2.1 一元二次方程

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2.1 一元二次方程 教學(xué)目標(biāo) 【知識與能力】 1、整式方程和一元二次方程的定義；能識別一元二次方程； 2、知道一元二次方程的一般形式aX2 + bX + c = 0 ( a≠0 )，能熟練的把一元二次方程整理成一般形式； 3、在分析、揭示實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系并把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型。 【過程與方法】 從實(shí)際問題中抽象出一元二次方程的概念，經(jīng)歷探索、分析的過程，體會一元二次方程的特征，樹立數(shù)學(xué)建模思想。 【情感態(tài)度價值觀】 1、 體會數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的密切聯(lián)系。 2、學(xué)會與他人交流合作，提高數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣。 教學(xué)重難點(diǎn) 【教學(xué)重點(diǎn)】 實(shí)際生活中分式方程應(yīng)用題數(shù)量關(guān)系的分析。 【教學(xué)難點(diǎn)】 將復(fù)雜實(shí)際問題中的等量關(guān)系用分式方程表示, 并進(jìn)行歸納總結(jié)。 課前準(zhǔn)備 無 教學(xué)過程 一、預(yù)學(xué)： 提出下面問題，由學(xué)生設(shè)未知數(shù)，并列出方程： (1)一個正方形的面積的2倍等于31，求這個正方形的邊長。 (2)一個數(shù)比另一個數(shù)小，且兩數(shù)之積為0，求這個數(shù)。 (3)一個數(shù)的平方的－倍與－2的和等于2，求這個數(shù)。 (4)一個矩形的長比寬多5 cm，面積為150 cm2，求這個矩形的寬。 設(shè)所求的量或數(shù)為 x ，可得如下方程： (1) 2x2 = 31 (2) x ( x +)?=?0 (3) －x2 －2 = 2 (4) x ( x + 5 ) = 150 然后將上述方程改寫成： (1) 2x2－31 = 0 (2) x2 + x?=?0 (3) －?x2 －4 = 0 (4) x2 + 5x－150 = 0 什么叫整式方程？怎樣的方程叫一元一次方程？試舉例說明。 ( 方程兩邊都是未知數(shù)的整式，叫整式方程；在整式方程中，只含一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1，這樣的方程叫作一元一次方程) 二、探究： 問題1、引導(dǎo)性材料1中，所得出的四個方程有哪些共同點(diǎn)？ ( 學(xué)生分組討論，然后各組交流 ) (1) 都是整式方程 (2) 只含有一個未知數(shù) (3) 未知數(shù)的最高次數(shù)是2 從而教師導(dǎo)出一元二次方程的定義，得出一元二次方程的一般形式： ?aX2 + bX + c = 0 ( a≠0 ) 問題2 下列方程都是整式方程嗎？其中哪些是一元一次方程？哪些是一元二次方程？ (1) 3x + 2 = 5x－3 (2) x2 = 4 (3) ( x－1 )( x－2 ) = x2+ 8 (4) ( x + 3 )( 3x－4 ) = (x + 2)2 (上列方程都是整式方程。其(1)、(3)是一元一次方程，(2)、(4)是一元二次方程) 說明：通過一元二次方程與一元一次方程的比較，既加深學(xué)生對整式方程的認(rèn)識，又可使學(xué)生深刻理解一元二次方程的意義。 問題3 為什么在一元二次方程的一般形式aX2 + bX + c = 0中，二次項(xiàng)系數(shù)不為0呢？ 說明：方程aX2 + bX + c = 0是一元二次方程，必須具備a≠0的條件。如果所研究的問題中，明確指出方程aX2 + bX + c = 0是一元二次方程，則它隱含了條件a≠0。若沒有特別說明，方程aX2 + bX + c = 0既可能是一元二次方程( 當(dāng)a≠0時) ，也有可能是一元一次方程( 當(dāng)a = 0且b≠0時)。 3、 精講 例題解析： 例1 把方程( x + 3 )( 3x－4 ) = (x + 2)2化成一般形式，并指出它的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)。 解： 2x2 + x－16 = 0 二次項(xiàng)系數(shù)是2，一次項(xiàng)系數(shù)是1，常數(shù)項(xiàng)是－16。 一元二次方程的一般形式aX2 + bX + c = 0 (a≠0)具有兩個特征：一是方程的右邊為0；二是左邊的二次項(xiàng)系數(shù)不能為0。此外要使學(xué)生意識到：二次項(xiàng)、二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)都是包括符號的，不同的一元二次方程的差異實(shí)質(zhì)上是系數(shù)的差異，從而能正確的找出一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)。 例2 當(dāng) a、b、c 滿足什么條件時，方程 (a－1)x2 + bx + c = 0 是一元二次方程？這時方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)分別是什么？當(dāng)a、b、c 滿足什么條件時，方程 (a－1)x2 + bx + c = 0 是一元一次方程？ 本題供學(xué)有余力的同學(xué)討論。當(dāng)a = 1時是一元二次方程；當(dāng)a=1，b≠0時是一元一次方程； 四、提升： 1、一元二次方程屬于“整式方程”，其次它“只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2”， 2、一元二次方程的一般形式aX2 + bX + c = 0 (a≠0)，一元二次方程的項(xiàng)及系數(shù)都是根據(jù)一般式定義的，這與多項(xiàng)式中的項(xiàng)、次數(shù)及其系數(shù)的定義是一致的。 3、在實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型( 一元二次方程 ) 的過程中，體會學(xué)習(xí)一元二次方程的必要性和重要性。 五、作業(yè)： 課本第5頁練習(xí)第3 題 板書設(shè)計(jì) 一元二次方程 一、新課引入 二、新課講解 三、課堂練習(xí) 四、課堂小結(jié) 五、作業(yè) 3