《2013屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)熱點(diǎn) 專(zhuān)題二 高考中解答題的審題方法探究4 數(shù)列問(wèn)題 理》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2013屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)熱點(diǎn) 專(zhuān)題二 高考中解答題的審題方法探究4 數(shù)列問(wèn)題 理（4頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、"2013屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)熱點(diǎn) 專(zhuān)題二 高考中解答題的審題方法探究4 數(shù)列問(wèn)題 理 "
主要題型：(1)利用數(shù)列的有關(guān)概念求特殊數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和；(2)利用轉(zhuǎn)化與化歸思想(配湊、變形)將一般數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列(主要解決遞推數(shù)列問(wèn)題)；(3)利用錯(cuò)位相減、裂項(xiàng)相消等方法解決數(shù)列求和；(4)利用函數(shù)與不等式處理范圍和最值問(wèn)題．
【例6】? (2012·廣東)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，n∈N*，且a1，a2＋5，a3成等差數(shù)列．
(1)求a1的值；
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(3)證明：對(duì)一切正整數(shù)n，有＋＋…＋＜.
[審題路
2、線圖]
2Sn＝an－2n＋1＋1，n∈N*，
?令n＝1，n＝2，
?再有a1＋a3＝2(a2＋5)，聯(lián)立三式可求a1.
?由2Sn＝an＋1－2n＋1＋1寫(xiě)出n≥2時(shí)2Sn－1＝？
?兩式相減可得an＋1與an的關(guān)系式，
?同除2n，構(gòu)造出一個(gè)新數(shù)列．
?利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求an，(注意驗(yàn)證n＝1時(shí)的情況)
?寫(xiě)出通項(xiàng)，
?3n＝(2＋1)n，利用二項(xiàng)式定理展開(kāi)，
?利用放縮法得結(jié)論．
[規(guī)范解答](1)當(dāng)n＝1時(shí)，2a1＝a2－4＋1＝a2－3，①
當(dāng)n＝2時(shí)，2(a1＋a2)＝a3－8＋1＝a3－7，②(2分)
又a1，a2＋5，a3成等差數(shù)列，所以a1＋
3、a3＝2(a2＋5)，③
由①②③解得a1＝1.(4分)
(2)∵2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，∴當(dāng)n≥2時(shí)，有
2Sn－1＝an－2n＋1，(5分)
兩式相減得an＋1－3an＝2n，則－·＝1，即＋2＝.(8分)
又＋2＝3，知是首項(xiàng)為3，
公比為的等比數(shù)列，(8分)
∴＋2＝3n－1，即an＝3n－2n，n＝1時(shí)也適合此式，∴an＝3n－2n.(9分)
(3)由(2)得＝＝
＝＜，
∴＋＋…＋＜1＋＋＋…＋＝1＋＜.(14分)
搶分秘訣
1．?dāng)?shù)列問(wèn)題第(1)小題一般為求數(shù)列通項(xiàng)公式，在此題中其方向已非常明確，只需構(gòu)造出所給的{an}數(shù)列即可得到解決問(wèn)題的方法，過(guò)
4、程書(shū)寫(xiě)目的較強(qiáng)．
2．?dāng)?shù)列問(wèn)題第(2)小題，有數(shù)列求和，也有與其他知識(shí)相互交匯的不等式證明、不等式恒成立等問(wèn)題，但很多數(shù)列試題解題的關(guān)鍵往往是一個(gè)數(shù)列的求和問(wèn)題，因此我們要熟練掌握數(shù)列求和的方法．
【例7】? (2011·天津)已知數(shù)列{an}與{bn}滿足bn＋1an＋bnan＋1＝(－2)n＋1，bn＝，n∈N*，且a1＝2.
(1)求a2，a3的值；
(2)設(shè)cn＝a2n＋1－a2n－1，n∈N*，證明：{cn}是等比數(shù)列；
(3)設(shè)Sn為{an}的前n項(xiàng)和，證明：＋＋…＋＋≤n－(n∈N*)．
[審題路線圖]
首先破解bn＝，即bn＝再結(jié)合bn＋1an＋bnan＋1＝(－
5、2)n＋1就可解出a2，a3；
?對(duì)bn＋1an＋bnan＋1＝(－2)n＋1關(guān)系式進(jìn)行處理，n分別取奇數(shù)、偶數(shù)可得兩個(gè)關(guān)系式，再抓住cn＝a2n＋1－a2n－1，n∈N*，即可證明{cn}是等比數(shù)列；
?首先利用cn＝a2n＋1－a2n－1及累加法求a2n－1，從而可求得a2n，然后求出關(guān)系式＋的表達(dá)式，最后利用放縮法證明不等式．
[規(guī)范解答](1)由bn＝，n∈N*，可得
bn＝
又bn＋1an＋bnan＋1＝(－2)n＋1，
當(dāng)n＝1時(shí)，a1＋2a2＝－1，由a1＝2，可得a2＝－；
當(dāng)n＝2時(shí)，2a2＋a3＝5，可得a3＝8.(4分)
(2)對(duì)任意n∈N*，
a2n－
6、1＋2a2n＝－22n－1＋1，①
2a2n＋a2n＋1＝22n＋1.②
②－①，得a2n＋1－a2n－1＝3×22n－1，即cn＝3×22n－1，
于是＝4.所以{cn}是等比數(shù)列．(8分)
(3)a1＝2，由(2)知，當(dāng)k∈N*且k≥2時(shí)，a2k－1＝a1＋(a3－a1)＋(a5－a3)＋(a7－a5)＋…＋(a2k－1－a2k－3)＝2＋3(2＋23＋25＋…＋22k－3)＝2＋3×＝22k－1，
故對(duì)任意k∈N*，a2k－1＝22k－1.
由①得22k－1＋2a2k＝－22k－1＋1，
所以a2k＝－22k－1，k∈N*.(10分)
因此，S2k＝(a1＋a2)＋(a3
7、＋a4)＋…＋(a2k－1＋a2k)＝.
于是S2k－1＝S2k－a2k＝＋22k－1.(12分)
故＋＝＋＝－＝1－－.所以，對(duì)任意n∈N*，
＋＋…＋＋＝＋＋…＋＝＋＋…＋＝n－－－…－≤n－＝n－.……(14分)
搶分秘訣,本題主要考查等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力、推理論證能力、綜合分析能力和解決問(wèn)題的能力及分類(lèi)討論的思想方法，難度較大.
第(2)問(wèn)與第(1)問(wèn)相比，難度有所加大，難點(diǎn)就在歸納出一般的式子及遞推關(guān)系式，第(3)問(wèn)難度更大.在閱卷中發(fā)現(xiàn)，幾乎沒(méi)有考生得滿分，少數(shù)考生得前兩問(wèn)的分?jǐn)?shù)，部分考生得第(1)問(wèn)的分?jǐn)?shù).
[押題5] 已知數(shù)列{an}滿足
8、：a1＝1，an＋1＝
(1)求a2，a3；
(2)設(shè)bn＝a2n－2，n∈N*，求證：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；
(3)已知cn＝log|bn|，求證：＋＋…＋＜1.
(1)解 由數(shù)列{an}的遞推關(guān)系易知：
a2＝，a3＝－.
(2)證明 bn＋1＝a2n＋2－2＝a2n＋1＋(2n＋1)－2
＝a2n＋1＋(2n－1)＝(a2n－4n)＋(2n－1)
＝a2n－1＝(a2n－2)＝bn.
又b1＝a2－2＝－，∵bn≠0，∴＝，
即數(shù)列{bn}是公比為，首項(xiàng)為－的等比數(shù)列，
bn＝－n－1＝－n.
(3)證明 由(2)有cn＝log|bn|＝logn＝n.
∵＝－.
∴＋＋…＋
＝1－＋＋＋…＋－
＝1－＜1.
2013屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)熱點(diǎn) 專(zhuān)題二 高考中解答題的審題方法探究4 數(shù)列問(wèn)題 理
