2013高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 考點(diǎn)專練30 文 新人教A版

考點(diǎn)專練(三十)一、選擇題1(2011年大綱全國)設(shè)向量a，b滿足|a|b|1，a·b，則|a2b|等于()A. B. C. D.解析：|a|b|1，a·b，|a2b|2a24b24a·b144×()523.|a2b|.答案：B2(2012年唐山統(tǒng)考)在邊長為1的正三角形ABC中，E是CA的中點(diǎn)，則·()AB CD解析：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則A(，0)，B(，0)，C(0，)，依題意設(shè)D(x1,0)，E(x2，y2)，(x1，0)(1,0)，x1.E是CA的中點(diǎn)，又(，)，x2，y2.·(，)·(，)×()()×.故選A.答案：A3(2012年長春調(diào)研)已知3a4b5c0，且|a|b|c|1，則a·(bc)()A. B. CD解析：依題意得|3a|3，|4b|4，|5c|5，向量3a、4b、5c首尾相接構(gòu)成一個直角三角形，因此有a·b0，a·(bc)a·ba·ca·c|a|·|c|cos cos (其中為向量a與c的夾角)，選D.答案：D4ABC中，a，b，a·b<0，SABC，|a|3，|b|5，則a與b的夾角為()A30°B150° C150°D30°或150°解析：SABC|a|b|sin C，|a|3，|b|5，sin C，a·b|a|b|cos C<0，C為鈍角，所以C150°，a與b的夾角為150°，故應(yīng)選C.答案：C5(2012年山東聊城外國語學(xué)校二模)平面上有四個互異的點(diǎn)A、B、C、D，滿足()·()0，則三角形ABC是()A直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D等邊三角形解析：由()·()0得()·()0，即()·0，()·()0，即0，所以|，故為等腰三角形，選B.答案：B6(2012年鄭州三模)ABC的外接圓圓心為O，半徑為2，0，且|，則在方向上的投影為()A1B2 C.D3解析：如圖，設(shè)D為BC的中點(diǎn)，由0得20，即2，A、O、D共線且|2|，又O為ABC的外心，AO為BC的中垂線，|2，|1，|，在方向上的投影為.答案：C二、填空題7(2012年浙江)在ABC中，M是BC的中點(diǎn)，AM3，BC10，則·_.解析：()，2，由22得4·42264，即·16.答案：168(2012年安徽)若平面向量a，b滿足|2ab|3，則a·b的最小值是_解析：由向量的數(shù)量積知|a|b|a·b|a|b|a|·|b|a·b(當(dāng)且僅當(dāng)a，b時等號成立)由|2ab|34|a|24a·b|b|2994a·b4|a|2|b|24|a|b|4a·ba·b(當(dāng)且僅當(dāng)2|a|b|，a，b時取等號)a·b的最小值為.答案：9(20122013學(xué)年河北省唐山高三年級摸底)在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若(ab)sin Basin Acsin C，且a2b26(ab)180，則···_.解析：由(ab)sin Basin Acsin C，利用正弦定理可得：(ab)ba2c2，aba2b2c2，cos C，C60°.由a2b26(ab)180，則(a3)2(b3)20，ab3，c2a2b2ab，c29.····()···c2abcosc2ab9.答案：三、解答題10已知a(1,2)，b(2，n)，a與b的夾角是45°.(1)求b；(2)若c與b同向，且a與ca垂直，求c.解：(1)a·b2n2，|a|，|b|，cos 45°，3n216n120(n>1)，n6或n(舍)，b(2,6)(2)由(1)知，a·b10，|a|25.又c與b同向，故可設(shè)cb(>0)，(ca)·a0，b·a|a|20，cb(1,3)112012年英國倫敦奧運(yùn)會帆船比賽是借助風(fēng)帆推動船只在規(guī)定距離內(nèi)競速的一項(xiàng)水上運(yùn)動，如果一帆船所受的風(fēng)力方向北偏東30°，速度20 km/h，此時水的流向是正東，流速為20 km/h.若不考慮其他因素，求帆船的速度與方向解：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，風(fēng)的方向北偏東30°，速度為|v1|20 km/h，水流的方向?yàn)檎龞|，速度為|v2|20 km/h，設(shè)帆船行駛的速度為v，則vv1v2.由題意，可得向量v1(20cos 60°，20sin 60°)(10,10)，向量v2(20,0)，則帆船的行駛速度vv1v2(10,10)(20,0)(30,10)，所以|v|20(km/h)因?yàn)閠an (為v和v2的夾角，為銳角)，所以30°.所以帆船向北偏東60°行駛，速度為20km/h.12(2013年深圳調(diào)研)設(shè)向量a(4cos ，sin )，b(sin ，4cos )，c(cos ，4sin )(1)若a與b2c垂直，求tan()的值；(2)求|bc|的最大值；(3)若tan tan 16，求證：ab.解：因?yàn)閍與b2c垂直，所以a·(b2c)4cos sin 8cos cos 4sin cos 8sin sin 4sin()8cos()0，因此tan()2.(2)由bc(sin cos ，4cos 4sin )，得|bc|4.又當(dāng)k(kZ)時，等號成立，所以|bc|的最大值為4.(3)由tan tan 16得，即16cos cos sin sin 所以ab.熱點(diǎn)預(yù)測13(1)(2012年山東煙臺高三診斷性測試)設(shè)G是ABC的重心，若A120°，·1，則|的最小值是()A. B. C. D.(2)(2012年山東濟(jì)寧高三一模)已知平面向量a(1,2)，b(2,1)，c(x，y)，且滿足x0，y0.若a·c1，b·c1，z(ab)·c，則()Az有最小值2Bz有最大值2Cz有最小值3Dz有最大值3解析：(1)如圖所示，G是ABC的重心，AG交BC于點(diǎn)M，則M為BC的中點(diǎn)，由×()()，所以2(222·)(222)故只需求22的最小值即可由A120°，·1，得|·|2，即bc2，因?yàn)閎c，所以22c2b22bc4.所以2，|，選D.(2)由a·c1，b·c1，得z(ab)·c3x3y.畫出可行域如圖所示，當(dāng)直線yx經(jīng)過點(diǎn)A時，最小，z最大，由得即A(，)此時zmax3x3y2.故選B.答案：(1)D(2)B