山東省2013年高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí) 專題二 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)第3講 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 理

專題二函數(shù)與導(dǎo)數(shù)第3講導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用真題試做1(2012·課標(biāo)全國高考，理12)設(shè)點(diǎn)P在曲線yex上，點(diǎn)Q在曲線yln(2x)上，則|PQ|的最小值為()A1ln 2 B(1ln 2)C1ln 2 D(1ln 2)2(2012·湖北高考，理3)已知二次函數(shù)yf(x)的圖象如圖所示，則它與x軸所圍圖形的面積為()A B C D3(2012·大綱全國高考，理10)已知函數(shù)yx33xc的圖象與x軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則c()A2或2 B9或3 C1或1 D3或14(2012·陜西高考，理14)設(shè)函數(shù)f(x)D是由x軸和曲線yf(x)及該曲線在點(diǎn)(1,0)處的切線所圍成的封閉區(qū)域，則zx2y在D上的最大值為_5(2012·山東高考，理22)已知函數(shù)f(x)(k為常數(shù)，e2.718 28是自然對數(shù)的底數(shù))，曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線與x軸平行(1)求k的值；(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(3)設(shè)g(x)(x2x)f(x)，其中f(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，證明：對任意x0，g(x)1e2.6(2012·浙江高考，理22)已知a0，bR，函數(shù)f(x)4ax32bxab.(1)證明：當(dāng)0x1時(shí)，函數(shù)f(x)的最大值為|2ab|a；f(x)|2ab|a0；(2)若1f(x)1對x0,1恒成立，求ab的取值范圍7(2012·重慶高考，理16)設(shè)f(x)aln xx1，其中aR，曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線垂直于y軸(1)求a的值；(2)求函數(shù)f(x)的極值考向分析從近三年高考來看，該部分高考命題有以下特點(diǎn)：從內(nèi)容上看，考查導(dǎo)數(shù)主要有三個(gè)層次：(1)導(dǎo)數(shù)的概念、求導(dǎo)公式與法則、導(dǎo)數(shù)的幾何意義；(2)導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用，包括求函數(shù)極值、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、證明函數(shù)的單調(diào)性等；(3)導(dǎo)數(shù)的綜合考查，包括導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用題以及導(dǎo)數(shù)與函數(shù)、不等式等的綜合題另外對微積分基本定理的考查頻率較低，難度較小，著重于基礎(chǔ)知識、基本方法的考查從特點(diǎn)上看，高考對導(dǎo)數(shù)的考查有時(shí)單獨(dú)考查，有時(shí)在知識交會處考查，常常將導(dǎo)數(shù)與函數(shù)、不等式、方程、數(shù)列、解析幾何等結(jié)合在一起考查從形式上看，考查導(dǎo)數(shù)的試題有選擇題、填空題、解答題，有時(shí)三種題型會同時(shí)出現(xiàn)熱點(diǎn)例析熱點(diǎn)一導(dǎo)數(shù)的幾何意義【例1】設(shè)函數(shù)f(x)ax(a，bZ)，曲線yf(x)在點(diǎn)(2，f(2)處的切線方程為y3.(1)求yf(x)的解析式；(2)證明曲線yf(x)上任一點(diǎn)處的切線與直線x1和直線yx所圍三角形的面積為定值，并求出此定值規(guī)律方法 1導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)yf(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)f(x0)的幾何意義是：曲線yf(x)在點(diǎn)(x0，f(x0)處的切線的斜率(瞬時(shí)速度就是位移函數(shù)s(t)對時(shí)間t的導(dǎo)數(shù))2求曲線切線方程的步驟：(1)求出函數(shù)yf(x)在點(diǎn)xx0的導(dǎo)數(shù)f(x0)，即曲線yf(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0)處切線的斜率；(2)已知或求得切點(diǎn)坐標(biāo)P(x0，f(x0)，由點(diǎn)斜式得切線方程為yy0f(x0)(xx0)特別提醒：當(dāng)曲線yf(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0)處的切線平行于y軸(此時(shí)導(dǎo)數(shù)不存在)時(shí)，由切線定義可知，切線方程為xx0；當(dāng)切點(diǎn)坐標(biāo)未知時(shí)，應(yīng)首先設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，再求解變式訓(xùn)練1 (1)設(shè)曲線yax2在點(diǎn)(1，a)處的切線與直線2xy60平行，則a_；(2)曲線ysin x(0x)與直線y圍成的封閉圖形的面積是()A B2 C2 D熱點(diǎn)二利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性【例2】已知aR，函數(shù)f(x)(x2ax)ex(xR，e為自然對數(shù)的底數(shù))(1)當(dāng)a2時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若函數(shù)f(x)在(1,1)上單調(diào)遞增，求a的取值范圍規(guī)律方法 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的一般步驟：(1)確定函數(shù)的定義域；(2)求導(dǎo)函數(shù)f(x)；(3)若求單調(diào)區(qū)間(或證明單調(diào)性)，只需在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)解(或證明)不等式f(x)0或f(x)0.若已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)，只需轉(zhuǎn)化為不等式f(x)0或f(x)0在單調(diào)區(qū)間內(nèi)恒成立問題求解解題過程中要注意分類討論；函數(shù)單調(diào)性問題以及一些相關(guān)的逆向問題，都離不開分類討論思想變式訓(xùn)練2 已知函數(shù)f(x)xa(2ln x)，a0.討論f(x)的單調(diào)性熱點(diǎn)三利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值和最值問題【例3】已知函數(shù)f(x)x3ax23x，(1)若f(x)在區(qū)間1，)上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若x是f(x)的極值點(diǎn)，求f(x)在1，a上的最大值；(3)在(2)的條件下，是否存在實(shí)數(shù)b，使得函數(shù)g(x)bx的圖象與函數(shù)f(x)的圖象恰有3個(gè)交點(diǎn)？若存在，請求出實(shí)數(shù)b的取值范圍；若不存在，試說明理由規(guī)律方法 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值的一般步驟是：(1)確定函數(shù)的定義域；(2)求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f(x)；(3)若求極值，則先求出方程f(x)0的根，再檢驗(yàn)f(x)在方程根左右邊f(xié)(x)的符號，求出極值當(dāng)根中有參數(shù)時(shí)要注意分類討論根是否在定義域內(nèi)若已知極值大小或存在情況，則轉(zhuǎn)化為已知方程f(x)0根的大小或存在情況，從而求解變式訓(xùn)練3 已知函數(shù)f(x)aln x(a0，aR)(1)若a1，求函數(shù)f(x)的極值和單調(diào)區(qū)間；(2)若a0且在區(qū)間(0，e上至少存在一點(diǎn)x0，使得f(x0)0成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍思想滲透轉(zhuǎn)化與化歸思想的含義轉(zhuǎn)化與化歸思想方法，就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時(shí)，采用某種手段將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化，進(jìn)而使問題得到解決的一種數(shù)學(xué)方法一般是將復(fù)雜的問題通過變換轉(zhuǎn)化為簡單的問題，將難解的問題通過變換轉(zhuǎn)化為容易求解的問題，將未解決的問題通過變換轉(zhuǎn)化為已解決的問題轉(zhuǎn)化與化歸常用的方法是等價(jià)轉(zhuǎn)化法：把原問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)易于解決的等價(jià)問題，以達(dá)到化歸的目的【典型例題】已知函數(shù)f(x)x(ln xm)，g(x)x3x.(1)當(dāng)m2時(shí)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若m時(shí)，不等式g(x)f(x)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：(1)當(dāng)m2時(shí)，f(x)x(ln x2)xln x2x，定義域?yàn)?0，)，且f(x)ln x1.由f(x)0，得ln x10，所以xe.由f(x)0，得ln x10，所以0xe.故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(e，)，遞減區(qū)間是(0，e)(2)當(dāng)m時(shí)，不等式g(x)f(x)，即x3xx恒成立由于x0，所以x21ln x，即x2ln x，所以a.令h(x)，則h(x)，由h(x)0得x1.且當(dāng)0x1時(shí)，h(x)0；當(dāng)x1時(shí)，h(x)0，即h(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，)上單調(diào)遞減，所以h(x)在x1處取得極大值h(1)，也就是函數(shù)h(x)在定義域上的最大值因此要使a恒成立，需有a，此即為a的取值范圍1(ex2x)dx等于()A1 Be1 Ce De12曲線y在點(diǎn)M處的切線的斜率為()A B C D3已知函數(shù)yf(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x0時(shí)，不等式f(x)xf(x)0成立，若a30.3f(30.3)，blog3f(log3)，clog3f，則a，b，c間的大小關(guān)系是()Aabc BcbaCcab Dacb4函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，f(1)2，對任意xR，f(x)2，則f(x)2x4的解集為()A(1,1) B(1，)C(，1) D(，)5三次函數(shù)f(x)，當(dāng)x1時(shí)有極大值4；當(dāng)x3時(shí)有極小值0，且函數(shù)圖象過原點(diǎn)，則f(x)_.6已知函數(shù)f(x)x33x29xa(a為常數(shù))在區(qū)間2,2上有最大值20，那么此函數(shù)在區(qū)間2,2上的最小值為_7已知函數(shù)f(x)axln x(aR)(1)若a1，求曲線yf(x)在x處切線的斜率；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(3)設(shè)g(x)2x，若對任意x1(0，)，存在x20,1，使f(x1)g(x2)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍參考答案命題調(diào)研·明晰考向真題試做1B解析：由題意知函數(shù)yex與yln(2x)互為反函數(shù)，其圖象關(guān)于直線yx對稱，兩曲線上點(diǎn)之間的最小距離就是yx與yex最小距離的2倍，設(shè)yex上點(diǎn)(x0，y0)處的切線與yx平行，有，x0ln 2，y01，yx與yex的最小距離是(1ln 2)，|PQ|的最小值為(1ln 2)×2(1ln 2)2B解析：由圖象可得二次函數(shù)的解析式為f(x)x21，則與x軸所圍圖形的面積.3A解析：y3x233(x1)(x1)當(dāng)y0時(shí)，x1或x1；當(dāng)y0時(shí)，1x1.函數(shù)的遞增區(qū)間為(，1)和(1，)，遞減區(qū)間為(1,1)x1時(shí)，取得極大值；x1時(shí)，取得極小值要使函數(shù)圖象與x軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，只需：f(1)0或f(1)0，即(1)33×(1)c0或133×1c0，c2或c2.42解析：由題知在點(diǎn)(1,0)處的切線的斜率kf(1)1，則切線方程為yx1.區(qū)域D為如圖陰影部分所示則z的最大值即為直線yx在y軸上的最小截距，此時(shí)(0，1)為最優(yōu)解，所以z02×(1)2.5(1)解：由f(x)，得f(x)，x(0，)，由于曲線yf(x)在(1，f(1)處的切線與x軸平行，所以f(1)0，因此k1.(2)解：由(1)得f(x)(1xxln x)，x(0，)，令h(x)1xxln x，x(0，)，當(dāng)x(0,1)時(shí)，h(x)0；當(dāng)x(1，)時(shí)，h(x)0.又ex0，所以x(0,1)時(shí)，f(x)0；x(1，)時(shí)，f(x)0.因此f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1，)(3)證明：因?yàn)間(x)(x2x)f(x)，所以g(x)(1xxln x)，x(0，)因此對任意x0，g(x)1e2等價(jià)于1xxln x(1e2)由(2)h(x)1xxln x，x(0，)，所以h(x)ln x2(ln xln e2)，x(0，)，因此當(dāng)x(0，e2)時(shí)，h(x)0，h(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x(e2，)時(shí)，h(x)0，h(x)單調(diào)遞減所以h(x)的最大值為h(e2)1e2，故1xxln x1e2.設(shè)(x)ex(x1)因?yàn)?x)ex1exe0，所以x(0，)時(shí)，(x)0，(x)單調(diào)遞增，(x)(0)0，故x(0，)時(shí)，(x)ex(x1)0，即1.所以1xxln x1e2(1e2)因此對任意x0，g(x)1e2.6(1)證明：f(x)12ax22b12a.當(dāng)b0時(shí)，有f(x)0，此時(shí)f(x)在0，)上單調(diào)遞增當(dāng)b0時(shí)，f(x)12a，此時(shí)f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增所以當(dāng)0x1時(shí)，f(x)maxmaxf(0)，f(1)maxab，3ab|2ab|a.由于0x1，故當(dāng)b2a時(shí)，f(x)|2ab|af(x)3ab4ax32bx2a4ax34ax2a2a(2x32x1)當(dāng)b2a時(shí)，f(x)|2ab|af(x)ab4ax32b(1x)2a4ax34a(1x)2a2a(2x32x1)設(shè)g(x)2x32x1,0x1，則g(x)6x226，于是x01g(x)0g(x)1減極小值增1所以，g(x)ming10，所以，當(dāng)0x1時(shí)，2x32x10，故f(x)|2ab|a2a(2x32x1)0.(2)解：由知，當(dāng)0x1，f(x)max|2ab|a，所以|2ab|a1.若|2ab|a1，則由知f(x)(|2ab|a)1.所以1f(x)1對任意0x1恒成立的充要條件是即或在直角坐標(biāo)系aOb中，不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)槿鐖D所示的陰影部分，其中不包括線段BC.作一組平行直線abt(tR)，得1ab3，所以ab的取值范圍是(1,37解：(1)因f(x)aln xx1，故f(x).由于曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線垂直于y軸，故該切線斜率為0，即f(1)0，從而a0，解得a1.(2)由(1)知f(x)ln xx1(x0)，f(x).令f(x)0，解得x11，x2.當(dāng)x(0,1)時(shí)，f(x)0，故f(x)在(0,1)上為減函數(shù)；當(dāng)x(1，)時(shí)，f(x)0，故f(x)在(1，)上為增函數(shù)故f(x)在x1處取得極小值f(1)3.精要例析·聚焦熱點(diǎn)熱點(diǎn)例析【例1】解：(1)f(x)a，于是解得或由a，bZ，故f(x)x.(2)在曲線上任取一點(diǎn).由f(x0)1知，過此點(diǎn)的切線方程為y(xx0)令x1得y，切線與直線x1的交點(diǎn)為.令yx，得y2x01，切線與直線yx的交點(diǎn)為(2x01,2x01)直線x1與直線yx的交點(diǎn)為(1,1)從而所圍三角形的面積為·|2x011|2x02|2.所圍三角形的面積為定值2.【變式訓(xùn)練1】(1)1解析：yax2，y2ax，y|x12a.又yax2在點(diǎn)(1，a)處的切線與直線2xy60平行，2a2，a1.(2)D解析：由sin x與0x，得x或，所以曲線ysin x(0x)與直線y圍成的封閉圖形的面積是×cos.故選D.【例2】解：(1)當(dāng)a2時(shí)，f(x)(x22x)ex，f(x)(2x2)ex(x22x)ex(x22)ex.令f(x)0，即(x22)ex0，ex0，x220，解得x.函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(，)(2)函數(shù)f(x)在(1,1)上單調(diào)遞增，f(x)0對x(1,1)恒成立f(x)(2xa)ex(x2ax)exx2(a2)xaex，x2(a2)xaex0對x(1,1)恒成立ex0，x2(a2)xa0對x(1,1)恒成立，即a(x1)對x(1,1)恒成立令y(x1)，則y10.y(x1)在(1,1)上單調(diào)遞增y(11).a.【變式訓(xùn)練2】解：f(x)的定義域是(0，)，f(x)1.設(shè)g(x)x2ax2，二次方程g(x)0的判別式a28.當(dāng)0即0a2時(shí)，對一切x0都有f(x)0.此時(shí)f(x)是(0，)上的單調(diào)遞增函數(shù)當(dāng)0即a2時(shí)，僅對x有f(x)0，對其余的x0都有f(x)0.此時(shí)f(x)也是(0，)上的單調(diào)遞增函數(shù)當(dāng)0即a2時(shí)，方程g(x)0有兩個(gè)不同的實(shí)根x1，x2，0x1x2.x(0，x1)x1(x1，x2)x2(x2，)f(x)00f(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值 單調(diào)遞增此時(shí)f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增【例3】解：(1)f(x)3x22ax3.f(x)在1，)上是增函數(shù)，f(x)在1，)上恒有f(x)0，即3x22ax30在1，)上恒成立，則必有1且f(1)2a0.a0.(2)依題意，f0，即a30.a4，f(x)x34x23x.令f(x)3x28x30，得x1，x23.則當(dāng)x變化時(shí)，f(x)與f(x)變化情況如下表：x1(1,3)3(3,4)4f(x)0f(x)61812f(x)在1,4上的最大值是f(1)6.(3)函數(shù)g(x)bx的圖象與函數(shù)f(x)的圖象恰有3個(gè)交點(diǎn)，即方程x34x23xbx恰有3個(gè)不等實(shí)根x34x23xbx0，x0是其中一個(gè)根，方程x24x3b0有兩個(gè)非零不等實(shí)根b7且b3.存在滿足條件的b值，b的取值范圍是b7且b3.變式訓(xùn)練3】解：(1)f(x)，當(dāng)a1時(shí)，f(x).令f(x)0，得x1，又f(x)的定義域?yàn)?0，)，f(x)，f(x)隨x的變化情況如下表：x(0,1)1(1，)f(x)0f(x)極小值所以x1時(shí)，f(x)的極小值為1.f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1，)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1)(2)f(x)，且a0，令f(x)0，得x，若在區(qū)間(0，e上至少存在一點(diǎn)x0，使得f(x0)0成立，其充要條件是f(x)在區(qū)間(0，e上的最小值小于0.因?yàn)閍0，所以x0，f(x)0對x(0，)成立，所以f(x)在區(qū)間(0，e上單調(diào)遞減，故f(x)在區(qū)間(0，e上的最小值為f(e)aln ea，由a0，得a，即a.創(chuàng)新模擬·預(yù)測演練1C解析：因?yàn)镕(x)exx2，且F(x)ex2x，則，故選C.2B解析：對y求導(dǎo)得y，當(dāng)x時(shí)，y|x.3C解析：設(shè)g(x)xf(x)，則g(x)f(x)xf(x)0，當(dāng)x0時(shí)，g(x)xf(x)為減函數(shù)又g(x)為偶函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，g(x)為增函數(shù)130.32,0log31，log32，g(2)g(30.3)g(log3)，即cab，故選C.4B解析：設(shè)h(x)f(x)(2x4)，則h(x)f(x)20，故h(x)在R上單調(diào)遞增，又h(1)f(1)20，所以當(dāng)x1時(shí)，h(x)0，即f(x)2x4.5x36x29x解析：設(shè)f(x)ax3bx2cxd(a0)，則f(x)3ax22bxc.由題意，有即解得故f(x)x36x29x.67解析：f(x)3x26x90，得x1或x3(舍去)f(2)2a，f(1)5a，f(2)a22，a2220，a2.故最小值為f(1)7.7解：(1)f(x)1(x0)，f123.故曲線yf(x)在x處切線的斜率為3.(2)f(x)a(x0)當(dāng)a0時(shí)，由于x0，故ax10，f(x)0，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，)當(dāng)a0時(shí)，由f(x)0，得x.在區(qū)間上，f(x)0，在區(qū)間上f(x)0，所以，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.(3)由題可知，若對任意x1(0，)，均存在x20,1，使得f(x1)g(x2)，轉(zhuǎn)化為f(x)maxg(x)max，而g(x)max2.由(2)知，當(dāng)a0時(shí)，f(x)在(0，)上單調(diào)遞增，值域?yàn)镽，故不符合題意(或者舉出反例：存在f(e3)ae332，故不符合題意)當(dāng)a0時(shí)，f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故f(x)的極大值即為最大值，f1ln1ln(a)，所以21ln(a)，解得a.所以，a的取值范圍為.