天津市2013屆高三數(shù)學總復習 模塊專題20 不等式性質(zhì)（學生版）

不等式性質(zhì)例1：比較與的大小，其中。解：，。 說明：由例1可以看出實數(shù)比較大小的依據(jù)是：；。例2：比較與的大小，其中。解：當時，；當時，說明：兩個實數(shù)比較大小，通常用作差法來進行，其一般步驟是：第一步：作差；第二步：變形，常采用配方，因式分解等恒等變形手段；第三步：定號，是能確定是大于0，還是等于0，還是小于0。最后得結(jié)論。概括為“三步，結(jié)論”，這里的“變形”一步最為關(guān)鍵。例3：，比較與的大小。分析：直接作差需要將與（）展開，過程復雜，式子冗長，可否考慮根據(jù)兩個式子特點，予以變形，再作差。解：=（），。則有時，（）恒成立。說明：有的確問題直接作差不容易判斷其符號，這時可根據(jù)兩式的特點考慮先變形，到比較易于判斷符號時，再作差，予以比較，如此例就是先變形后，再作差。例4：設，比較與的大小。解：作差，當時，即，；當，即時，；當?shù)?，即或時，。說明：如本題作差，變形，變形到最簡形式時，由于式中含有字母，不能定號，必須對字母根據(jù)式子具體特點分類討論才能定號。此時要注意分類合理恰當。例5：比較與的大小分析：兩個數(shù)是冪的形式，比較大小一般采用作商法。解：說明：求商法比大小的變形要圍繞與1比大小進行。例6：設，且，比較：與的大小。分析：比較大小一般方法是求差法或求商法，利用不等式的性質(zhì)進行變形，然后確定大小。解：當時，當時，即，又，說明：求商法的基本步驟是：求商，變形，與1比大小從而確定兩個數(shù)的大小.例7：實數(shù)滿足條件：；，則有（ ）A、 B、 C、 D、分析：先由條件分析出與的關(guān)系，根據(jù)條件利用用數(shù)軸數(shù)形結(jié)合比出大小。解：，與同側(cè)，與異側(cè)把標在數(shù)軸上，只有下面一種情況由此得出，此題選D。說明：比較大小時可以借助于數(shù)軸，利用推出的一些結(jié)論在數(shù)軸上標出它們的相對位置，這樣容易看出幾個數(shù)之間的大小關(guān)系，尤其是比較的個數(shù)較多時適用。例8：已知；，求：的取值范圍。分析：此題是給代數(shù)式的字母的范圍，求另外代數(shù)式的范圍。分為兩步來進行：先利用待定系數(shù)法將代數(shù)式用和表示；再利用不等式性質(zhì)及題目條件確定的范圍。解：設：由2得：，：。說明：此題的一種典型錯誤做法，如下：，即：，：，此解法的錯誤原因是因為與是兩個相互聯(lián)系，相互制約的量，而不是各自獨立的，當取到最大值或最小值時，不一定能取到最值，所以用以上方法可能擴大變量的范圍。避免出錯的方法是通過待定系數(shù)法“整體代入”，見解題過程。例9：判斷下列各命題的真假，并說明理由。（1）若，則（2）若，則（3）若，則（4）若，則（5）若，則（6）若，則分析：利用不等式的性質(zhì)來判斷命題的真假。解：（1），是真命題。（2）可用賦值法：，有，是假命題。也可這樣說明：，只能確定，但的符號無法確定，從而的符號確定不了，所以無法得到，實際上有：（3）與（2）類似，由，從而是假命題。（4）取特殊值：有，是假命題。定理3的推論是同向不等式可相加，但同向不等式相減不一定成立。只有異向不等式可相減，即（5），是真命題。（6）定理4成立的條件為必須是正數(shù)。舉反例：，則有說明：在利用不等式的性質(zhì)解題時，一定要注意性質(zhì)定理成立的條件。要說明一個命題是假命題可通過舉反例。例10：求證： 分析：把已知的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為差數(shù)的正負，再利用不等式的性質(zhì)完成推理。證明：利用不等式的性質(zhì)，得例11：若，則下面不等式中成立的一個是（ ）A、 B、 C、 D、解：由不等式性質(zhì)知：成立的條件都不充分，所以選，其實正是異向不等式相減的結(jié)果。說明：本的解法都是不等式性質(zhì)的基本應用，對于不等式的基本性質(zhì)要逐條掌握準確，以便靈活應用。例12：若，則下面各式中恒成立的是（ ）A、 B、 C、 D、 分析：本題考查是否能正確使用不等式的性質(zhì)來進行變形，應看到，已知條件中含有兩個內(nèi)容，即，和，根據(jù)不等式的性質(zhì)，可得，繼而得到且，故，因此選A。例13：若，則一定成立的不等式是（ ）A、 B、 C、 D、分析：A錯，當時有；同樣B錯；D沒有考慮各數(shù)取零和正負號的關(guān)系，所以也不對，故選C，因為不等式兩邊同時加上一個任意數(shù)（此題是），原不等式成立。說明：這類題可以采用特例法：令即得C成立。例14：已知：，求證：。分析：要證明的式子中，左右均為二項差，其中都有一項是兩字母積的形式，因此在證明時，對兩項積要注意性質(zhì)的使用，對兩項差的證明要注意使用同向加性或異向減性來處理。證明：又由同向加得：。說明：此題還可采用異向減性來處理：做這類題過程并不復雜，關(guān)鍵是記準性質(zhì)，并能正確地應用。例15：已知函數(shù)滿足：，則應滿足（ ）A、 B、 C、 D、分析：如果能用與將“線性”表示出：，就可利用不等式的基本性質(zhì)，由、的取值范圍，推出滿足的條件。解：故由不等式的基本性質(zhì)，得故選C。說明： （1）也可設，由代定系數(shù)法求得，。 （2）下面的錯誤是值得引以為戒的又故選A。 上述推理錯誤產(chǎn)生的原因是由于將條件化為，使、的取值范圍擴大所致。 事實上，作為點集與之間的關(guān)系是，如圖所示，點集是圖中亂世形所圍成的區(qū)域，點集是由平行四邊形所圍成的區(qū)域，這樣就直觀地表現(xiàn)了，揭示了上述解法的錯誤。