冀教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué) 第17章 【教學(xué)設(shè)計(jì)】 認(rèn)識(shí)勾股定理

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1、認(rèn)識(shí)勾股定理 一、教學(xué)目標(biāo) 知識(shí)與技能：了解勾股定理的發(fā)現(xiàn)過程，掌握勾股定理的內(nèi)容，會(huì)用面積法證明勾股定理。 過程與方法：培養(yǎng)在實(shí)際生活中發(fā)現(xiàn)問題總結(jié)規(guī)律的意識(shí)和能力。 情感態(tài)度與價(jià)值觀：介紹我國(guó)古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激發(fā)學(xué)生的愛國(guó)熱情，促其勤奮學(xué)習(xí)。 二、教學(xué)重、難點(diǎn) 1．重點(diǎn)：勾股定理的內(nèi)容及證明。 2．難點(diǎn)：勾股定理的證明。 三、難點(diǎn)的突破方法： 幾何學(xué)的產(chǎn)生，源于人們對(duì)土地面積的測(cè)量需要。在古埃及，尼羅河每年要泛濫一次；洪水給兩岸的田地帶來了肥沃的淤積泥土，但也抹掉了田地之間的界限標(biāo)志。水退了，人們要重新畫出田地的界線，就必須再次丈量、計(jì)算田地的面積。幾

2、何學(xué)從一開始就與面積結(jié)下了不解之緣，面積很早就成為人們認(rèn)識(shí)幾何圖形性質(zhì)與爭(zhēng)鳴幾何定理的工具。本節(jié)課采用拼圖的方法，使學(xué)生利用面積相等對(duì)勾股定理進(jìn)行證明。其中的依據(jù)是圖形經(jīng)過割補(bǔ)拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會(huì)改變。 四、例題的意圖分析 例1 （補(bǔ)充）通過對(duì)定理的證明，讓學(xué)生確信定理的正確性；通過拼圖，發(fā)散學(xué)生的思維，鍛煉學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐能力；這個(gè)古老的精彩的證法，出自我國(guó)古代無名數(shù)學(xué)家之手。激發(fā)學(xué)生的民族自豪感，和愛國(guó)情懷。 例2 使學(xué)生明確，圖形經(jīng)過割補(bǔ)拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會(huì)改變。進(jìn)一步讓學(xué)生確信勾股定理的正確性。 五、課堂引入 目前世界上許多科學(xué)家正在

3、試圖尋找其他星球的“人”，為此向宇宙發(fā)出了許多信號(hào)，如地球上人類的語言、音樂、各種圖形等。我國(guó)數(shù)學(xué)家華羅庚曾建議，發(fā)射一種反映勾股定理的圖形，如果宇宙人是“文明人”，那么他們一定會(huì)識(shí)別這種語言的。這個(gè)事實(shí)可以說明勾股定理的重大意義。尤其是在兩千年前，是非常了不起的成就。 讓學(xué)生畫一個(gè)直角邊為3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的長(zhǎng)。 以上這個(gè)事實(shí)是我國(guó)古代3000多年前有一個(gè)叫商高的人發(fā)現(xiàn)的，他說：“把一根直尺折成直角，兩段連結(jié)得一直角三角形，勾廣三，股修四，弦隅五?！边@句話意思是說一個(gè)直角三角形較短直角邊（勾）的長(zhǎng)是3，長(zhǎng)的直角邊（股）的長(zhǎng)是4，那么斜邊（弦）的長(zhǎng)是5。 再畫

4、一個(gè)兩直角邊為5和12的直角△ABC，用刻度尺量AB的長(zhǎng)。 你是否發(fā)現(xiàn)32+42與52的關(guān)系，52+122和132的關(guān)系，即32+42=52，52+122=132，那么就有 勾2+股2=弦2。 對(duì)于任意的直角三角形也有這個(gè)性質(zhì)嗎？ 六、例、習(xí)題分析 例1（補(bǔ)充）已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊為a、b、c。 求證：a2＋b2=c2。 分析：⑴讓學(xué)生準(zhǔn)備多個(gè)三角形模型，最好是有顏色的吹塑紙，讓學(xué)生拼擺不同的形狀，利用面積相等進(jìn)行證明。 ⑵拼成如圖所示，其等量關(guān)系為：4S△+S小正=S大正 4×ab＋（b－a）2=c2，化簡(jiǎn)可證。 ⑶發(fā)揮學(xué)生的想象能

5、力拼出不同的圖形，進(jìn)行證明。 ⑷ 勾股定理的證明方法，達(dá)300余種。這個(gè)古老的精彩的證法，出自我國(guó)古代無名數(shù)學(xué)家之手。激發(fā)學(xué)生的民族自豪感，和愛國(guó)情懷。 例2已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊為a、b、c。 求證：a2＋b2=c2。 分析：左右兩邊的正方形邊長(zhǎng)相等，則兩個(gè)正方形的面積相等。 左邊S=4×ab＋c2 右邊S=（a+b）2 左邊和右邊面積相等，即 4×ab＋c2=（a+b）2 化簡(jiǎn)可證。 七、課堂練習(xí) 1．勾股定理的具體內(nèi)容是： 。 2．如圖，直角△ABC的主要性質(zhì)是：

6、∠C=90°，（用幾何語言表示） ⑴兩銳角之間的關(guān)系： ； ⑵若D為斜邊中點(diǎn)，則斜邊中線 ； ⑶若∠B=30°，則∠B的對(duì)邊和斜邊： ； ⑷三邊之間的關(guān)系： 。 3．△ABC的三邊a、b、c，若滿足b2= a2＋c2，則 =90°； 若滿足b2＞c2＋a2，則∠B是 角； 若滿足b2＜c2＋a2，則∠B是 角。 4．根據(jù)如圖所示，利用面積法證明勾股定理。 八、課后練習(xí) 1．已知在R

7、t△ABC中，∠B=90°，a、b、c是△ABC的三邊，則 ⑴c= 。（已知a、b，求c） ⑵a= 。（已知b、c，求a） ⑶b= 。（已知a、c，求b） 2．如下表，表中所給的每行的三個(gè)數(shù)a、b、c，有a＜b＜c，試根據(jù)表中已有數(shù)的規(guī)律，寫出當(dāng)a=19時(shí)，b，c的值，并把b、c用含a的代數(shù)式表示出來。 3、4、5 32+42=52 5、12、13 52+122=132 7、24、25 72+242=252 9、40、41 92+402=412 …… …… 19，b、c 192+

8、b2=c2 3．在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=cm，一動(dòng)點(diǎn)P從B向C以每秒2cm的速度移動(dòng)，問當(dāng)P點(diǎn)移動(dòng)多少秒時(shí)，PA與腰垂直。 4．已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，D在CB的延長(zhǎng)線上。 求證：⑴AD2－AB2=BD·CD ⑵若D在CB上，結(jié)論如何，試證明你的結(jié)論。 參考答案 課堂練習(xí) 1．略； 2．⑴∠A+∠B=90°；⑵CD=AB；⑶AC=AB；⑷AC2+BC2=AB2。 3．∠B，鈍角，銳角； 4．提示：因?yàn)镾梯形ABCD = S△ABE+ S△BCE+ S△EDA，又因?yàn)镾梯形ACDG=（a+b）2， S△BCE= S△EDA= ab，S△ABE=c2, （a+b）2=2× ab＋c2。 課后練習(xí) 1．⑴c=；⑵a=；⑶b= 2． ；則b=，c=；當(dāng)a=19時(shí)，b=180，c=181。 3．5秒或10秒。 4．提示：過A作AE⊥BC于E。