2011-2012年高考數學 真題分類匯編 概率與統計（含解析）

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1、概率與統計1. (2012遼寧高考卷T55分) 一排9個座位坐了3個三口之家，若每家人坐在一起，則不同的坐法種數為(A)33！ (B) 3(3！)3 (C)(3！)4 (D) 9！【答案】C【解析】此排列可分兩步進行，先把三個家庭分別排列，每個家庭有種排法，三個家庭共有種排法；再把三個家庭進行全排列有種排法。因此不同的坐法種數為，答案為C 【點評】本題主要考查分步計數原理，以及分析問題、解決問題的能力，屬于中檔題。2. (2012遼寧高考卷T105分)在長為12cm的線段AB上任取一點C.現作一矩形，領邊長分別等于線段AC，CB的長，則該矩形面積小于32cm2的概率為(A) (B) (C) (

2、D) 【答案】C【解析】設線段AC的長為cm，則線段CB的長為()cm,那么矩形的面積為cm2，由，解得。又，所以該矩形面積小于32cm2的概率為，故選C【點評】本題主要考查函數模型的應用、不等式的解法、幾何概型的計算，以及分析問題的能力，屬于中檔題。3.（2012上海高考卷T175分）設，隨機變量取值的概率均為，隨機變量取值的概率也均為，若記分別為的方差，則（ ）A B C D與的大小關系與的取值有關【答案】 A【解析】 由隨機變量的取值情況，它們的平均數分別為：， 且隨機變量的概率都為，所以有. 故選擇A.【點評】本題主要考查離散型隨機變量的期望和方差公式.記牢公式是解決此類問題的前提和基

3、礎，本題屬于中檔題.4.（2012湖北高考卷T85分）如圖,在圓心角為直角的扇形OAB中,分別以OA,OB為直徑作兩個半圓. 在扇形OAB內隨機取一點,則此點取自陰影部分的概率是（）AB CD【答案】A【解析】如下圖所示，設的中點為，的中點為，半圓與半圓的交點分別為，則四邊形是正方形.不妨設扇形的半徑為，記兩塊白色區(qū)域的面積分別為，兩塊陰影部分的面積分別為.則, 而，即, 由-，得.又由圖象觀察可知，.故由幾何概型概率公式可得，此點取自陰影部分的概率.【點評】本題考查古典概型的應用以及觀察推理的能力.本題難在如何求解陰影部分的面積，即如何巧妙地將不規(guī)則圖形的面積化為規(guī)則圖形的面積來求解.來年需

4、注意幾何概型在實際生活中的應用.5.（2011年湖北）如圖，用K、三類不同的元件連接成一個系統。當正常工作且、至少有一個正常工作時，系統正常工作，已知K、正常工作的概率依次為09、08、08，則系統正常工作的概率為A0960 B0864 C0720 D0576B6. （2011年湖北）在30瓶飲料中，有3瓶已過了保質期。從這30瓶飲料中任取2瓶，則至少取到一瓶已過保質期飲料的概率為 。（結果用最簡分數表示）7. （2011年湖北）給個自上而下相連的正方形著黑色或白色。當時，在所有不同的著色方案中，黑色正方形互不相鄰的著色方案如下圖所示：由此推斷，當時，黑色正方形互不相鄰的著色方案共有 種，至少

5、有兩個黑色正方形相鄰的著色方案共有 種，（結果用數值表示）答案：21，438. （2011年湖南）通過隨機詢問110名性別不同的大學生是否愛好某項運動，得到如下的列聯表：男女總計愛好402060不愛好203050總計6050110由算得，0050001000013841663510828參照附表，得到的正確結論是A再犯錯誤的概率不超過01%的前提下，認為“愛好該項運動與性別有關”B再犯錯誤的概率不超過01%的前提下，認為“愛好該項運動與性別無關”C有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關”D有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別無關”答案：C9. （2011年江蘇）從1，2，3，4這

6、四個數中一次隨機取兩個數，則其中一個數是另一個的兩倍的概率為_答案：10（2011年安徽）工作人員需進入核電站完成某項具有高輻射危險的任務，每次只派一個人進去，且每個人只派一次，工作時間不超過10分鐘，如果有一個人10分鐘內不能完成任務則撤出，再派下一個人?，F在一共只有甲、乙、丙三個人可派，他們各自能完成任務的概率分別，假設互不相等，且假定各人能否完成任務的事件相互獨立.（）如果按甲最先，乙次之，丙最后的順序派人，求任務能被完成的概率。若改變三個人被派出的先后順序，任務能被完成的概率是否發(fā)生變化？（）若按某指定順序派人，這三個人各自能完成任務的概率依次為，其中是的一個排列，求所需派出人員數目的

7、分布列和均值（數字期望）；（）假定，試分析以怎樣的先后順序派出人員，可使所需派出的人員數目的均值（數字期望）達到最小。分析：本題考查相互獨立事件的概率計算，考查離散型隨機變量及其分布列、均值等基本知識，考查在復雜情境下處理問題的能力以及抽象概括能力、合情推理與演繹推理，分類讀者論論思想，應用意識與創(chuàng)新意識.解：（I）無論以怎樣的順序派出人員，任務不能被完成的概率都是，所以任務能被完成的概率與三個被派出的先后順序無關，并等于 （II）當依次派出的三個人各自完成任務的概率分別為時，隨機變量X的分布列為X123P所需派出的人員數目的均值（數學期望）EX是 （III）（方法一）由（II）的結論知，當以

8、甲最先、乙次之、丙最后的順序派人時，根據常理，優(yōu)先派出完成任務概率大的人，可減少所需派出的人員數目的均值.下面證明：對于的任意排列，都有（*）事實上，即（*）成立.（方法二）（i）可將（II）中所求的EX改寫為若交換前兩人的派出順序，則變?yōu)?由此可見，當時，交換前兩人的派出順序可減小均值.（ii）也可將（II）中所求的EX改寫為，或交換后兩人的派出順序，則變?yōu)?由此可見，若保持第一個派出的人選不變，當時，交換后兩人的派出順序也可減小均值.序綜合（i）（ii）可知，當時，EX達到最小. 即完成任務概率大的人優(yōu)先派出，可減小所需派出人員數目的均值，這一結論是合乎常理的.11.（2011年北京）以下

9、莖葉圖記錄了甲、乙兩組個四名同學的植樹棵樹。乙組記錄中有一個數據模糊，無法確認，在圖中以X表示。（）如果X=8,求乙組同學植樹棵樹的平均數和方差；（）如果X=9，分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學，求這兩名同學的植樹總棵樹Y的分布列和數學期望。（注：方差，其中為， 的平均數）解（1）當X=8時，由莖葉圖可知，乙組同學的植樹棵數是：8，8，9，10，所以平均數為方差為（）當X=9時，由莖葉圖可知，甲組同學的植樹棵樹是：9，9，11，11；乙組同學的植樹棵數是：9，8，9，10。分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學，共有44=16種可能的結果，這兩名同學植樹總棵數Y的可能取值為17，18，19，20

10、，21事件“Y=17”等價于“甲組選出的同學植樹9棵，乙組選出的同學植樹8棵”所以該事件有2種可能的結果，因此P（Y=17）=同理可得所以隨機變量Y的分布列為：Y1718192021PEY=17P（Y=17）+18P（Y=18）+19P（Y=19）+20P（Y=20）+21P（Y=21）=17+18+19+20+21=1912.（2011年福建）某產品按行業(yè)生產標準分成8個等級，等級系數X依次為1,2，8，其中X5為標準A，X為標準B，已知甲廠執(zhí)行標準A生產該產品，產品的零售價為6元/件；乙廠執(zhí)行標準B生產該產品，產品的零售價為4元/件，假定甲、乙兩廠得產品都符合相應的執(zhí)行標準（I）已知甲廠產

11、品的等級系數X1的概率分布列如下所示：5678P04ab01且X1的數字期望EX1=6，求a，b的值；（II）為分析乙廠產品的等級系數X2，從該廠生產的產品中隨機抽取30件，相應的等級系數組成一個樣本，數據如下： 3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 38 3 4 3 4 4 7 5 6 7用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，求等級系數X2的數學期望 （III）在（I）、（II）的條件下，若以“性價比”為判斷標準，則哪個工廠的產品更具可購買性？說明理由注：（1）產品的“性價比”=； （2）“性價比”大的產品更具可購買性分析：本小題主要考查概率

12、、統計等基礎知識，考查數據處理能力、運算求解能力、應用意識，考查函數與方程思想、必然與或然思想、分類與整合思想。解：（I）因為又由X1的概率分布列得由（II）由已知得，樣本的頻率分布表如下：345678030202010101用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，可得等級系數X2的概率分布列如下：345678P030202010101所以即乙廠產品的等級系數的數學期望等于4.8.（III）乙廠的產品更具可購買性，理由如下：因為甲廠產品的等級系數的期望數學等于6，價格為6元/件，所以其性價比為因為乙廠產呂的等級系數的期望等于4.8，價格為4元/件，所以其性價比為據此，乙廠的產品更具可

13、購買性。13.（2011年廣東）為了解甲、乙兩廠的產品質量，采用分層抽樣的方法從甲、乙兩廠生產的產品中分別抽出取14件和5件，測量產品中的微量元素x,y的含量（單位：毫克）下表是乙廠的5件產品的測量數據：編號12345x169178166175180y7580777081（1）已知甲廠生產的產品共有98件，求乙廠生產的產品數量；（2）當產品中的微量元素x,y滿足x175，且y75時,該產品為優(yōu)等品。用上述樣本數據估計乙廠生產的優(yōu)等品的數量；（3）從乙廠抽出的上述5件產品中，隨機抽取2件，求抽取的2件產品中優(yōu)等品數的分布列極其均值（即數學期望）。解：（1），即乙廠生產的產品數量為35件。 （2）

14、易見只有編號為2，5的產品為優(yōu)等品，所以乙廠生產的產品中的優(yōu)等品故乙廠生產有大約（件）優(yōu)等品， （3）的取值為0，1，2。所以的分布列為012P14故（2012安徽高考卷T1712分)某單位招聘面試，每次從試題庫隨機調用一道試題，若調用類型試題，則使用后該試題回庫，并增補一道類試題和一道類型試題入庫，此次調題工作結束；若調用的是類型試題，則使用后該試題回庫，此次調題工作結束.試題庫中現共有道試題，其中有道類型試題和道類型試題，以表示兩次調題工作完成后，試題庫中類試題的數量.（）求的概率；（）設，求的分布列和均值（數學期望）.【解題指導】本題考查基本事件概率，條件概率，離散型隨機變量及其分布列均

15、值等基礎知識，考查分類討論思想和應用創(chuàng)新意識.【解析】（I）表示兩次調題均為類型試題，概率為.（）時，每次調用的是類型試題的概率為，隨機變量可取.，.答：（）的概率為； （）的均值為.【易錯警示】本題在求解時，注意第一次取出不同試題之后，放回的試題不一樣，這樣在第二次取試題的時候，背景就改變了，究竟第二次取試題是在什么樣的背景下，要緊密關聯第一次取試題的結果，如果割裂開兩次取試題之間的關系，就會出現錯誤.15.（2012湖南高考卷T1712分)某超市為了解顧客的購物量及結算時間等信息，安排一名員工隨機收集了在該超市購物的100位顧客的相關數據，如下表所示.一次購物量1至4件5至8件9至12件1

16、3至16件17件及以上顧客數（人）302510結算時間（分鐘/人）11.522.53已知這100位顧客中的一次購物量超過8件的顧客占55.（）確定x，y的值，并估計顧客一次購物的結算時間的平均值；（）求一位顧客一次購物的結算時間不超過2分鐘的概率.（將頻率視為概率）【解析】（）由已知得，該超市所有顧客一次購物的結算時間組成一個總體，所收集的100位顧客一次購物的結算時間可視為一個容量為100的簡單隨機樣本，顧客一次購物的結算時間的平均值可用樣本平均數估計，其估計值為:(分鐘).（）記A為事件“一位顧客一次購物的結算時間不超過2分鐘”，分別表示事件“該顧客一次購物的結算時間為1分鐘”， “該顧客

17、一次購物的結算時間為分鐘”， “該顧客一次購物的結算時間為2分鐘”.將頻率視為概率，得.是互斥事件，.故一位顧客一次購物的結算時間不超過2分鐘的概率為.【點評】本題考查概率統計的基礎知識，考查運算能力、分析問題能力.第一問中根據統計表和100位顧客中的一次購物量超過8件的顧客占55，知從而解得，再用樣本估計總體，得出顧客一次購物的結算時間的平均值的估計值；第二問，通過設事件，判斷事件之間互斥關系，從而求得一位顧客一次購物的結算時間不超過2分鐘的概率.16某河流上的一座水力發(fā)電站，每年六月份的發(fā)電量Y（單位：萬千瓦時）與該河上游在六月份是我降雨量X（單位：毫米）有關，據統計，當X=70時，Y=4

18、60；X每增加10，Y增加5已知近20年X的值為：140, 110, 160, 70, 200, 160, 140, 160, 220, 200, 110, 160, 160, 200, 140, 110, 160, 220, 140, 160. （）完成如下的頻率分布表近20年六月份降雨量頻率分布表降雨量70110140160200220頻率 （）假定今年六月份的降雨量與近20年六月份降雨量的分布規(guī)律相同，并將頻率是為概率，求今年六月份該水力發(fā)電站的發(fā)電量低于490（萬千瓦時）或超過530（萬千瓦時）的概率解：（I）在所給數據中，降雨量為110毫米的有3個，為160毫米的有7個，為200毫米

19、的有3個，故近20年六月份降雨量頻率分布表為降雨量70110140160200220頻率 （II）P（“發(fā)電量低于490萬千瓦時或超過530萬千瓦時”） 故今年六月份該水力發(fā)電站的發(fā)電量低于490（萬千瓦時）或超過530（萬千瓦時）的概率為17（2011年湖南）某商店試銷某種商品20天，獲得如下數據：日銷售量（件）0123頻數1595試銷結束后（假設該商品的日銷售量的分布規(guī)律不變），設某天開始營業(yè)時有該商品3件，當天營業(yè)結束后檢查存貨，若發(fā)現存貨少于2件，則當天進貨補充至3件，否則不進貨，將頻率視為概率。（）求當天商品不進貨的概率；（）記X為第二天開始營業(yè)時該商品的件數，求X的分布列和數學期型

20、。解（I）（“當天商品不進貨”）（“當天商品銷售量為0件”）（“當天商品銷售量為1件”）（）由題意知，的可能取值為2,3. （“當天商品銷售量為1件”） （“當天商品銷售量為0件”）（“當天商品銷售量為2件”）（“當天商品銷售量為3件”） 故的分布列為23 的數學期望為18.（2011年安徽）工作人員需進入核電站完成某項具有高輻射危險的任務，每次只派一個人進去，且每個人只派一次，工作時間不超過10分鐘，如果有一個人10分鐘內不能完成任務則撤出，再派下一個人?，F在一共只有甲、乙、丙三個人可派，他們各自能完成任務的概率分別，假設互不相等，且假定各人能否完成任務的事件相互獨立.（）如果按甲最先，乙次

21、之，丙最后的順序派人，求任務能被完成的概率。若改變三個人被派出的先后順序，任務能被完成的概率是否發(fā)生變化？（）若按某指定順序派人，這三個人各自能完成任務的概率依次為，其中是的一個排列，求所需派出人員數目的分布列和均值（數字期望）；（）假定，試分析以怎樣的先后順序派出人員，可使所需派出的人員數目的均值（數字期望）達到最小。解：本題考查相互獨立事件的概率計算，考查離散型隨機變量及其分布列、均值等基本知識，考查在復雜情境下處理問題的能力以及抽象概括能力、合情推理與演繹推理，分類讀者論論思想，應用意識與創(chuàng)新意識.解：（I）無論以怎樣的順序派出人員，任務不能被完成的概率都是，所以任務能被完成的概率與三個

22、被派出的先后順序無關，并等于 （II）當依次派出的三個人各自完成任務的概率分別為時，隨機變量X的分布列為X123P 所需派出的人員數目的均值（數學期望）EX是 （III）（方法一）由（II）的結論知，當以甲最先、乙次之、丙最后的順序派人時，根據常理，優(yōu)先派出完成任務概率大的人，可減少所需派出的人員數目的均值.下面證明：對于的任意排列，都有（*）事實上，即（*）成立.（方法二）（i）可將（II）中所求的EX改寫為若交換前兩人的派出順序，則變?yōu)?由此可見，當時，交換前兩人的派出順序可減小均值.（ii）也可將（II）中所求的EX改寫為，或交換后兩人的派出順序，則變?yōu)?由此可見，若保持第一個派出的人選

23、不變，當時，交換后兩人的派出順序也可減小均值.序綜合（i）（ii）可知，當時，EX達到最小. 即完成任務概率大的人優(yōu)先派出，可減小所需派出人員數目的均值，這一結論是合乎常理的.19.（2011年北京）以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組個四名同學的植樹棵樹。乙組記錄中有一個數據模糊，無法確認，在圖中以X表示。（）如果X=8,求乙組同學植樹棵樹的平均數和方差；（）如果X=9，分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學，求這兩名同學的植樹總棵樹Y的分布列和數學期望。（注：方差，其中為， 的平均數）解：（1）當X=8時，由莖葉圖可知，乙組同學的植樹棵數是：8，8，9，10，所以平均數為方差為（）當X=9時，由莖葉圖可

24、知，甲組同學的植樹棵樹是：9，9，11，11；乙組同學的植樹棵數是：9，8，9，10。分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學，共有44=16種可能的結果，這兩名同學植樹總棵數Y的可能取值為17，18，19，20，21事件“Y=17”等價于“甲組選出的同學植樹9棵，乙組選出的同學植樹8棵”所以該事件有2種可能的結果，因此P（Y=17）=同理可得所以隨機變量Y的分布列為：Y1718192021PEY=17P（Y=17）+18P（Y=18）+19P（Y=19）+20P（Y=20）+21P（Y=21）=17+18+19+20+21=1920.（2011年福建）某產品按行業(yè)生產標準分成8個等級，等級系數X依

25、次為1,2，8，其中X5為標準A，X為標準B，已知甲廠執(zhí)行標準A生產該產品，產品的零售價為6元/件；乙廠執(zhí)行標準B生產該產品，產品的零售價為4元/件，假定甲、乙兩廠得產品都符合相應的執(zhí)行標準（I）已知甲廠產品的等級系數X1的概率分布列如下所示：5678P04ab01且X1的數字期望EX1=6，求a，b的值；（II）為分析乙廠產品的等級系數X2，從該廠生產的產品中隨機抽取30件，相應的等級系數組成一個樣本，數據如下： 3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 38 3 4 3 4 4 7 5 6 7用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，求等級系數X2

26、的數學期望 （III）在（I）、（II）的條件下，若以“性價比”為判斷標準，則哪個工廠的產品更具可購買性？說明理由注：（1）產品的“性價比”=； （2）“性價比”大的產品更具可購買性解：本小題主要考查概率、統計等基礎知識，考查數據處理能力、運算求解能力、應用意識，考查函數與方程思想、必然與或然思想、分類與整合思想，滿分13分。解：（I）因為又由X1的概率分布列得由（II）由已知得，樣本的頻率分布表如下：345678030202010101用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，可得等級系數X2的概率分布列如下：345678P030202010101所以即乙廠產品的等級系數的數學期望等

27、于4.8.（III）乙廠的產品更具可購買性，理由如下：因為甲廠產品的等級系數的期望數學等于6，價格為6元/件，所以其性價比為因為乙廠產呂的等級系數的期望等于4.8，價格為4元/件，所以其性價比為據此，乙廠的產品更具可購買性。21.（2011年廣東）為了解甲、乙兩廠的產品質量，采用分層抽樣的方法從甲、乙兩廠生產的產品中分別抽出取14件和5件，測量產品中的微量元素x,y的含量（單位：毫克）下表是乙廠的5件產品的測量數據：編號12345x169178166175180y7580777081（1）已知甲廠生產的產品共有98件，求乙廠生產的產品數量；（2）當產品中的微量元素x,y滿足x175，且y75時

28、,該產品為優(yōu)等品。用上述樣本數據估計乙廠生產的優(yōu)等品的數量；（3）從乙廠抽出的上述5件產品中，隨機抽取2件，求抽取的2件產品中優(yōu)等品數的分布列極其均值（即數學期望）。解：（1），即乙廠生產的產品數量為35件。 （2）易見只有編號為2，5的產品為優(yōu)等品，所以乙廠生產的產品中的優(yōu)等品故乙廠生產有大約（件）優(yōu)等品， （3）的取值為0，1，2。所以的分布列為012P故22.（2011年遼寧）某農場計劃種植某種新作物，為此對這種作物的兩個品種（分別稱為品種家和品種乙）進行田間試驗選取兩大塊地，每大塊地分成n小塊地，在總共2n小塊地中，隨機選n小塊地種植品種甲，另外n小塊地種植品種乙（I）假設n=4，在第

29、一大塊地中，種植品種甲的小塊地的數目記為X，求X的分布列和數學期望；（II）試驗時每大塊地分成8小塊，即n=8，試驗結束后得到品種甲和品種乙在個小塊地上的每公頃產量（單位：kg/hm2）如下表：品種甲403397390404388400412406品種乙419403412418408423400413分別求品種甲和品種乙的每公頃產量的樣本平均數和樣本方差；根據試驗結果，你認為應該種植哪一品種？附：樣本數據的的樣本方差，其中為樣本平均數解： （I）X可能的取值為0，1，2，3，4，且即X的分布列為 4分X的數學期望為 6分 （II）品種甲的每公頃產量的樣本平均數和樣本方差分別為： 8分品種乙的每

30、公頃產量的樣本平均數和樣本方差分別為： 10分由以上結果可以看出，品種乙的樣本平均數大于品種甲的樣本平均數，且兩品種的樣本方差差異不大，故應該選擇種植品種乙.23.（2011年全國大綱）根據以往統計資料，某地車主購買甲種保險的概率為05，購買乙種保險但不購買甲種保險的概率為03,設各車主購買保險相互獨立（I）求該地1位車主至少購買甲、乙兩種保險中的l種的概率；（）X表示該地的l00位車主中，甲、乙兩種保險都不購買的車主數。求X的期望。 解：記A表示事件：該地的1位車主購買甲種保險； B表示事件：該地的1位車主購買乙種保險但不購買甲種保險； C表示事件：該地的1位車主至少購買甲、乙兩種保險中的1

31、種； D表示事件：該地的1位車主甲、乙兩種保險都不購買； （I）3分 6分 （II），即X服從二項分布，10分所以期望12分24.（2011年全國新課標）某種產品的質量以其質量指標值衡量，質量指標越大表明質量越好，且質量指標值大于或等于102的產品為優(yōu)質品現用兩種新配方（分別稱為A配方和B配方）做試驗，各生產了100件這種產品，并測量了每產品的質量指標值，得到時下面試驗結果：A配方的頻數分布表指標值分組90，94）94，98）98，102）102，106）106，110頻數82042228B配方的頻數分布表指標值分組90，94）94，98）98，102）102，106）106，110頻數412

32、423210（I）分別估計用A配方，B配方生產的產品的優(yōu)質品率；（II）已知用B配方生產的一種產品利潤y（單位：元）與其質量指標值t的關系式為從用B配方生產的產品中任取一件，其利潤記為X（單位：元）求X的分布列及數學期望（以試驗結果中質量指標值落入各組的頻率作為一件產品的質量指標值落入相應組的概率）解（）由試驗結果知，用A配方生產的產品中優(yōu)質的平率為，所以用A配方生產的產品的優(yōu)質品率的估計值為0.3由試驗結果知，用B配方生產的產品中優(yōu)質品的頻率為，所以用B配方生產的產品的優(yōu)質品率的估計值為0.42（）用B配方生產的100件產品中，其質量指標值落入區(qū)間的頻率分別為0.04，054，0.42，因此

33、P(X=-2)=0.04， P(X=2)=0.54， P(X=4)=0.42，即X的分布列為2240.040.540.42X的數學期望值EX=-20.04+20.54+40.42=2.6825.（2011年山東）紅隊隊員甲、乙、丙與藍隊隊員A、B、C進行圍棋比賽，甲對A，乙對B，丙對C各一盤，已知甲勝A，乙勝B，丙勝C的概率分別為0.6,0.5,0.5，假設各盤比賽結果相互獨立。（）求紅隊至少兩名隊員獲勝的概率；（）用表示紅隊隊員獲勝的總盤數，求的分布列和數學期望.解：（I）設甲勝A的事件為D，乙勝B的事件為E，丙勝C的事件為F，則分別表示甲不勝A、乙不勝B，丙不勝C的事件。因為由對立事件的概

34、率公式知紅隊至少兩人獲勝的事件有：由于以上四個事件兩兩互斥且各盤比賽的結果相互獨立，因此紅隊至少兩人獲勝的概率為 （II）由題意知可能的取值為0，1，2，3。又由（I）知是兩兩互斥事件，且各盤比賽的結果相互獨立，因此由對立事件的概率公式得所以的分布列為：0123P0103504015因此26.（2011年陜西）如圖，A地到火車站共有兩條路徑L1和L2，據統計，通過兩條路徑所用的時間互不影響，所用時間落在各時間段內的頻率如下表：時間（分鐘）10202030304040505060L1的頻率0102030202L2的頻率001040401現甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時間用于趕往火車站。（）

35、為了盡最大可能在各自允許的時間內趕到火車站，甲和乙應如何選擇各自的路徑？（）用X表示甲、乙兩人中在允許的時間內能趕到火車站的人數，針對（）的選擇方案，求X的分布列和數學期望。解（）Ai表示事件“甲選擇路徑Li時，40分鐘內趕到火車站”，Bi表示事件“乙選擇路徑Li時，50分鐘內趕到火車站”，i=1,2用頻率估計相應的概率可得P（A1）=01+02+03=06，P（A2）=01+04=05，P（A1） P（A2）, 甲應選擇LiP（B1）=01+02+03+02=08，P（B2）=01+04+04=09， P（B2） P（B1）, 乙應選擇L2（）A,B分別表示針對（）的選擇方案，甲、乙在各自允

36、許的時間內趕到火車站，由（）知,又由題意知，A,B獨立， 的分布列為X012P00404205427.（2011年四川）本著健康、低碳的生活理念，租自行車騎游的人越來越多。某自行車租車點的收費標準是每車每次租不超過兩小時免費，超過兩小時的收費標準為2元（不足1小時的部分按1小時計算）。有人獨立來該租車點則車騎游。各租一車一次。設甲、乙不超過兩小時還車的概率分別為；兩小時以上且不超過三小時還車的概率分別為；兩人租車時間都不會超過四小時。（）求甲、乙兩人所付租車費用相同的概率；（）求甲、乙兩人所付的租車費用之和為隨機變量，求的分布列與數學期望；解：（1）所付費用相同即為元。設付0元為，付2元為，付

37、4元為則所付費用相同的概率為（2）設甲，乙兩個所付的費用之和為，可為分布列28.（2011年天津）學校游園活動有這樣一個游戲項目：甲箱子里裝有3個白球、2個黑球，乙箱子里裝有1個白球、2個黑球，這些球除顏色外完全相同，每次游戲從這兩個箱子里各隨機摸出2個球，若摸出的白球不少于2個，則獲獎（每次游戲結束后將球放回原箱）（）求在1次游戲中， （i）摸出3個白球的概率； （ii）獲獎的概率；（）求在2次游戲中獲獎次數的分布列及數學期望. 解：本小題主要考查古典概型及其概率計算公式、離散型隨機變量的分布列、互斥事件和相互獨立事件等基礎知識，考查運用概率知識解決簡單的實際問題的能力.滿分13分. （I）

38、（i）解：設“在1次游戲中摸出i個白球”為事件則 （ii）解：設“在1次游戲中獲獎”為事件B，則，又 且A2，A3互斥，所以 （II）解：由題意可知X的所有可能取值為0，1，2. 所以X的分布列是X012P X的數學期望29.（2011年重慶）某市公租房的房源位于A，B，C三個片區(qū)，設每位申請人只申請其中一個片區(qū)的房源，且申請其中任一個片區(qū)的房源是等可能的求該市的任4位申請人中： （）恰有2人申請A片區(qū)房源的概率； （）申請的房源所在片區(qū)的個數的分布列與期望解：這是等可能性事件的概率計算問題. （I）解法一：所有可能的申請方式有34種，恰有2人申請A片區(qū)房源的申請方式種，從而恰有2人申請A片區(qū)房源的概率為解法二：設對每位申請人的觀察為一次試驗，這是4次獨立重復試驗.記“申請A片區(qū)房源”為事件A，則從而，由獨立重復試驗中事件A恰發(fā)生k次的概率計算公式知，恰有2人申請A片區(qū)房源的概率為 （II）的所有可能值為1，2，3.又綜上知，有分布列 1 2 3P 從而有