(jù)統(tǒng)計(jì)，通過兩條路徑所用的時(shí)間互不影響，所用時(shí)間落在各時(shí)間段內(nèi)的頻率如下表：時(shí)間（分鐘）10202030304040505060L1的頻率0102030202L2的頻率001040401現(xiàn)甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時(shí)間用于趕往火車站。（）為了盡最大可能在各自允許的時(shí)間內(nèi)趕到火車站，甲和乙應(yīng)如何選擇各自的路徑？（）用X表示甲、乙兩人中在允許的時(shí)間內(nèi)能趕到火車站的人數(shù)，針對(duì)（）的選擇方案，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望。解（）Ai表示事件“甲選擇路徑Li時(shí)，40分鐘內(nèi)趕到火車站”，Bi表示事件“乙選擇路徑Li時(shí)，50分鐘內(nèi)趕到火車站”，i=1,2用頻率估計(jì)相應(yīng)的概率可得P（A1）=01+02+03=06，P（A2）=01+04=05，P（A1） P（A2）, 甲應(yīng)選擇LiP（B1）=01+02+03+02=08，P（B2）=01+04+04=09， P（B2） P（B1）, 乙應(yīng)選擇L2（）A,B分別表示針對(duì)（）的選擇方案，甲、乙在各自允許的時(shí)間內(nèi)趕到火車站，由（）知,又由題意知，A,B獨(dú)立， 的分布列為X012P00404205427.（2011年四川）本著健康、低碳的生活理念，租自行車騎游的人越來越多。某自行車租車點(diǎn)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是每車每次租不超過兩小時(shí)免費(fèi)，超過兩小時(shí)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為2元（不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算）。有人獨(dú)立來該租車點(diǎn)則車騎游。各租一車一次。設(shè)甲、乙不超過兩小時(shí)還車的概率分別為；兩小時(shí)以上且不超過三小時(shí)還車的概率分別為；兩人租車時(shí)間都不會(huì)超過四小時(shí)。（）求甲、乙兩人所付租車費(fèi)用相同的概率；（）求甲、乙兩人所付的租車費(fèi)用之和為隨機(jī)變量，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；解：（1）所付費(fèi)用相同即為元。設(shè)付0元為，付2元為，付4元為則所付費(fèi)用相同的概率為（2）設(shè)甲，乙兩個(gè)所付的費(fèi)用之和為，可為分布列28.（2011年天津）學(xué)校游園活動(dòng)有這樣一個(gè)游戲項(xiàng)目：甲箱子里裝有3個(gè)白球、2個(gè)黑球，乙箱子里裝有1個(gè)白球、2個(gè)黑球，這些球除顏色外完全相同，每次游戲從這兩個(gè)箱子里各隨機(jī)摸出2個(gè)球，若摸出的白球不少于2個(gè)，則獲獎(jiǎng)（每次游戲結(jié)束后將球放回原箱）（）求在1次游戲中， （i）摸出3個(gè)白球的概率； （ii）獲獎(jiǎng)的概率；（）求在2次游戲中獲獎(jiǎng)次數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望. 解：本小題主要考查古典概型及其概率計(jì)算公式、離散型隨機(jī)變量的分布列、互斥事件和相互獨(dú)立事件等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)用概率知識(shí)解決簡單的實(shí)際問題的能力.滿分13分. （I）（i）解：設(shè)“在1次游戲中摸出i個(gè)白球”為事件則 （ii）解：設(shè)“在1次游戲中獲獎(jiǎng)”為事件B，則，又 且A2，A3互斥，所以 （II）解：由題意可知X的所有可能取值為0，1，2. 所以X的分布列是X012P X的數(shù)學(xué)期望29.（2011年重慶）某市公租房的房源位于A，B，C三個(gè)片區(qū)，設(shè)每位申請(qǐng)人只申請(qǐng)其中一個(gè)片區(qū)的房源，且申請(qǐng)其中任一個(gè)片區(qū)的房源是等可能的求該市的任4位申請(qǐng)人中： （）恰有2人申請(qǐng)A片區(qū)房源的概率； （）申請(qǐng)的房源所在片區(qū)的個(gè)數(shù)的分布列與期望解：這是等可能性事件的概率計(jì)算問題. （I）解法一：所有可能的申請(qǐng)方式有34種，恰有2人申請(qǐng)A片區(qū)房源的申請(qǐng)方式種，從而恰有2人申請(qǐng)A片區(qū)房源的概率為解法二：設(shè)對(duì)每位申請(qǐng)人的觀察為一次試驗(yàn)，這是4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).記“申請(qǐng)A片區(qū)房源”為事件A，則從而，由獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰發(fā)生k次的概率計(jì)算公式知，恰有2人申請(qǐng)A片區(qū)房源的概率為 （II）的所有可能值為1，2，3.又綜上知，有分布列 1 2 3P 從而有