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1、第八節(jié) 一般周期函數(shù)的傅里葉級數(shù),一、以 2l 為周期的函數(shù)的傅里葉級數(shù),二、正弦級數(shù)與余弦級數(shù),回顧：函數(shù)展開成傅里葉級數(shù),定理 2 . 設 f (x) 是周期為 2 的周期函數(shù) , 且,右端級數(shù)可逐項積分, 則有,,,,定理3 (收斂定理, 展開定理),設 f (x) 是周期為2 的,周期函數(shù),,并滿足狄利克雷( Dirichlet )條件:,1) 在一個周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個第一類間斷點;,2) 在一個周期內(nèi)只有有限個極值點,,則 f (x) 的傅里葉級數(shù)收斂 , 且有,x 為間斷點,其中,為 f (x) 的傅里葉系數(shù) .,x 為連續(xù)點,一、以2l 為周期的傅氏級數(shù),定理 設周期為 2l
2、 的周期函數(shù) f (x) 滿足Dirichlet 充分條件，則 f (x) 的傅里葉級數(shù),在每點處收斂.,且當 x 是 f (x) 的連續(xù)點時 , 級數(shù)收斂于 f (x) .,當 x 是 f (x) 的間斷點時, 級數(shù)收斂于,其中,證明,則有,,則有,,解,二、正弦級數(shù)與余弦級數(shù)1、周期奇函數(shù)和偶函數(shù)的傅里葉級數(shù),定理,一般說來,一個函數(shù)的傅里葉級數(shù)既含有正弦項,又含有余弦項.但是,也有一些函數(shù)的傅里葉級數(shù)只含有正弦項或者只含有常數(shù)項和余弦項.,定義,解,所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件.,,解,所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件.,,2、非周期函數(shù)展開成正弦或余弦級數(shù),非周期函數(shù)的周期性延拓,則有如下
3、兩種情況,1) 奇延拓:,,,2) 偶延拓:,,定義在0,上的函數(shù)展成正弦級數(shù)與余弦級數(shù),,周期延拓 F (x),,f (x) 在 0, 上展成,,周期延拓 F (x),,余弦級數(shù),奇延拓,偶延拓,正弦級數(shù),f (x) 在 0, 上展成,,,,,解,(1)求正弦級數(shù).,,,將 f (x) 作奇周期延拓, 則有,,(2)求余弦級數(shù).,,將 f (x) 作偶周期延拓, 則有,,解: (1) 將 f (x) 作奇周期延拓,,,(2) 將 f (x) 作偶周期延拓,,,,當函數(shù)定義在任意有限區(qū)間上時,,方法1,,令,即,在,上展成傅里葉級數(shù),周期延拓,,,將,在,代入展開式,上的傅里葉級數(shù),其展開方法
4、為:,,方法2,,令,在,上展成正弦或余弦級數(shù),奇或偶式周期延拓,,,將 代入展開式,在,即,上的正弦或余弦級數(shù),,例3. 將函數(shù),展成傅里葉級數(shù).,解: 令,設,將F(z) 延拓成周期為 10 的周期函數(shù),,理條件.,由于F(z) 是奇函數(shù), 故,則它滿足收斂定,,,處收斂于,練習1.,,則它的傅里葉級數(shù)在,在,處收斂于 .,提示:,設周期函數(shù)在一個周期內(nèi)的表達式為,,練習. 寫出函數(shù),,傅氏級數(shù)的和函數(shù) .,,答案:,三、小結,1. 驗證是否滿足狄氏條件(收斂域,奇偶性);,2.求出傅氏系數(shù);,3.寫出傅氏級數(shù),并注明它在何處收斂于,以 2l 為周期的傅里葉系數(shù)；奇函數(shù)和偶函數(shù)的傅里葉系數(shù)；正弦級數(shù)與余弦級數(shù)；非周期函數(shù)的周期性延拓 .,求傅里葉級數(shù)展開式的步驟：,將函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)時為什么最好先畫出 其圖形?,答: 易看出奇偶性及間斷點,,從而便于計算系數(shù)和寫出收斂域 .,思考,需澄清的幾個問題.(誤認為以下三情況正確),1) 只有周期函數(shù)才能展成傅氏級數(shù);,練 習 題,練習題答案,
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