（新課程）2013高中數(shù)學(xué) 《第三章 三角恒等變換》總結(jié)與習(xí)題 蘇教版必修4

三角恒等變形及應(yīng)用一課標(biāo)要求：1經(jīng)歷用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式的過程，進(jìn)一步體會向量方法的作用；2能從兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系；3能運用上述公式進(jìn)行簡單的恒等變換（包括引導(dǎo)導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式，但不要求記憶）。二命題走向從近幾年的高考考察的方向來看，這部分的高考題以選擇、解答題出現(xiàn)的機(jī)會較多，有時候也以填空題的形式出現(xiàn)，它們經(jīng)常與三角函數(shù)的性質(zhì)、解三角形及向量聯(lián)合考察，主要題型有三角函數(shù)求值，通過三角式的變換研究三角函數(shù)的性質(zhì)。本講內(nèi)容是高考復(fù)習(xí)的重點之一，三角函數(shù)的化簡、求值及三角恒等式的證明是三角變換的基本問題。歷年高考中，在考察三角公式的掌握和運用的同時，還注重考察思維的靈活性和發(fā)散性，以及觀察能力、運算及觀察能力、運算推理能力和綜合分析能力。三要點精講1兩角和與差的三角函數(shù)；。2二倍角公式；。3三角函數(shù)式的化簡常用方法：直接應(yīng)用公式進(jìn)行降次、消項；切割化弦，異名化同名，異角化同角； 三角公式的逆用等。（2）化簡要求：能求出值的應(yīng)求出值；使三角函數(shù)種數(shù)盡量少；使項數(shù)盡量少；盡量使分母不含三角函數(shù)；盡量使被開方數(shù)不含三角函數(shù)。（1）降冪公式；。（2）輔助角公式，。4三角函數(shù)的求值類型有三類（1）給角求值：一般所給出的角都是非特殊角，要觀察所給角與特殊角間的關(guān)系，利用三角變換消去非特殊角，轉(zhuǎn)化為求特殊角的三角函數(shù)值問題；（2）給值求值：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵在于“變角”，如等，把所求角用含已知角的式子表示，求解時要注意角的范圍的討論；（3）給值求角：實質(zhì)上轉(zhuǎn)化為“給值求值”問題，由所得的所求角的函數(shù)值結(jié)合所求角的范圍及函數(shù)的單調(diào)性求得角。5三角等式的證明（1）三角恒等式的證題思路是根據(jù)等式兩端的特征，通過三角恒等變換，應(yīng)用化繁為簡、左右同一等方法，使等式兩端化“異”為“同”；（2）三角條件等式的證題思路是通過觀察，發(fā)現(xiàn)已知條件和待證等式間的關(guān)系，采用代入法、消參法或分析法進(jìn)行證明。四典例解析題型1：兩角和與差的三角函數(shù)例1已知，求cos。分析：因為既可看成是看作是的倍角，因而可得到下面的兩種解法。解法一：由已知sin+sin=1，cos+cos=0，22得 2+2cos； cos。22得 cos2+cos2+2cos（）=1，即2cos（）=1。解法二：由得由得÷得點評：此題是給出單角的三角函數(shù)方程，求復(fù)角的余弦值，易犯錯誤是利用方程組解sin、cos 、 sin 、 cos，但未知數(shù)有四個，顯然前景并不樂觀，其錯誤的原因在于沒有注意到所求式與已知式的關(guān)系本題關(guān)鍵在于化和為積促轉(zhuǎn)化，“整體對應(yīng)”巧應(yīng)用。例2已知求。分析：由韋達(dá)定理可得到進(jìn)而可以求出的值，再將所求值的三角函數(shù)式用tan表示便可知其值。解法一：由韋達(dá)定理得tan，所以tan解法二：由韋達(dá)定理得tan，所以tan，。點評：（1）本例解法二比解法一要簡捷，好的解法來源于熟練地掌握知識的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，從而尋找解答本題的知識“最近發(fā)展區(qū)”。（2）運用兩角和與差角三角函數(shù)公式的關(guān)鍵是熟記公式，我們不僅要記住公式，更重要的是抓住公式的特征，如角的關(guān)系，次數(shù)關(guān)系，三角函數(shù)名等抓住公式的結(jié)構(gòu)特征對提高記憶公式的效率起到至關(guān)重要的作用，而且抓住了公式的結(jié)構(gòu)特征，有利于在解題時觀察分析題設(shè)和結(jié)論等三角函數(shù)式中所具有的相似性的結(jié)構(gòu)特征，聯(lián)想到相應(yīng)的公式，從而找到解題的切入點。（3）對公式的逆用公式，變形式也要熟悉，如題型2：二倍角公式例3化簡下列各式：（1），（2）。 分析：（1）若注意到化簡式是開平方根和2以及其范圍不難找到解題的突破口；（2）由于分子是一個平方差，分母中的角，若注意到這兩大特征，不難得到解題的切入點。解析：（1）因為，又因，所以，原式=。（2）原式= =。點評：（1）在二倍角公式中，兩個角的倍數(shù)關(guān)系，不僅限于2是的二倍，要熟悉多種形式的兩個角的倍數(shù)關(guān)系，同時還要注意三個角的內(nèi)在聯(lián)系的作用，是常用的三角變換。（2）化簡題一定要找準(zhǔn)解題的突破口或切入點，其中的降次，消元，切割化弦，異名化同名，異角化同角是常用的化簡技巧。（3）公式變形，。例4若。分析：注意的兩變換，就有以下的兩種解法。解法一：由， 解法二：，點評：此題若將的左邊展開成再求cosx，sinx的值，就很繁瑣，把，并注意角的變換2·運用二倍角公式，問題就公難為易，化繁為簡所以在解答有條件限制的求值問題時，要善于發(fā)現(xiàn)所求的三角函數(shù)的角與已知條件的角的聯(lián)系，一般方法是拼角與拆角，如，等。題型3：輔助角公式例5已知正實數(shù)a,b滿足。分析：從方程 的觀點考慮，如果給等式左邊的分子、分母同時除以a，則已知等式可化為關(guān)于程，從而可求出由，若注意到等式左邊的分子、分母都具有的結(jié)構(gòu)，可考慮引入輔助角求解。解法一：由題設(shè)得 解法二：解法三：點評：以上解法中，方法一用了集中變量的思想，是一種基本解法；解法二通過模式聯(lián)想，引入輔助角，技巧性較強(qiáng)，但輔助角公式，或在歷年高考中使用頻率是相當(dāng)高的，應(yīng)加以關(guān)注；解法三利用了換元法，但實質(zhì)上是綜合了解法一和解法二的解法優(yōu)點，所以解法三最佳。例6已知函數(shù)ycos2xsinxcosx1，xR.（1）當(dāng)函數(shù)y取得最大值時，求自變量x的集合；（2）該函數(shù)的圖象可由ysinx（xR）的圖象經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到?（理）（1）解析：ycos2xsinxcosx1（2cos2x1）（2sinxcosx）1cos2xsin2x（cos2x·sinsin2x·cos）sin（2x）y取得最大值必須且只需2x2k，kZ，即xk，kZ。所以當(dāng)函數(shù)y取得最大值時，自變量x的集合為x|xk，kZ。（2）將函數(shù)ysinx依次進(jìn)行如下變換：把函數(shù)ysinx的圖象向左平移，得到函數(shù)ysin（x）的圖象；把得到的圖象上各點橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)ysin（2x）的圖象；把得到的圖象上各點縱坐標(biāo)縮短到原來的倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)ysin（2x）的圖象；把得到的圖象向上平移個單位長度，得到函數(shù)ysin（2x）的圖象；綜上得到函數(shù)ycos2xsinxcosx1的圖象。點評：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查利用三角公式進(jìn)行恒等變形的技能以及運算能力。已知函數(shù)ysinxcosx，xR.（1）當(dāng)函數(shù)y取得最大值時，求自變量x的集合；（2）該函數(shù)的圖象可由ysinx（xR）的圖象經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到?解析：（1）ysinxcosx2（sinxcoscosxsin）2sin（x），xRy取得最大值必須且只需x2k，kZ，即x2k，kZ。所以，當(dāng)函數(shù)y取得最大值時，自變量x的集合為x|x2k，kZ（2）變換的步驟是：把函數(shù)ysinx的圖象向左平移，得到函數(shù)ysin（x）的圖象；令所得到的圖象上各點橫坐標(biāo)不變，把縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍，得到函數(shù)y2sin（x）的圖象；經(jīng)過這樣的變換就得到函數(shù)ysinxcosx的圖象。點評：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用三角公式進(jìn)行恒等變形的技能及運算能力。題型4：三角函數(shù)式化簡例7求sin220°cos250°sin20°cos50°的值。解析：原式（1cos40°）（1cos100°）（sin70°sin30°）1（cos100°cos40°）sin70°sin70°sin30°sin70°sin70°sin70°。點評：本題考查三角恒等式和運算能力。例8已知函數(shù). （）求的定義域； （）設(shè)的第四象限的角，且，求的值。解析：（）由 得， 故在定義域為（）因為，且是第四象限的角, 所以a 故 。題型5：三角函數(shù)求值例9設(shè)函數(shù)f(x)=cos2cos+sinrcosx+a(其中0,aR),且f(x)的圖象在y軸右側(cè)的第一個高點的橫坐標(biāo)為。（）求的值；（）如果f(x)在區(qū)間上的最小值為，求a的值。解析：（I）依題意得 （II）由（I）知，。又當(dāng)時，故，從而在區(qū)間上的最小值為，故例10求函數(shù)2的值域和最小正周期。解析：y=cos(x+) cos(x)+sin2x=cos2x+sin2x=2sin(2x+)，函數(shù)y=cos(x+) cos(x)+sin2x的值域是2,2,最小正周期是。題型6：三角函數(shù)綜合問題例11已知向量（I）若求（II）求的最大值。解析：（1）；當(dāng)=1時有最大值,此時，最大值為。點評：本題主要考察以下知識點：1、向量垂直轉(zhuǎn)化為數(shù)量積為0；2，特殊角的三角函數(shù)值；3、三角函數(shù)的基本關(guān)系以及三角函數(shù)的有界性；4.已知向量的坐標(biāo)表示求模，難度中等，計算量不大。例12設(shè)0<<，曲線x2sin+y2cos=1和x2cosy2sin=1有4個不同的交點。（1）求的取值范圍；（2）證明這4個交點共圓，并求圓半徑的取值范圍。解析：（1）解方程組，得；故兩條已知曲線有四個不同的交點的充要條件為，（0<<）0<<。（2）設(shè)四個交點的坐標(biāo)為（xi，yi）（i=1，2，3，4），則：xi2+yi2=2cos（，2）（i=1，2，3，4）。故四個交點共圓，并且這個圓的半徑r=cos（）.點評：本題注重考查應(yīng)用解方程組法處理曲線交點問題，這也是曲線與方程的基本方法，同時本題也突出了對三角不等關(guān)系的考查。題型7：三角函數(shù)的應(yīng)用例13有一塊扇形鐵板，半徑為R，圓心角為60°，從這個扇形中切割下一個內(nèi)接矩形，即矩形的各個頂點都在扇形的半徑或弧上，求這個內(nèi)接矩形的最大面積分析：本題入手要解決好兩個問題，（1）內(nèi)接矩形的放置有兩種情況，如圖2-19所示，應(yīng)該分別予以處理；（2）求最大值問題這里應(yīng)構(gòu)造函數(shù)，怎么選擇便于以此表達(dá)矩形面積的自變量。解析：如圖2-19(1)設(shè)FOA=，則FGRsin，。又設(shè)矩形EFGH的面積為S，那么又0°60°，故當(dāng)cos(260°)1，即=30時，如圖2-19 (2)，設(shè)FOA，則EF2Rsin(30°)，在OFG中，OGF150°設(shè)矩形的面積為S那么SEFFG4R2sinsin(30°-)2R2cos(230°)cos30°又030°，故當(dāng)cos(230°)1。