（浙江專用）2020版高考數(shù)學新增分大一輪復習 第七章 數(shù)列與數(shù)學歸納法 7.4 數(shù)列求和、數(shù)列的綜合應用（第1課時）課件.ppt

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1、7.4數(shù)列求和、數(shù)列的綜合應用,,第七章數(shù)列與數(shù)學歸納法,,NEIRONGSUOYIN,內(nèi)容索引,基礎知識 自主學習,題型分類 深度剖析,課時作業(yè),1,基礎知識 自主學習,PART ONE,,知識梳理,1.等差數(shù)列的前n項和公式,ZHISHISHULI,,,,2.等比數(shù)列的前n項和公式,,3.一些常見數(shù)列的前n項和公式 (1)1234n . (2)13572n1 . (3)24682n .,n2,n(n1),4.數(shù)列求和的常用方法 (1)公式法 等差、等比數(shù)列或可化為等差、等比數(shù)列的可直接使用公式求和. (2)分組轉(zhuǎn)化法 把數(shù)列的每一項分成兩項或幾項，使其轉(zhuǎn)化為幾個等差、等比數(shù)

2、列，再求解. (3)裂項相消法 把數(shù)列的通項拆成兩項之差求和，正負相消剩下首尾若干項.,(4)倒序相加法 把數(shù)列分別正著寫和倒著寫再相加，即等差數(shù)列求和公式的推導過程的推廣. (5)錯位相減法 主要用于一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列對應項相乘所得的數(shù)列的求和，即等比數(shù)列求和公式的推導過程的推廣. (6)并項求和法 一個數(shù)列的前n項和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項求和.形如an(1)nf(n)類型，可采用兩項合并求解. 例如，Sn10029929829722212(10099)(9897)(21)5 050.,,,基礎自測,JICHUZICE,題組一思考辨析,,,,1,2,3,4,5,6,,,7,

3、,1,2,3,4,5,6,(5)推導等差數(shù)列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin21sin22sin23sin288sin28944.5.() (6)如果數(shù)列an是周期為k的周期數(shù)列，那么SkmmSk(m，k為大于1的正整數(shù)).(),,,7,,,題組二教材改編,,1,2,3,4,5,6,2.P61A組T5一個球從100 m高處自由落下，每次著地后又跳回到原高度的一半再落下，當它第10次著地時，經(jīng)過的路程是 A.100200(129) B.100100(129) C.200(129) D.100(129),,7,,1,2,3,4,5,6,3.P61A組T4(3)12x3x2nxn1

4、______________(x0且x1).,解析設Sn12x3x2nxn1， 則xSnx2x23x3nxn， 得(1x)Sn1xx2xn1nxn,7,,1,2,3,4,5,6,題組三易錯自糾 4.已知數(shù)列an的前n項和為Sn，a11，當n2時，an2Sn1n，則S2 019等于 A.1 007 B.1 008 C.1 009 D.1 010,,解析由an2Sn1n得an12Snn1， 兩式相減得an1an2an1an1an1 S2 019a1(a2a3)(a2 018a2 019)1 009111 010.,7,,1,2,3,4,5,6,5.數(shù)列an的通項公式為an(1)n1(4n3)，則它

5、的前100項之和S100等于 A.200 B.200 C.400 D.400,,解析S100(413)(423)(433)(41003) 4(12)(34)(99100) 4(50)200.,7,,1,2,3,4,5,6,1 008,故S4a1a2a3a42. a50，a66，a70，a88， 故a5a6a7a82，周期T4. S2 017S2 016a2 017,7,,1,2,3,4,5,6,4,7,2,題型分類深度剖析,PART TWO,第1課時數(shù)列求和的常用方法,,題型一分組轉(zhuǎn)化法求和,,師生共研,解當n1時，a1S11；,a1也滿足ann， 故數(shù)列an的通項公式為ann(nN*).,,

6、(2)設 求數(shù)列bn的前2n項和.,B(12)(34)(2n1)2nn. 故數(shù)列bn的前2n項和T2nAB22n1n2.,解由(1)知ann，故bn2n(1)nn. 記數(shù)列bn的前2n項和為T2n， 則T2n(212222n)(12342n). 記A212222n， B12342n，,本例(2)中，求數(shù)列bn的前n項和Tn.,,,解由(1)知bn2n(1)nn. 當n為偶數(shù)時， Tn(21222n)1234(n1)n,當n為奇數(shù)時，Tn(21222n)1234(n2)(n1)n,分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型 (1)若anbncn，且bn，cn為等差或等比數(shù)列，可采用分組求和法求an的前n項和.,提

7、醒：某些數(shù)列的求和是將數(shù)列轉(zhuǎn)化為若干個可求和的新數(shù)列的和或差，從而求得原數(shù)列的和，注意在含有字母的數(shù)列中對字母的討論.,跟蹤訓練1(2018溫州市適應性考試)已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且a12,2Sn(n1)2ann2an1，數(shù)列bn滿足b1a1，nbn1anbn. (1)求數(shù)列an和bn的通項公式；,,解由2Sn(n1)2ann2an1， 可得2Sn1(n2)2an1(n1)2an2， 得2an12(n22n2)an1(n1)2an2(n1)2an， 所以2(n1)2an1(n1)2an2(n1)2an， 化簡得2an1an2an，所以an是等差數(shù)列. 由2S1(11)2a1a2可得a2

8、4， 所以公差da2a1422，故an22(n1)2n. 由b1a1，nbn1anbn以及an2n可知，b12， 2， 所以數(shù)列bn是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列， 故bn22n12n.,(2)若數(shù)列cn滿足cnanbn(nN*)，求數(shù)列cn的前n項和Tn.,n2n2n12.,解因為cnanbn2n2n， 所以Tn(22)(422)(623)(2n2n) (2462n)(222232n),,題型二錯位相減法求和,,師生共研,,解設等比數(shù)列an的公比為q(q1)，,故an33n13n.,解由(1)知，cnn3n， 所以Tnc1c2c3cn13232n3n， 則3Tn132233(n1)3nn

9、3n1. 兩式相減得，2Tn332333nn3n1,錯位相減法求和時的注意點 (1)要善于識別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負數(shù)的情形. (2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準確寫出“SnqSn”的表達式. (3)在應用錯位相減法求和時，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應分公比等于1和不等于1兩種情況求解.,(1)求數(shù)列an的通項公式；,,故數(shù)列an是公差為1的等差數(shù)列，又a11， 所以an1(n1)1n.,(2)設 ，數(shù)列bn的前n項和為Hn，求使得Hnn2n150成立的最小整數(shù)n.,解因為 n2n， 所以Hn(121222n2n

10、)， 則2Hn(22223n2n1). 將以上兩式作差化簡可得Hnn2n12n12， 于是，Hnn2n150，即2n152，解得n5. 故最小正整數(shù)n是5.,,,,題型三裂項相消法求和,,多維探究,例3(2018浙江省金麗衢十二校聯(lián)考)已知等差數(shù)列an的公差為2，等比數(shù)列bn的公比為2，且anbnn2n. (1)求數(shù)列an和bn的通項公式；,解anbnn2n， 解得a12，b11， an22(n1)2n， bn2n1.,解an2n，bn2n1，,Tnc1c2c3c4cn1cn,,命題點3裂項相消法的靈活運用,例5(2018紹興諸暨市期末)已知等差數(shù)列an的公差為2，前n項和為Sn，且S1，S2

11、，S4成等比數(shù)列. (1)求數(shù)列an的通項公式；,由題意得(2a12)2a1(4a112)， 解得a11，所以an2n1.,解由題意知Sn3n22n， 當n2時，anSnSn16n5， a1321，適合上式，an6n5.,跟蹤訓練3(2018紹興市六校質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)3x22x，數(shù)列an的前n項和為Sn，點(n，Sn)(nN*)均在函數(shù)f(x)的圖象上. (1)求數(shù)列an的通項公式；,3,課時作業(yè),PART THREE,,基礎保分練,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,1

12、6,又a11，所以a22，則數(shù)列an的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列， 所以S2 018(a1a3a2 017)(a2a4a2 018),2.(2018杭州質(zhì)檢)設數(shù)列an滿足a11，an1an2n(nN*).若Sn為數(shù)列的前n項和，則S2 018等于 A.22 0161 B.321 0093 C.22 0093 D.22 0103,,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,,3.已知數(shù)列2 008,2 009,1，2 008，2 009，，這個數(shù)列的特點是從第二項起，每一項都等于它的前后兩項之和，則這個數(shù)列的前2 019項之和 S2 019

13、等于 A.4 018 B.2 010 C.1 D.0,,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,,,解析由已知得anan1an1(n2)， an1anan1. 故數(shù)列的前8項依次為2 008，2 009，1，2 008，2 009，1， 2 008，2 009. 由此可知此數(shù)列為周期數(shù)列，周期為6，且S60. 2 01963363， S2 019S32 0082 00914 018.,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,4.在數(shù)列an中，若an1(1)nan2n1(nN*)，則數(shù)列an的前12項和等于 A.76

14、 B.78 C.80 D.82,,解析由已知an1(1)nan2n1，得an2(1)n1an12n1， 得an2an(1)n(2n1)(2n1)， 取n1,5,9及n2,6,10， 結(jié)果相加可得S12a1a2a3a4a11a1278.故選B.,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析由題意，得a1a2a3a100 1222223232424252992100210021012 (12)(32)(43)(99100)(101100) (1299100)(23100101)

15、 1011100.故選B.,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,,解析 設等差數(shù)列an的公差為d，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,7.有窮數(shù)列1,12,124，，1242n1所有項的和為__________.,2n12n,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析anan12(n1)(nN*)， 當n2時，an1an2n， an1an12， a2 018a2 0162，數(shù)列an的奇數(shù)

16、項和偶數(shù)項分別是公差為2的等差數(shù)列， 又a11，a23，,2,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,,,解得a13或a10. 由an0，得a13.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,所以(an1an)(an1an3)0. 因為an0，所以an1an0，an1an3. 即數(shù)列an是以3為首項，3為公差的等差數(shù)列， 所以an33(n1)3n.,,所以,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,10

17、.(2018湖州市適應性考試)已知等比數(shù)列an滿足2a1a33a2，且a32是a2，a4的等差中項. (1)求數(shù)列an的通項公式；,解設等比數(shù)列an的首項為a1，公比為q， 依題意，有2(a32)a2a4， 即2(a1q22)a1qa1q3， 由2a1a33a2，得2a1a1q23a1q，解得q1或q2. 當q1時，不合題意，故舍去； 當q2時，代入式得a12，所以an2n.,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,,所以Sn212222332nn (222232n)(123n),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15

18、,16,因為Sn2n1470， 解得n9或n<10， 由nN*，故使Sn2n147<0成立的正整數(shù)n的最小值為10.,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,t的最小正整數(shù)為2.,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,12.(2018浙江衢州二中模擬)設數(shù)列an的前n項和為Sn，且Sn2an2. (1)求數(shù)列an的通項公式；,解當n1時，S12a12，所以a12. 當n2時，anSnSn1(2an2)(2an12)2an2an1，,所

19、以數(shù)列an是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列， 所以數(shù)列an的通項公式為an22n12n.,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,技能提升練,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,13.已知公差不為零的等差數(shù)列an中，a11，且a2，a5，a14成等比數(shù)列，an的前n項和為Sn，bn(1)nSn，則an________，數(shù)列bn的前n項和Tn ______

20、_______.,2n1,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析設等差數(shù)列an的公差為d(d0)，,當n為偶數(shù)時，TnS1S2S3S4Sn1Sn,當n為大于1的奇數(shù)時，TnS1S2S3S4Sn1Sn 1223242(n2)2(n1)2n2,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,14.“斐波那契數(shù)列”是數(shù)學史上一個著名數(shù)列，在斐波那契數(shù)列an中，a11，a21，，an2an1an(nN*)，則a7___；若a2 021m，則數(shù)列an的前2 019項和是______ (用m表示).,13,m1,,1,2,3,4

21、,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析因為a11，a21，，an2an1an(nN*)， 所以a3a1a2112，a4a2a3123，a5a3a4235， a6a4a5358，a7a5a65813. 由已知有a3a1a2，a4a2a3，，a2 021a2 019a2 020， 各式相加可得a2 021a2a1a2a3a2 019， 即a1a2a3a2 019a2 021a2m1， 故數(shù)列an的前2 019項和為m1.,拓展沖刺練,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,A.1 B.2 C.3 D.4,,,1,2,3,4,5,

22、6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,又an1an(an1)20，則an1ana11， 當n2時，從而有(an1an)(anan1)(an1)2(an11)2(anan1) (anan12)0，,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,9,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,又an為正項數(shù)列， an1an10，即an1an1.,數(shù)列an是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列. ann，,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,令n1t2，1n100， n3,8,15,24,35,48,63,80,99共9個數(shù). T1，T2，T3，，T100中有理數(shù)的個數(shù)為9.,