安徽省宿州市教研室2021屆高三數(shù)學二輪、三輪總復習 特色專題 函數(shù)與導數(shù)

函數(shù)與導數(shù)第一單元：考點梳理、熱點探究：一、考點梳理：1. 函數(shù)及其表示：（1）函數(shù)的三要素：定義域、值域、對應(yīng)關(guān)系。兩個函數(shù)當且僅當它們的三要素完全相同時才表示同一個函數(shù)，定義域和對應(yīng)關(guān)系相同的兩個函數(shù)是同一個函數(shù).（2）函數(shù)的表示：列表法、圖像法、解析式法.2. 函數(shù)的性質(zhì)：（1）單調(diào)性是函數(shù)的一個局部性質(zhì)，一個函數(shù)在不同的區(qū)間上可以有不同的單調(diào)性.判定函數(shù)的單調(diào)性常用定義法、圖像法及導數(shù)法.（2）函數(shù)的奇偶性反映了函數(shù)圖像的對稱性，是函數(shù)的整體特性.利用函數(shù)的奇偶性可以把研究整個函數(shù)具有的性質(zhì)問題轉(zhuǎn)化到只研究部分（一半）區(qū)間上，是簡化問題的一種途徑.（3）函數(shù)的周期性反映了函數(shù)圖像的重復性，在周期性與奇偶性相結(jié)合的綜合問題中，周期性起到轉(zhuǎn)換自變量的作用，奇偶性起到調(diào)節(jié)符號作用.3. 基本初等函數(shù)：（1）冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)由于的值不同而比較復雜，一般從兩個方面考查：的正負：時，圖像過原點和（1,1），在第一象限的圖像上升；時，圖像不過原點，在第一象限的圖像下降. 曲線在第一象限的凹凸性：時，曲線下凸；時，曲線上凸；時，曲線下凸.（2）指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)，分兩種情況，當時，兩函數(shù)在定義域內(nèi)都為增函數(shù)，當時，兩函數(shù)在定義域內(nèi)都為減函數(shù).4. 函數(shù)的零點：確定函數(shù)零點的常用方法：（1）解方程判定法，方程易解時用此法；（2）利用零點存在的判定定理；（3）利用數(shù)形結(jié)合，尤其是那些方程兩端對應(yīng)的函數(shù)類型不同時多以數(shù)形結(jié)合法求解.5. 導數(shù)的概念及其應(yīng)用：（1）導數(shù)的幾何意義： 函數(shù)在處的導數(shù)就是曲線在點處的切線的斜率，即. 曲線在點處的切線方程為.（2）利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性：在區(qū)間內(nèi)，如果，那么函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；如果，那么函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.（3）利用導數(shù)研究函數(shù)的極值（最值）問題 若在附近左側(cè)，右側(cè)，則為函數(shù)的極大值；若在附近左側(cè)，右側(cè)，則為函數(shù)的極小值. 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導，則在上必有最大值和最小值且在極值點或端點處取得.二、考點、熱點探究1. 考情報告：題 型2011年2012年2013年小 題理 科：第3題：函數(shù)的奇偶性與求值.第10題：函數(shù)的圖像.文科：第4題：函數(shù)的解析式.第10題：函數(shù)的圖像.理科：第2題：函數(shù)解析式.文科：第3題：對數(shù)計算.第13題：函數(shù)的單調(diào)性理科：第4題：函數(shù)單調(diào)性.第8題：函數(shù)的圖像.第10題：函數(shù)方程的實根個數(shù).文科：第8題：函數(shù)圖像.第10題：函數(shù)方程的實根個數(shù).大 題理科：第16題：導數(shù)（指數(shù)、分式函數(shù)型，求極值點，參數(shù)的取值范圍）文科：第17題：導數(shù)（指數(shù)、分式函數(shù)型，求極值點，參數(shù)的取值范圍）理科：第19題：導數(shù)（指數(shù)、分式函數(shù)型，求最值和參數(shù)）文科：第17題：導數(shù)（分式函數(shù)型，求最值，根據(jù)切線方程求參數(shù)）理科第17題，文科第20題含參變量的二次函數(shù)，解不等式求解集區(qū)間長度，利用導數(shù)求最值.2. 考向預(yù)測：縱觀近三年高考安徽卷，函數(shù)與導數(shù)知識的考查主要是函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性和周期性；函數(shù)圖像的應(yīng)用；結(jié)合導數(shù)和不等式知識求切線方程、求函數(shù)解析式、確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間、求參數(shù)范圍、求函數(shù)的極值和最值。其題型既有選擇題、填空題，也有解答題。預(yù)測2014年關(guān)于函數(shù)與導數(shù)的命題趨勢，仍然是難易結(jié)合，有24個小題，1個大題，小題以概念、圖像性質(zhì)及運算為主，重點考查函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性；函數(shù)圖象的應(yīng)用；導數(shù)的幾何意義等知識。大題的函數(shù)背景是以為底的對數(shù)函數(shù)或指數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)或二次函數(shù)代數(shù)運算的形式的綜合題型，考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)零點，逆求參數(shù)取值范圍或證明不等式。涉及的主要思想方法是函數(shù)方程思想，數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想。第二單元：沙場點兵、實戰(zhàn)演練1. 已知函數(shù)， 其中為常數(shù)（1）當函數(shù)的圖像在點處的切線的斜率為1時，求函數(shù)在上的最小值；（2）若函數(shù)在區(qū)間上既有極大值又有極小值，求的取值范圍2. 定義在上的函數(shù)同時滿足以下條件：在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；是偶函數(shù)；在處的切線與直線垂直. （1）求函數(shù)的解析式；（2）設(shè)，若存在，使，求實數(shù)的取值范圍.3. 已知函數(shù)為常數(shù),)是上的奇函數(shù).（1）求的值;（2）討論關(guān)于的方程的根的個數(shù).4. 設(shè)函數(shù)，其中. （1）當時，求的極值點；（2）證明在上為單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍.5. 某企業(yè)為打入國際市場，決定從A，B兩種產(chǎn)品中只選擇一種進行投資生產(chǎn)已知投資生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)如表：(單位：萬美元)項目類別年固定成本每件產(chǎn)品成本每件產(chǎn)品銷售價每年最多可生產(chǎn)的件數(shù)A產(chǎn)品2010200B產(chǎn)品40818120其中年固定成本與年生產(chǎn)的件數(shù)無關(guān)，為待定常數(shù)，其值由生產(chǎn)A產(chǎn)品的原材料價格決定，預(yù)計另外，年銷售件B產(chǎn)品時需上交萬美元的特別關(guān)稅假設(shè)生產(chǎn)出來的產(chǎn)品都能在當年銷售出去(1)寫出該廠分別投資生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品的年利潤與生產(chǎn)相應(yīng)產(chǎn)品的件數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系并指明其定義域；(2)如何投資最合理(可獲得最大年利潤)？請你做出規(guī)劃6. 設(shè)函數(shù)（1）設(shè)為偶數(shù)， ，求的最大值和最小值；（2）設(shè)， ，證明：在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點.7（2012年北京高考）已知函數(shù)，.(1) 若曲線與曲線在它們的交點處具有公共切線，求的值；（2） 當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并求其在區(qū)間上的最大值8 （2013年安徽高考）設(shè)函數(shù)，其中，區(qū)間（1）求I的長度(注：區(qū)間的長度定義為)；（2）給定常數(shù)，當時，求I長度的最小值9. 已知函數(shù)在處取得極值（1）求函數(shù)的解析式；（2）若過點可作曲線的三條切線，求實數(shù)的取值范圍 10. 已知函數(shù)和其中且（1）若函數(shù)與的圖像的一個公共點恰好在軸上，求的值；（2）若和是方程的兩根，且滿足，證明：當時，11. 設(shè)函數(shù)，. （1）求證：函數(shù)在上單調(diào)遞增； （2）設(shè)，若直線軸，求兩點間的最短距離.12. 已知函數(shù)（1） 當時，求證：；（2） 在區(qū)間上恒成立，求實數(shù)的范圍13. 已知，.（1）求函數(shù)的最小值；（2）對一切，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（3）證明：對一切，都有成立.14（2013年福建高考）已知函數(shù)（，為自然對數(shù)的底數(shù)）（1）若曲線在點處的切線平行于軸，求的值；（2）求函數(shù)的極值；（3）當時，若直線：與曲線沒有公共點，求的最大值參 考 答 案1. 解：(1)，由題意可知，解得.故， ，由 ，得.于是可得下表：230遞減遞增.(2) （），由題意可得方程有兩個不等的正實根，不妨設(shè)這兩個根為，并令，則， 解得.故的取值范圍為.2. 解：（1）， 在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)， () 由是偶函數(shù)得：， 又在處的切線與直線垂直， 代入()得：，即. （2）由已知得：若存在，使，即存在，使.設(shè)，則， 令， ， ， 當時，在上為減函數(shù)，當時，在上為增函數(shù)，在上有最大值. 又， 最小值為. 于是有為所求.3. 解:(1)由是的奇函數(shù),則，從而可求得.(2) 由,令,則,當時, 在上為增函數(shù);當時, 在上為減函數(shù);當時, 而,結(jié)合函數(shù)圖象可知:當,即時,方程無解;當,即時,方程有一個根;當,即時,方程有兩個根.4. 解：對求導得 （1）若，由 綜合,可知+00+極大值極小值所以,是極大值點,是極小值點. （2）若為上的單調(diào)函數(shù)，又，所以當時，即在上恒成立。 （1）當時，在上恒成立； （2）當時，拋物線開口向上，則在上為單調(diào)函數(shù)的充要條件是，即，所以。 綜合（1）（2）知的取值范圍是。5. 解：(1) 由年銷售量為件，按利潤的計算公式，有生產(chǎn)A，B兩產(chǎn)品的年利潤分別為（），（）(2) 因為，所以，函數(shù)在上是增函數(shù)，所以當時，生產(chǎn)A產(chǎn)品有最大利潤，且 (萬美元)又（），所以當時，生產(chǎn)B產(chǎn)品有最大利潤，且 (萬美元)因為 所以當時，可投資生產(chǎn)A產(chǎn)品200件；當時，生產(chǎn)A產(chǎn)品或生產(chǎn)B產(chǎn)品均可(投資生產(chǎn)A產(chǎn)品200件或生產(chǎn)B產(chǎn)品100件)；當時，可投資生產(chǎn)B產(chǎn)品100件6.解：(1)由題意知，即，即，×2得 ，當時，；當時，所以的最小值為6，最大值為0. (2) ，時，. ， 在內(nèi)存在零點又當時， 在上是單調(diào)遞增的，在內(nèi)存在唯一零點7. 解：(1)，.因為曲線與曲線在它們的交點處具有公共切線，所以，且即，且，解得.(2) 記當時，.令，得，.當時，與的情況如下：00遞增極大值遞減極小值遞增所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和；單調(diào)遞減區(qū)間為.當，即時，函數(shù)在區(qū)間 上單調(diào)遞增，在區(qū)間上的最大值為2.當，且，即時，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上的最大值為.當，即時，函數(shù)在區(qū)間和上單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，又因，所以在區(qū)間上的最大值為.8. 解：(1)因為方程有兩個實根，故的解集為因此區(qū)間，故的長度為.(2)設(shè)，則令，得.由于，故當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減所以當時，的最小值必定在或處取得而，故因此當時，在區(qū)間上取得最小值.9. 解：(1)，依題意，即，解得. .(2) 由(1)知， 曲線方程為， 點不在曲線上設(shè)切點為，則點的坐標滿足.，切線的斜率為，整理得. 過點可作曲線的三條切線， 關(guān)于的方程有三個實根設(shè)，則，由，得.在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減 函數(shù)的極值點為.關(guān)于的方程有三個實根的充要條件是，解得.故所求實數(shù)的取值范圍是(3，2)10. 解：（1）設(shè)函數(shù)圖像與軸的交點坐標為，又點也在函數(shù)的圖像上， . 而， .（2）由題意知， ， 時，即. 又，且， ，綜合可知，.11. 解：（1）時，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增； （2）因為，所以 所以兩點間的距離等于， 設(shè)，則， 記，則，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以所以，即兩點間的最短距離等于3.12. 解：(1)證明：設(shè)，則.令，則，易知在處取到最小值，故，即.(2) 由得，即.令（），則.令（）， 則，故在上單調(diào)遞增，所以.因為，所以，即在上單調(diào)遞增，則，即，所以的取值范圍為13. 解：(1)，當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增所以的最小值為.(2) ，則.設(shè)，則， 當時，單調(diào)遞減； 當時，單調(diào)遞增，所以.因為對一切，恒成立，所以，即a的取值范圍為.(3) 證明：問題等價于證明（）.由(1)可知（）的最小值是，當且僅當時取到設(shè)（），則，易知，從而對一切，都有成立14. 解：（1） ， 曲線在點處的切線平行于軸， . （2） 當時，為上的增函數(shù)，所以函數(shù)無極值 當時，令，得.當時，；當時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故在處取得極小值，且極小值為，無極大值綜上，當時，函數(shù)無極值；當時，函數(shù)在處取得極小值，無極大值（3）當時，.直線：與曲線沒有公共點，等價于關(guān)于的方程在上沒有實數(shù)解，即關(guān)于的方程： (*)在上沒有實數(shù)解 當時，方程(*)可化為，在上沒有實數(shù)解 當時，方程(*)化為.令，則有.令，得，極值表如下10遞減遞增當時，從而的取值范圍為.所以當時，方程(*)無實數(shù)解，解得的取值范圍是綜合，得的最大值為1.16