中考數(shù)學(xué)?？家族e(cuò)點(diǎn)4-3《等腰三角形與直角三角形》

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1、4.3 等腰三角形與直角三角形.易錯(cuò)清單1.運(yùn)用等腰 (等邊 )三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理解決有關(guān)計(jì)算與證明問題 ,需注意分類討論思想的滲入.【例 1】 一直角三角形的兩邊長分別為 3 和 4,則第三邊的長為( ).【解析】 本題未明確這兩條邊是直角邊還是斜邊,因此兩條邊中的較長邊 4 既可以是直角邊,也可以是斜邊,所以求第三邊的長必須分類討論,即 4 是斜邊或直角邊的兩種情況,然后利 用勾股定理求解.【答案】 D2.兩類特殊三角形的組合運(yùn)用.【例 2】 (2014山東威海)如圖,有一直角三角形紙片 ABC,邊 BC=6,AB=10,ACB=90,將該直角三角形紙片沿 DE 折疊,使點(diǎn) A

2、與點(diǎn) C 重合,則四邊形 DBCE 的周長為.【解析】 先由折疊的性質(zhì)得 AE=CE,AD=CD,DCE=A,進(jìn)而得出,B=BCD,求得=5,DE為 ABC 的中位線 , 得到 DE 的長 , 再在 ABC 中 , 由勾股定理得到 AC=8,即可得四邊形 DBCE 的周長.【答案】 沿 DE 折疊,使點(diǎn) A 與點(diǎn) C 重合, AE=CE,AD=CD,DCE=A. BCD=90-DCE.又 B=90-A, B=BCD. BD=CD=AD=AB=5. DE 為ABC 的中位線.第 - 2 - 頁 共 10 頁三好網(wǎng)中高級(jí)教師在線 1 對 1 輔導(dǎo)，專注 K12 中小學(xué)在線一對一輔導(dǎo)，高考輔導(dǎo)、中考

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4、 過 E 作 EMAB 于點(diǎn) M,交 DC 于點(diǎn) N,根據(jù)矩形的性質(zhì)得出 DC=AB,DCAB,ABC=90,設(shè) AB=AE=BE=2a,則 BC=a,即 MN=a,求出 EN,根據(jù)三角形面積公式求出兩個(gè) 三角形的面積,即可得出答案.【答案】 過 E 作 EMAB 于點(diǎn) M,交 DC 于點(diǎn) N, 四邊形 ABCD 是矩形, DC=AB,DCAB,ABC=90. MN=BC. ENDC. 延 AC 折疊 B 和 E 重合 AEB 是等邊三角形, EAC=BAC=30.【誤區(qū)糾錯(cuò)】 本題考查了勾股定理,折疊的性質(zhì),矩形的性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)的應(yīng)用,解此 題的關(guān)鍵是求出兩個(gè)三角形的面積.名師點(diǎn)撥1

5、.2.3.4.掌握等腰三角形、直角三角形的概念并能做出判斷.會(huì)利用等腰(等邊)三角形的性質(zhì)和判定定理證明相關(guān)問題.會(huì)利用直角三角形的性質(zhì)與判定解決有關(guān)直角三角形的相關(guān)問題. 會(huì)利用 HL 及其他方法來證明直角三角形全等.提分策略1.等腰三角形的多解問題.因?yàn)榈妊切蔚倪呌醒c底之分,角有底角和頂角之分,等腰三角形的高線要考慮高在形內(nèi)和形外兩種情況.故當(dāng)題中條件給出不明確時(shí),要分類討論進(jìn)行解題,才能避免漏解情況.【例 1】 若等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為 50,則它的頂角為.【 解 析 】 (1) 若 這 個(gè) 內(nèi)角 恰 好 是 頂 角 , 則頂 角是 50;(2) 若 這 個(gè) 內(nèi) 角是底 角 , 則

6、 頂 角 =180-250=80.【答案】 50或 80【例 2】 等腰三角形的周長為 16,其一邊長為 6,則另兩邊為【解析】 當(dāng)腰是 6 時(shí),則另兩邊是 4,6,且 4+66,滿足三邊關(guān)系定理;.當(dāng)?shù)走吺?6 時(shí),另兩邊長是 5,5,5+56,滿足三邊關(guān)系定理.故該等腰三角形的另兩邊為:6,4 或 5,5. 【答案】 6,4 或 5,52.等腰三角形的性質(zhì)與判定的運(yùn)用.(1) 通常用 利用線段的垂直平分線進(jìn)行等線段轉(zhuǎn)換 ,進(jìn)而進(jìn)行角度轉(zhuǎn)換 ;等邊對等角說明兩個(gè)角相等.(2) 要證明一個(gè)三角形是等腰三角形 , 必須得到兩邊相等 , 而得到兩邊相等的方法主要有 通過等角對等邊得兩邊相等;通過三

7、角形全等得兩邊相等;利用垂直平分線的性質(zhì)得兩邊相 等.(3)等邊三角形是特殊的等腰三角形,其中隱含著三邊相等和三個(gè)角都等于 60的結(jié)論,所以要 充分利用這些隱含條件,證明全等或者構(gòu)造全等.【例 3】 如圖,在四邊形 ABCD 中,ADBC,E 是 AB 的中點(diǎn),連接 DE 并延長交 CB 的延長線于點(diǎn) F,點(diǎn) G 在邊 BC 上,且GDF=ADF.(1)求證 ADE BFE;(2)連接 EG,判斷 EG 與 DF 的位置關(guān)系,并說明理由.【解析】 先通過平行條件得到兩對內(nèi)錯(cuò)角相等,結(jié)合線段中點(diǎn)得到的線段相等,可證明兩個(gè)三角形全等;由角相等的條件可證明DFG 是等腰三角形,再結(jié)合點(diǎn) E 是 DF

8、 的中點(diǎn),根據(jù)等腰 三角形“三線合一”的性質(zhì)可證明結(jié)論.【答案】 (1) ADBC, ADE=BFE,DAE=FBE. E 是 AB 的中點(diǎn), AE=BE. ADE BFE.(2)EG 與 DF 的位置關(guān)系是 EGDF. GDF=ADF,ADE=BFE, GDF=BFE. GD=GF.由(1),得 DE=EF, EGDF.3.定義、命題、定理、反證法等知識(shí)的區(qū)別與聯(lián)系.只有對一件事情作出判定的語句才是命題 ,其中正確的命題是真命題 , 錯(cuò)誤的命題是假命題 .對于命題的真假(正誤)判斷問題,一般只需根據(jù)熟記的定義、公式、性質(zhì)、判定定理等相關(guān)內(nèi) 容直接作出判斷即可,有的則需要經(jīng)過必要的推理與計(jì)算才

9、能進(jìn)一步確定真與假.【例 4】 在下列命題中,其逆命題是真命題的是 同旁內(nèi)角互補(bǔ),兩直線平行;.(只填寫序號(hào))如果兩個(gè)角是直角,那么它們相等;如果兩個(gè)實(shí)數(shù)相等,那么它們的平方相等;如果三角形的三邊長 a,b,c滿足 a2+b2=c2,那么這個(gè)三角形是直角三角形.【解析】 的逆命題:兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ),正確;的逆命題:相等的兩個(gè)角是直角,錯(cuò)誤;的逆命題:如果兩個(gè)數(shù)的平方相等,那么這兩個(gè)數(shù)也相等,錯(cuò)誤,如:22=(-2)2,但 2-2;的逆命題:如果一個(gè)三角形是直角三角形,則它的三邊長 a,b,c 滿足 a2+b2=c2,但未說明 C 為直 角的對邊,故錯(cuò)誤.【答案】 專項(xiàng)訓(xùn)練一、 選擇題1

10、. (2014 江 蘇 鎮(zhèn) 江 外 國 語 學(xué) 校 模 擬 ) 在 ABC 中 , C=90,AC,BC 的 長 分 別 是 方 程x2-7x+12 =0 的兩根 ABC 內(nèi)一點(diǎn) P 到三邊的距離都相等,則 PC 為( ).(第 2 題)2. (2014山東濟(jì)南二模)如圖,在 ABC 中,BAC=90,D,E 分別是 AB,BC 的中點(diǎn),F在 CA的延長線上,FDA=B,AC=6,AB=8,則四邊形 AEDF 的周長為( ).A. 22C. 18二、 填空題B. 20D. 163.(2014江蘇大豐模擬)已知等腰三角形一腰上的高等于腰的一半,則底角為度.4.(2013內(nèi)蒙古赤峰一模)等腰三角形

11、的腰長為 2,腰上的高為 1,則它的底角等于.5. (2013江蘇通州興仁中學(xué)一模)如圖,在 ABC 中,C=90,BC=6cm,AC=8cm,按圖中所示方法將BCD 沿 BD 折疊,使點(diǎn) C 落在 AB 邊的點(diǎn) C,那么ADC的面積是.(第 5 題)三、 解答題6. (2014遼寧鞍山 5 校聯(lián)考 ) 如圖 , AOB 和 COD 均為等腰直角三角形 , AOB= COD=90,D 在 AB 上.(1)求證 AOC BOD;(2)若 AD=1,BD=2,求 CD 的長.(第 6 題)7. (2014安徽馬鞍山實(shí)驗(yàn)學(xué)校模擬)如圖,點(diǎn) D 為等腰直 ABC 內(nèi)一點(diǎn),CAD=CBD=15. (1)

12、求證:AD=BD;(2)E 為 AD 延長線上的一點(diǎn),且 CE=CA,求證:AD+CD=DE;(3)當(dāng) BD=2 時(shí),AC 的長為.(直接填出結(jié)果,不要求寫過程)(第 7 題)參考答案與解析3. 15 或 75 解析等腰三角形分鈍角和銳角三角形兩種情況討論. 4. 15或 75 解析分鈍角三角形和銳角三角形討論.5. 6cm2 解析根據(jù)勾股定理知 AB=10,得 AC=4. 求得 CD=3,AD=5.(注:設(shè) CD=x,則 CD=x,AD=8-x)6. (1)如圖,再在直角三角形 ACD 中運(yùn)用勾股定理(第 6 題)1=90-3,2=90-3, 1=2.又 OC=OD,OA=OB, AOC B

13、OD.(2)由AOC BOD,有 AC=BD=2,CAO=DBO=45, CAB=90.7. (1) AC=BC,ACB=90, CAB=ABC=45. CAD=CBD=15, BAD=ABD=30. AD=BD.(2)在 DE 上截取 DM=DC,連接 CM.(第 7 題(1) AD=BD,AC=BC,DC=DC, ACD BCD. ACD=BCD=45. CAD=15, EDC=60. DM=DC, CMD 是等邊三角形. CDA=CME=120, CE=CA, E=CAD. CAD CEM, ME=AD. DA+DC=ME+MD=DE. AD+CD=DE.(3) 延長 CD 交 AB 于點(diǎn) H.則 CHAB. HBD=30,BD=2,(第 7 題(2)