《(新課程)2013高中數(shù)學(xué) 《第三章 三角恒等變換》總結(jié)與習(xí)題 蘇教版必修4》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(新課程)2013高中數(shù)學(xué) 《第三章 三角恒等變換》總結(jié)與習(xí)題 蘇教版必修4(12頁珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、三角恒等變形及應(yīng)用一課標(biāo)要求:1經(jīng)歷用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式的過程,進(jìn)一步體會(huì)向量方法的作用;2能從兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它們的內(nèi)在聯(lián)系;3能運(yùn)用上述公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換(包括引導(dǎo)導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式,但不要求記憶)。二命題走向從近幾年的高考考察的方向來看,這部分的高考題以選擇、解答題出現(xiàn)的機(jī)會(huì)較多,有時(shí)候也以填空題的形式出現(xiàn),它們經(jīng)常與三角函數(shù)的性質(zhì)、解三角形及向量聯(lián)合考察,主要題型有三角函數(shù)求值,通過三角式的變換研究三角函數(shù)的性質(zhì)。本講內(nèi)容是高考復(fù)習(xí)的重點(diǎn)之一,三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、求值及三角恒等式的證明
2、是三角變換的基本問題。歷年高考中,在考察三角公式的掌握和運(yùn)用的同時(shí),還注重考察思維的靈活性和發(fā)散性,以及觀察能力、運(yùn)算及觀察能力、運(yùn)算推理能力和綜合分析能力。三要點(diǎn)精講1兩角和與差的三角函數(shù);。2二倍角公式;。3三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)常用方法:直接應(yīng)用公式進(jìn)行降次、消項(xiàng);切割化弦,異名化同名,異角化同角; 三角公式的逆用等。(2)化簡(jiǎn)要求:能求出值的應(yīng)求出值;使三角函數(shù)種數(shù)盡量少;使項(xiàng)數(shù)盡量少;盡量使分母不含三角函數(shù);盡量使被開方數(shù)不含三角函數(shù)。(1)降冪公式;。(2)輔助角公式,。4三角函數(shù)的求值類型有三類(1)給角求值:一般所給出的角都是非特殊角,要觀察所給角與特殊角間的關(guān)系,利用三角變換消去非
3、特殊角,轉(zhuǎn)化為求特殊角的三角函數(shù)值問題;(2)給值求值:給出某些角的三角函數(shù)式的值,求另外一些角的三角函數(shù)值,解題的關(guān)鍵在于“變角”,如等,把所求角用含已知角的式子表示,求解時(shí)要注意角的范圍的討論;(3)給值求角:實(shí)質(zhì)上轉(zhuǎn)化為“給值求值”問題,由所得的所求角的函數(shù)值結(jié)合所求角的范圍及函數(shù)的單調(diào)性求得角。5三角等式的證明(1)三角恒等式的證題思路是根據(jù)等式兩端的特征,通過三角恒等變換,應(yīng)用化繁為簡(jiǎn)、左右同一等方法,使等式兩端化“異”為“同”;(2)三角條件等式的證題思路是通過觀察,發(fā)現(xiàn)已知條件和待證等式間的關(guān)系,采用代入法、消參法或分析法進(jìn)行證明。四典例解析題型1:兩角和與差的三角函數(shù)例1已知,
4、求cos。分析:因?yàn)榧瓤煽闯墒强醋魇堑谋督?,因而可得到下面的兩種解法。解法一:由已知sin+sin=1,cos+cos=0,22得 2+2cos; cos。22得 cos2+cos2+2cos()=1,即2cos()=1。解法二:由得由得得點(diǎn)評(píng):此題是給出單角的三角函數(shù)方程,求復(fù)角的余弦值,易犯錯(cuò)誤是利用方程組解sin、cos 、 sin 、 cos,但未知數(shù)有四個(gè),顯然前景并不樂觀,其錯(cuò)誤的原因在于沒有注意到所求式與已知式的關(guān)系本題關(guān)鍵在于化和為積促轉(zhuǎn)化,“整體對(duì)應(yīng)”巧應(yīng)用。例2已知求。分析:由韋達(dá)定理可得到進(jìn)而可以求出的值,再將所求值的三角函數(shù)式用tan表示便可知其值。解法一:由韋達(dá)定理得
5、tan,所以tan解法二:由韋達(dá)定理得tan,所以tan,。點(diǎn)評(píng):(1)本例解法二比解法一要簡(jiǎn)捷,好的解法來源于熟練地掌握知識(shí)的系統(tǒng)結(jié)構(gòu),從而尋找解答本題的知識(shí)“最近發(fā)展區(qū)”。(2)運(yùn)用兩角和與差角三角函數(shù)公式的關(guān)鍵是熟記公式,我們不僅要記住公式,更重要的是抓住公式的特征,如角的關(guān)系,次數(shù)關(guān)系,三角函數(shù)名等抓住公式的結(jié)構(gòu)特征對(duì)提高記憶公式的效率起到至關(guān)重要的作用,而且抓住了公式的結(jié)構(gòu)特征,有利于在解題時(shí)觀察分析題設(shè)和結(jié)論等三角函數(shù)式中所具有的相似性的結(jié)構(gòu)特征,聯(lián)想到相應(yīng)的公式,從而找到解題的切入點(diǎn)。(3)對(duì)公式的逆用公式,變形式也要熟悉,如題型2:二倍角公式例3化簡(jiǎn)下列各式:(1),(2)。
6、分析:(1)若注意到化簡(jiǎn)式是開平方根和2以及其范圍不難找到解題的突破口;(2)由于分子是一個(gè)平方差,分母中的角,若注意到這兩大特征,不難得到解題的切入點(diǎn)。解析:(1)因?yàn)?,又因,所以,原?。(2)原式= =。點(diǎn)評(píng):(1)在二倍角公式中,兩個(gè)角的倍數(shù)關(guān)系,不僅限于2是的二倍,要熟悉多種形式的兩個(gè)角的倍數(shù)關(guān)系,同時(shí)還要注意三個(gè)角的內(nèi)在聯(lián)系的作用,是常用的三角變換。(2)化簡(jiǎn)題一定要找準(zhǔn)解題的突破口或切入點(diǎn),其中的降次,消元,切割化弦,異名化同名,異角化同角是常用的化簡(jiǎn)技巧。(3)公式變形,。例4若。分析:注意的兩變換,就有以下的兩種解法。解法一:由, 解法二:,點(diǎn)評(píng):此題若將的左邊展開成再求co
7、sx,sinx的值,就很繁瑣,把,并注意角的變換2運(yùn)用二倍角公式,問題就公難為易,化繁為簡(jiǎn)所以在解答有條件限制的求值問題時(shí),要善于發(fā)現(xiàn)所求的三角函數(shù)的角與已知條件的角的聯(lián)系,一般方法是拼角與拆角,如,等。題型3:輔助角公式例5已知正實(shí)數(shù)a,b滿足。分析:從方程 的觀點(diǎn)考慮,如果給等式左邊的分子、分母同時(shí)除以a,則已知等式可化為關(guān)于程,從而可求出由,若注意到等式左邊的分子、分母都具有的結(jié)構(gòu),可考慮引入輔助角求解。解法一:由題設(shè)得 解法二:解法三:點(diǎn)評(píng):以上解法中,方法一用了集中變量的思想,是一種基本解法;解法二通過模式聯(lián)想,引入輔助角,技巧性較強(qiáng),但輔助角公式,或在歷年高考中使用頻率是相當(dāng)高的,
8、應(yīng)加以關(guān)注;解法三利用了換元法,但實(shí)質(zhì)上是綜合了解法一和解法二的解法優(yōu)點(diǎn),所以解法三最佳。例6已知函數(shù)ycos2xsinxcosx1,xR.(1)當(dāng)函數(shù)y取得最大值時(shí),求自變量x的集合;(2)該函數(shù)的圖象可由ysinx(xR)的圖象經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到?(理)(1)解析:ycos2xsinxcosx1(2cos2x1)(2sinxcosx)1cos2xsin2x(cos2xsinsin2xcos)sin(2x)y取得最大值必須且只需2x2k,kZ,即xk,kZ。所以當(dāng)函數(shù)y取得最大值時(shí),自變量x的集合為x|xk,kZ。(2)將函數(shù)ysinx依次進(jìn)行如下變換:把函數(shù)ysinx的圖象向左平
9、移,得到函數(shù)ysin(x)的圖象;把得到的圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來的倍(縱坐標(biāo)不變),得到函數(shù)ysin(2x)的圖象;把得到的圖象上各點(diǎn)縱坐標(biāo)縮短到原來的倍(橫坐標(biāo)不變),得到函數(shù)ysin(2x)的圖象;把得到的圖象向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到函數(shù)ysin(2x)的圖象;綜上得到函數(shù)ycos2xsinxcosx1的圖象。點(diǎn)評(píng):本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),考查利用三角公式進(jìn)行恒等變形的技能以及運(yùn)算能力。已知函數(shù)ysinxcosx,xR.(1)當(dāng)函數(shù)y取得最大值時(shí),求自變量x的集合;(2)該函數(shù)的圖象可由ysinx(xR)的圖象經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到?解析:(1)ysinxcosx2(s
10、inxcoscosxsin)2sin(x),xRy取得最大值必須且只需x2k,kZ,即x2k,kZ。所以,當(dāng)函數(shù)y取得最大值時(shí),自變量x的集合為x|x2k,kZ(2)變換的步驟是:把函數(shù)ysinx的圖象向左平移,得到函數(shù)ysin(x)的圖象;令所得到的圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)不變,把縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍,得到函數(shù)y2sin(x)的圖象;經(jīng)過這樣的變換就得到函數(shù)ysinxcosx的圖象。點(diǎn)評(píng):本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),利用三角公式進(jìn)行恒等變形的技能及運(yùn)算能力。題型4:三角函數(shù)式化簡(jiǎn)例7求sin220cos250sin20cos50的值。解析:原式(1cos40)(1cos100)(sin70s
11、in30)1(cos100cos40)sin70sin70sin30sin70sin70sin70。點(diǎn)評(píng):本題考查三角恒等式和運(yùn)算能力。例8已知函數(shù). ()求的定義域; ()設(shè)的第四象限的角,且,求的值。解析:()由 得, 故在定義域?yàn)椋ǎ┮驗(yàn)椋沂堑谒南笙薜慕? 所以a 故 。題型5:三角函數(shù)求值例9設(shè)函數(shù)f(x)=cos2cos+sinrcosx+a(其中0,aR),且f(x)的圖象在y軸右側(cè)的第一個(gè)高點(diǎn)的橫坐標(biāo)為。()求的值;()如果f(x)在區(qū)間上的最小值為,求a的值。解析:(I)依題意得 (II)由(I)知,。又當(dāng)時(shí),故,從而在區(qū)間上的最小值為,故例10求函數(shù)2的值域和最小正周期。解
12、析:y=cos(x+) cos(x)+sin2x=cos2x+sin2x=2sin(2x+),函數(shù)y=cos(x+) cos(x)+sin2x的值域是2,2,最小正周期是。題型6:三角函數(shù)綜合問題例11已知向量(I)若求(II)求的最大值。解析:(1);當(dāng)=1時(shí)有最大值,此時(shí),最大值為。點(diǎn)評(píng):本題主要考察以下知識(shí)點(diǎn):1、向量垂直轉(zhuǎn)化為數(shù)量積為0;2,特殊角的三角函數(shù)值;3、三角函數(shù)的基本關(guān)系以及三角函數(shù)的有界性;4.已知向量的坐標(biāo)表示求模,難度中等,計(jì)算量不大。例12設(shè)0,曲線x2sin+y2cos=1和x2cosy2sin=1有4個(gè)不同的交點(diǎn)。(1)求的取值范圍;(2)證明這4個(gè)交點(diǎn)共圓,并
13、求圓半徑的取值范圍。解析:(1)解方程組,得;故兩條已知曲線有四個(gè)不同的交點(diǎn)的充要條件為,(0)0。(2)設(shè)四個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為(xi,yi)(i=1,2,3,4),則:xi2+yi2=2cos(,2)(i=1,2,3,4)。故四個(gè)交點(diǎn)共圓,并且這個(gè)圓的半徑r=cos().點(diǎn)評(píng):本題注重考查應(yīng)用解方程組法處理曲線交點(diǎn)問題,這也是曲線與方程的基本方法,同時(shí)本題也突出了對(duì)三角不等關(guān)系的考查。題型7:三角函數(shù)的應(yīng)用例13有一塊扇形鐵板,半徑為R,圓心角為60,從這個(gè)扇形中切割下一個(gè)內(nèi)接矩形,即矩形的各個(gè)頂點(diǎn)都在扇形的半徑或弧上,求這個(gè)內(nèi)接矩形的最大面積分析:本題入手要解決好兩個(gè)問題,(1)內(nèi)接矩形的放置有兩種情況,如圖2-19所示,應(yīng)該分別予以處理;(2)求最大值問題這里應(yīng)構(gòu)造函數(shù),怎么選擇便于以此表達(dá)矩形面積的自變量。解析:如圖2-19(1)設(shè)FOA=,則FGRsin,。又設(shè)矩形EFGH的面積為S,那么又060,故當(dāng)cos(260)1,即=30時(shí),如圖2-19 (2),設(shè)FOA,則EF2Rsin(30),在OFG中,OGF150設(shè)矩形的面積為S那么SEFFG4R2sinsin(30-)2R2cos(230)cos30又030,故當(dāng)cos(230)1。