中考數(shù)學(xué)常考易錯(cuò)點(diǎn)4-3《等腰三角形與直角三角形》

4.3 等腰三角形與直角三角形.易錯(cuò)清單1.運(yùn)用等腰 (等邊 )三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理解決有關(guān)計(jì)算與證明問(wèn)題 ,需注意分類討論思想的滲入.【例 1】 一直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為 3 和 4,則第三邊的長(zhǎng)為( ).【解析】 本題未明確這兩條邊是直角邊還是斜邊,因此兩條邊中的較長(zhǎng)邊 4 既可以是直角邊,也可以是斜邊,所以求第三邊的長(zhǎng)必須分類討論,即 4 是斜邊或直角邊的兩種情況,然后利 用勾股定理求解.【答案】 D2.兩類特殊三角形的組合運(yùn)用.【例 2】 (2014·山東威海)如圖,有一直角三角形紙片 ABC,邊 BC=6,AB=10,ACB=90°,將該直角三角形紙片沿 DE 折疊,使點(diǎn) A 與點(diǎn) C 重合,則四邊形 DBCE 的周長(zhǎng)為.【解析】 先由折疊的性質(zhì)得 AE=CE,AD=CD,DCE=A,進(jìn)而得出,B=BCD,求得=5,DE為 ABC 的中位線 , 得到 DE 的長(zhǎng) , 再在 ABC 中 , 由勾股定理得到 AC=8,即可得四邊形 DBCE 的周長(zhǎng).【答案】 沿 DE 折疊,使點(diǎn) A 與點(diǎn) C 重合, AE=CE,AD=CD,DCE=A. BCD=90°-DCE.又 B=90°-A, B=BCD. BD=CD=AD=AB=5. DE 為ABC 的中位線.第 - 2 - 頁(yè) 共 10 頁(yè)三好網(wǎng)中高級(jí)教師在線 1 對(duì) 1 輔導(dǎo)，專注 K12 中小學(xué)在線一對(duì)一輔導(dǎo)，高考輔導(dǎo)、中考輔導(dǎo)，老師質(zhì)量高，互動(dòng)體驗(yàn)強(qiáng)，服務(wù)保障好，提分效果快，在家就能上課，先上課，滿意在付費(fèi)！以上資料來(lái)源于網(wǎng)絡(luò)，如有異議，請(qǐng)?zhí)砑?QQ:905622058 ，將有關(guān)問(wèn)題進(jìn)行反饋！衷心感謝！ BC=6,AB=10,ACB=90°, 四邊形 DBCE 的周長(zhǎng)為 BD+DE+CE+BC=5+3+4+6=18.【誤區(qū)糾錯(cuò)】 本題主要考查了折疊問(wèn)題和勾股定理的綜合運(yùn)用.本題中得到 ED 是ABC 的 中位線關(guān)鍵.3.勾股定理在折疊問(wèn)題中的運(yùn)用.【例 3】 (2014·湖北孝感)如圖,已知矩形 ABCD,把矩形沿直線 AC 折疊,點(diǎn) B 落在點(diǎn) E 處, 連接 DE,BE,若ABE 是等邊三角形,則= .【解析】 過(guò) E 作 EMAB 于點(diǎn) M,交 DC 于點(diǎn) N,根據(jù)矩形的性質(zhì)得出 DC=AB,DCAB,ABC=90°,設(shè) AB=AE=BE=2a,則 BC=a,即 MN=a,求出 EN,根據(jù)三角形面積公式求出兩個(gè) 三角形的面積,即可得出答案.【答案】 過(guò) E 作 EMAB 于點(diǎn) M,交 DC 于點(diǎn) N, 四邊形 ABCD 是矩形, DC=AB,DCAB,ABC=90°. MN=BC. ENDC. 延 AC 折疊 B 和 E 重合 AEB 是等邊三角形, EAC=BAC=30°.【誤區(qū)糾錯(cuò)】 本題考查了勾股定理,折疊的性質(zhì),矩形的性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)的應(yīng)用,解此 題的關(guān)鍵是求出兩個(gè)三角形的面積.名師點(diǎn)撥1.2.3.4.掌握等腰三角形、直角三角形的概念并能做出判斷.會(huì)利用等腰(等邊)三角形的性質(zhì)和判定定理證明相關(guān)問(wèn)題.會(huì)利用直角三角形的性質(zhì)與判定解決有關(guān)直角三角形的相關(guān)問(wèn)題. 會(huì)利用 HL 及其他方法來(lái)證明直角三角形全等.提分策略1.等腰三角形的多解問(wèn)題.因?yàn)榈妊切蔚倪呌醒c底之分,角有底角和頂角之分,等腰三角形的高線要考慮高在形內(nèi)和形外兩種情況.故當(dāng)題中條件給出不明確時(shí),要分類討論進(jìn)行解題,才能避免漏解情況.【例 1】 若等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為 50°,則它的頂角為.【 解 析 】 (1) 若 這 個(gè) 內(nèi)角 恰 好 是 頂 角 , 則頂 角是 50°(2) 若 這 個(gè) 內(nèi) 角是底 角 , 則 頂 角 =180°-2×50°=80°.【答案】 50°或 80°【例 2】 等腰三角形的周長(zhǎng)為 16,其一邊長(zhǎng)為 6,則另兩邊為【解析】 當(dāng)腰是 6 時(shí),則另兩邊是 4,6,且 4+6>6,滿足三邊關(guān)系定理;.當(dāng)?shù)走吺?6 時(shí),另兩邊長(zhǎng)是 5,5,5+5>6,滿足三邊關(guān)系定理.故該等腰三角形的另兩邊為:6,4 或 5,5. 【答案】 6,4 或 5,52.等腰三角形的性質(zhì)與判定的運(yùn)用.(1) 通常用 利用線段的垂直平分線進(jìn)行等線段轉(zhuǎn)換 ,進(jìn)而進(jìn)行角度轉(zhuǎn)換 ;等邊對(duì)等角說(shuō)明兩個(gè)角相等.(2) 要證明一個(gè)三角形是等腰三角形 , 必須得到兩邊相等 , 而得到兩邊相等的方法主要有 通過(guò)等角對(duì)等邊得兩邊相等;通過(guò)三角形全等得兩邊相等;利用垂直平分線的性質(zhì)得兩邊相 等.(3)等邊三角形是特殊的等腰三角形,其中隱含著三邊相等和三個(gè)角都等于 60°的結(jié)論,所以要 充分利用這些隱含條件,證明全等或者構(gòu)造全等.【例 3】 如圖,在四邊形 ABCD 中,ADBC,E 是 AB 的中點(diǎn),連接 DE 并延長(zhǎng)交 CB 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) F,點(diǎn) G 在邊 BC 上,且GDF=ADF.(1)求證 ADE BFE;(2)連接 EG,判斷 EG 與 DF 的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由.【解析】 先通過(guò)平行條件得到兩對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等,結(jié)合線段中點(diǎn)得到的線段相等,可證明兩個(gè)三角形全等;由角相等的條件可證明DFG 是等腰三角形,再結(jié)合點(diǎn) E 是 DF 的中點(diǎn),根據(jù)等腰 三角形“三線合一”的性質(zhì)可證明結(jié)論.【答案】 (1) ADBC, ADE=BFE,DAE=FBE. E 是 AB 的中點(diǎn), AE=BE. ADE BFE.(2)EG 與 DF 的位置關(guān)系是 EGDF. GDF=ADF,ADE=BFE, GDF=BFE. GD=GF.由(1),得 DE=EF, EGDF.3.定義、命題、定理、反證法等知識(shí)的區(qū)別與聯(lián)系.只有對(duì)一件事情作出判定的語(yǔ)句才是命題 ,其中正確的命題是真命題 , 錯(cuò)誤的命題是假命題 .對(duì)于命題的真假(正誤)判斷問(wèn)題,一般只需根據(jù)熟記的定義、公式、性質(zhì)、判定定理等相關(guān)內(nèi) 容直接作出判斷即可,有的則需要經(jīng)過(guò)必要的推理與計(jì)算才能進(jìn)一步確定真與假.【例 4】 在下列命題中,其逆命題是真命題的是 同旁內(nèi)角互補(bǔ),兩直線平行;.(只填寫序號(hào))如果兩個(gè)角是直角,那么它們相等;如果兩個(gè)實(shí)數(shù)相等,那么它們的平方相等;如果三角形的三邊長(zhǎng) a,b,c滿足 a2+b2=c2,那么這個(gè)三角形是直角三角形.【解析】 的逆命題:兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ),正確;的逆命題:相等的兩個(gè)角是直角,錯(cuò)誤;的逆命題:如果兩個(gè)數(shù)的平方相等,那么這兩個(gè)數(shù)也相等,錯(cuò)誤,如:22=(-2)2,但 2-2;的逆命題:如果一個(gè)三角形是直角三角形,則它的三邊長(zhǎng) a,b,c 滿足 a2+b2=c2,但未說(shuō)明 C 為直 角的對(duì)邊,故錯(cuò)誤.【答案】 專項(xiàng)訓(xùn)練一、 選擇題1. (2014 · 江 蘇 鎮(zhèn) 江 外 國(guó) 語(yǔ) 學(xué) 校 模 擬 ) 在 ABC 中 , C=90°,AC,BC 的 長(zhǎng) 分 別 是 方 程x2-7x+12 =0 的兩根 ABC 內(nèi)一點(diǎn) P 到三邊的距離都相等,則 PC 為( ).(第 2 題)2. (2014·山東濟(jì)南二模)如圖,在 ABC 中,BAC=90°,D,E 分別是 AB,BC 的中點(diǎn),F在 CA的延長(zhǎng)線上,FDA=B,AC=6,AB=8,則四邊形 AEDF 的周長(zhǎng)為( ).A. 22C. 18二、 填空題B. 20D. 163.(2014·江蘇大豐模擬)已知等腰三角形一腰上的高等于腰的一半,則底角為度.4.(2013·內(nèi)蒙古赤峰一模)等腰三角形的腰長(zhǎng)為 2,腰上的高為 1,則它的底角等于.5. (2013·江蘇通州興仁中學(xué)一模)如圖,在 ABC 中,C=90°,BC=6cm,AC=8cm,按圖中所示方法將BCD 沿 BD 折疊,使點(diǎn) C 落在 AB 邊的點(diǎn) C',那么ADC'的面積是.(第 5 題)三、 解答題6. (2014·遼寧鞍山 5 校聯(lián)考 ) 如圖 , AOB 和 COD 均為等腰直角三角形 , AOB= COD=90°,D 在 AB 上.(1)求證 AOC BOD;(2)若 AD=1,BD=2,求 CD 的長(zhǎng).(第 6 題)7. (2014·安徽馬鞍山實(shí)驗(yàn)學(xué)校模擬)如圖,點(diǎn) D 為等腰直 ABC 內(nèi)一點(diǎn),CAD=CBD=15°. (1)求證:AD=BD;(2)E 為 AD 延長(zhǎng)線上的一點(diǎn),且 CE=CA,求證:AD+CD=DE;(3)當(dāng) BD=2 時(shí),AC 的長(zhǎng)為.(直接填出結(jié)果,不要求寫過(guò)程)(第 7 題)參考答案與解析3. 15 或 75 解析等腰三角形分鈍角和銳角三角形兩種情況討論. 4. 15°或 75° 解析分鈍角三角形和銳角三角形討論.5. 6cm2 解析根據(jù)勾股定理知 AB=10,得 AC'=4. 求得 C'D=3,AD=5.(注:設(shè) CD=x,則 C'D=x,AD=8-x)6. (1)如圖,再在直角三角形 AC'D 中運(yùn)用勾股定理(第 6 題)1=90°-3,2=90°-3, 1=2.又 OC=OD,OA=OB, AOC BOD.(2)由AOC BOD,有 AC=BD=2,CAO=DBO=45°, CAB=90°.7. (1) AC=BC,ACB=90°, CAB=ABC=45°. CAD=CBD=15°, BAD=ABD=30°. AD=BD.(2)在 DE 上截取 DM=DC,連接 CM.(第 7 題(1) AD=BD,AC=BC,DC=DC, ACD BCD. ACD=BCD=45°. CAD=15°, EDC=60°. DM=DC, CMD 是等邊三角形. CDA=CME=120°, CE=CA, E=CAD. CAD CEM, ME=AD. DA+DC=ME+MD=DE. AD+CD=DE.(3) 延長(zhǎng) CD 交 AB 于點(diǎn) H.則 CHAB. HBD=30°,BD=2,(第 7 題(2)