全國各地2015年中考數(shù)學試卷解析分類匯編（第1期）專題31 點直線與圓的位置關(guān)系

點直線與圓的位置關(guān)系選擇題1(2015江蘇南京,第6題3分)如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，AD，AB，BC分別與O相切于E，F(xiàn)，G三點，過點D作O的切線BC于點M，切點為N，則DM的長為（ ）ABCD【答案】A【解析】試題分析：連接OE，OF，ON，OG，在矩形ABCD中，A=B=90°，CD=AB=4，AD，AB，BC分別與O相切于E，F(xiàn)，G三點，AEO=AFO=OFB=BGO=90°，四邊形AFOE，F(xiàn)BGO是正方形，AF=BF=AE=BG=2，DE=3，DM是O的切線，DN=DE=3，MN=MG，CM=52MN=3MN，在RtDMC中，NM=，DM=，故選A考點：1切線的性質(zhì)；2矩形的性質(zhì)2.（2015湖南岳陽第8題3分）如圖，在ABC中，AB=CB，以AB為直徑的O交AC于點D過點C作CFAB，在CF上取一點E，使DE=CD，連接AE對于下列結(jié)論：AD=DC；CBACDE；=；AE為O的切線，一定正確的結(jié)論全部包含其中的選項是（）ABCD考點：切線的判定；相似三角形的判定與性質(zhì).分析：根據(jù)圓周角定理得ADB=90°，則BDAC，于是根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可判斷AD=DC，則可對進行判斷；利用等腰三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可證明1=2=3=4，則根據(jù)相似三角形的判定方法得到CBACDE，于是可對進行判斷；由于不能確定1等于45°，則不能確定與相等，則可對進行判斷；利用DA=DC=DE可判斷AEC=90°，即CEAE，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到ABAE，然后根據(jù)切線的判定定理得AE為O的切線，于是可對進行判斷解答：解：AB為直徑，ADB=90°，BDAC，而AB=CB，AD=DC，所以正確；AB=CB，1=2，而CD=ED，3=4，CFAB，1=3，1=2=3=4，CBACDE，所以正確；ABC不能確定為直角三角形，1不能確定等于45°，與不能確定相等，所以錯誤；DA=DC=DE，點E在以AC為直徑的圓上，AEC=90°，CEAE，而CFAB，ABAE，AE為O的切線，所以正確故選D點評：本題考查了切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線也考查了等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)和相似三角形的判定經(jīng)過圓心若B=20°，則C的大小等于（ ）A20°B25°C40°D50° 考點：切線的性質(zhì)分析：連接OA，根據(jù)切線的性質(zhì)，即可求得C的度數(shù)解答：解：如圖，連接OA，AC是O的切線，OAC=90°，OA=OB，B=OAB=20°，AOC=40°，C=50°故選：D點評：本題考查了圓的切線性質(zhì)，以及等腰三角形的性質(zhì)，掌握已知切線時常用的輔助線是連接圓心與切點是解題的關(guān)鍵3（2015廣東廣州,第3題3分）已知O的半徑為5，直線l是O的切線，則點O到直線l的距離是（ ）A2.5B3C5D10 考點：切線的性質(zhì)分析：根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系可直接得到點O到直線l的距離是5解答：解：直線l與半徑為r的O相切，點O到直線l的距離等于圓的半徑，即點O到直線l的距離為5故選C點評：本題考查了切線的性質(zhì)以及直線與圓的位置關(guān)系：設O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，直線l和O相交dr；直線l和O相切d=r；當直線l和O相離dr4. （2015浙江衢州,第10題3分）如圖，已知等腰，以為直徑的圓交于點，過點的的切線交于點，若，則的半徑是【 】A. B. C. D. 【答案】D【考點】等腰三角形的性質(zhì)；切線的性質(zhì)；平行的判定和性質(zhì)；矩形的判定和性質(zhì)；勾股定理；方程思想的應用【分析】如答圖，連接，過點作于點，.，.是的切線，.，且四邊形是矩形.，由勾股定理，得.設的半徑是，則.由勾股定理，得，即，解得.的半徑是.故選D 5. （2015浙江湖州，第8題3分）如圖，以點O為圓心的兩個圓中，大圓的弦AB切小圓于點C，OA交小圓于點D，若OD=2， tanOAB=，則AB的長是( )A. 4B. 2C. 8D. 4【答案】C. 考點：切線的性質(zhì)定理；銳角三角函數(shù)；垂徑定理6. （2015浙江湖州，第9題3分）如圖，AC是矩形ABCD的對角線，O是ABC的內(nèi)切圓，現(xiàn)將矩形ABCD按如圖所示的方式折疊，使點D與點O重合，折痕為FG，點F，G分別在AD，BC上，連結(jié)OG，DG，若OGDG，且O的半徑長為1，則下列結(jié)論不成立的是( )A. CD+DF=4B. CDDF=23C. BC+AB=2+4D. BCAB=2【答案】A.【解析】試題分析：如圖，設O與BC的切點為M,連接MO并延長MO交AD于點N,利用“AAS”易證OMGGCD,所以OM=GC=1, CD=GM=BCBMGC=BC2.又因AB=CD,所以可得BCAB=2.設AB=a，BC=b,AC=c, O的半徑為r，O是RtABC的內(nèi)切圓可得r=（a+bc），所以c=a+b2. 在RtABC中，由勾股定理可得，整理得2ab4a4b+4=0，又因BCAB=2即b=2+a，代入可得2a（2+a）4a4（2+a）+4=0，解得，所以，即可得BC+AB=2+4. 再設DF=x，在RtONF中,FN=，OF=x，ON=,由勾股定理可得，解得，所以CDDF=，CD+DF=.綜上只有選項A錯誤，故答案選A.考點：矩形的性質(zhì)；直角三角形內(nèi)切圓的半徑與三邊的關(guān)系；折疊的性質(zhì)；勾股定理；7. （2015浙江嘉興，第7題4分）如圖，中，AB=5，BC=3，AC=4，以點C為圓心的圓與AB相切，則C的半徑為（）（A）2.3 （B）2.4（C）2.5（D）2.6考點：切線的性質(zhì)；勾股定理的逆定理.分析：首先根據(jù)題意作圖，由AB是C的切線，即可得CDAB，又由在直角ABC中，C=90°，AC=3，BC=4，根據(jù)勾股定理求得AB的長，然后由SABC=ACBC=ABCD，即可求得以C為圓心與AB相切的圓的半徑的長解答：解：在ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，AC2+BC2=32+42=52=AB2，C=90°，如圖：設切點為D，連接CD，AB是C的切線，CDAB，SABC=ACBC=ABCD，ACBC=ABCD，即CD=，C的半徑為，故選B點評：此題考查了圓的切線的性質(zhì)，勾股定理，以及直角三角形斜邊上的高的求解方法此題難度不大，解題的關(guān)鍵是注意輔助線的作法與數(shù)形結(jié)合思想的應用8. （2015四川省內(nèi)江市，第10題，3分）如圖，在O的內(nèi)接四邊形ABCD中，AB是直徑，BCD=120°，過D點的切線PD與直線AB交于點P，則ADP的度數(shù)為（）A40°B35°C30°D45°考點：切線的性質(zhì).分析：連接DB，即ADB=90°，又BCD=120°，故DAB=60°，所以DBA=30°；又因為PD為切線，利用切線與圓的關(guān)系即可得出結(jié)果解答：解：連接BD，DAB=180°C=60°，AB是直徑，ADB=90°，ABD=90°DAB=30°，PD是切線，ADP=ABD=30°，故選：C點評：本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，直徑對圓周角等于直角，弦切角定理，弦切角等于它所夾的弧對的圓周角求解9. （2015四川樂山,第10題3分）如圖，已知直線與x軸、y軸分別交于A、B兩點，P是以C（0，1）為圓心，1為半徑的圓上一動點，連結(jié)PA、PB則PAB面積的最大值是（ ）A8 B12 C D【答案】C10（2015廣東梅州,第6題，3分）如圖，AB是O的弦，AC是O的切線，A為切點，BC經(jīng)過圓心.若B=20°，則C的大小等于（ ）A20° B25° C 40° D50°考點：切線的性質(zhì).分析：連接OA，根據(jù)切線的性質(zhì)，即可求得C的度數(shù)解答：解：如圖，連接OA，AC是O的切線，OAC=90°，OA=OB，B=OAB=20°，AOC=40°，C=50°故選：D點評：本題考查了圓的切線性質(zhì)，以及等腰三角形的性質(zhì)，掌握已知切線時常用的輔助線是連接圓心與切點是解題的關(guān)鍵11. （2015山東濰坊第7 題3分）如圖，AB是O的弦，AO的延長線交過點B的O的切線于點C，如果ABO=20°，則C的度數(shù)是（）A70°B50°C45°D20°考點：切線的性質(zhì).分析：由BC是O的切線，OB是O的半徑，得到OBC=90°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到A=ABO=20°，由外角的性質(zhì)得到BOC=40°，即可求得C=50°解答：解：BC是O的切線，OB是O的半徑，OBC=90°，OA=OB，A=ABO=20°，BOC=40°，C=50°故選B點評：本題考查了本題考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，掌握定理是解題的關(guān)鍵二.填空題1. （2015浙江寧波，第17題4分）如圖，在矩形ABCD中，AB=8，AD=12，過點A，D兩點的O與BC邊相切于點E，則O的半徑為 【答案】.【考點】矩形的性質(zhì)；垂徑定理；勾股定理；方程思想的應用.【分析】如答圖，連接EO并延長交AD于點H，連接AO，四邊形ABCD是矩形，O與BC邊相切于點E， EHBC，即EHAD. 根據(jù)垂徑定理，AH=DH.AB=8，AD=12，AH=6，HE=8.設O的半徑為，則AO=，.在中，由勾股定理得，解得.O的半徑為.2.（2015江蘇徐州,第14題3分）如圖，AB是O的直徑，點C在AB的延長線上，CD與O相切于點D，若C=20°，則CDA=125°考點：切線的性質(zhì).分析：連接OD，構(gòu)造直角三角形，利用OA=OD，可求得ODA=36°，從而根據(jù)CDA=CDO+ODA計算求解解答：解：連接OD，則ODC=90°，COD=70°；OA=OD，ODA=A=COD=35°，CDA=CDO+ODA=90°+35°=125°，故答案為：125點評：本題利用了切線的性質(zhì)，三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系，等邊對等角求解3.（2015湖北荊州第18題3分）如圖，OA在x軸上，OB在y軸上，OA=8，AB=10，點C在邊OA上，AC=2，P的圓心P在線段BC上，且P與邊AB，AO都相切若反比例函數(shù)y=（k0）的圖象經(jīng)過圓心P，則k=考點：切線的性質(zhì)；一次函數(shù)圖象上點的坐標特征；反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征專題：計算題分析：作PDOA于D，PEAB于E，作CHAB于H，如圖，設P的半徑為r，根據(jù)切線的性質(zhì)和切線長定理得到PD=PE=r，AD=AE，再利用勾股定理計算出OB=6，則可判斷OBC為等腰直角三角形，從而得到PCD為等腰直角三角形，則PD=CD=r，AE=AD=2+r，通過證明ACHABO，利用相似比計算出CH=，接著利用勾股定理計算出AH=，所以BH=10=，然后證明BEHBHC，利用相似比得到即=，解得r=，從而易得P點坐標，再利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征求出k的值解答：解：作PDOA于D，PEAB于E，作CHAB于H，如圖，設P的半徑為r，P與邊AB，AO都相切，PD=PE=r，AD=AE，在RtOAB中，OA=8，AB=10，OB=6，AC=2，OC=6，OBC為等腰直角三角形，PCD為等腰直角三角形，PD=CD=r，AE=AD=2+r，CAH=BAO，ACHABO，=，即=，解得CH=，AH=，BH=10=，PECH，BEPBHC，=，即=，解得r=，OD=OCCD=6=，P（，），k=×（）=故答案為點評：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑若出現(xiàn)圓的切線不確定切點，則過圓心作切線的垂線，則垂線段等于圓的半徑也考查了勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)和反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征4.（2015福建泉州第14題4分）如圖，AB和O切于點B，AB=5，OB=3，則tanA=解：直線AB與O相切于點B，則OBA=90°AB=5，OB=3，tanA=故答案為：5. （2015四川成都,第24題4分）如圖，在半徑為5的中，弦，是弦所對的優(yōu)弧上的動點，連接，過點作 的垂線交射線于點，當是等腰三角形時，線段的長為 . 圖（1） 圖（2） 圖（3）【答案】：或或 【解析】：（1）當時，如圖（1），作于點，延長交于點；易知，射影知. （2）當時，如圖（2），延長交于點，易知，易知.（3）當時，如圖（3），由.綜上：或或6. （2015浙江省紹興市，第14題，5分） 在RtABC中，C=90°，BC=3，AC=4，點P在以C為圓心，5為半徑的圓上，連結(jié)PA，PB。若PB=4，則PA的長為 考點：點與圓的位置關(guān)系；勾股定理；垂徑定理.專題：分類討論分析：連結(jié)CP，PB的延長線交C于P，如圖，先計算出CB2+PB2=CP2，則根據(jù)勾股定理的逆定理得CBP=90°，再根據(jù)垂徑定理得到PB=PB=4，接著證明四邊形ACBP為矩形，則PA=BC=3，然后在RtAPP中利用勾股定理計算出PA=，從而得到滿足條件的PA的長為3或解答：解：連結(jié)CP，PB的延長線交C于P，如圖，CP=5，CB=3，PB=4，CB2+PB2=CP2，CPB為直角三角形，CBP=90°，CBPB，PB=PB=4，C=90°，PBAC，而PB=AC=4，四邊形ACBP為矩形，PA=BC=3，在RtAPP中，PA=3，PP=8，PA=，PA的長為3或故答案為3或點評：本題考查了點與圓的位置關(guān)系：點的位置可以確定該點到圓心距離與半徑的關(guān)系，反過來已知點到圓心距離與半徑的關(guān)系可以確定該點與圓的位置關(guān)系也考查了垂徑定理和勾股定理7. （2015淄博第17題,4分）如圖，我們把一個半圓與拋物線的一部分圍成的封閉圖形稱為“果圓”已知點A、B、C、D分別是“果圓”與坐標軸的交點，拋物線的解析式為y=x22x3，AB為半圓的直徑，則這個“果圓”被y軸截得的弦CD的長為3+考點：二次函數(shù)綜合題.分析：連接AC，BC，有拋物線的解析式可求出A，B，C的坐標，進而求出AO，BO，DO的長，在直角三角形ACB中，利用射影定理可求出CO的長，進而可求出CD的長解答：解：連接AC，BC，拋物線的解析式為y=x22x3，點D的坐標為（0，3），OD的長為3，設y=0，則0=x22x3，解得：x=1或3，A（1，0），B（3，0）AO=1，BO=3，AB為半圓的直徑，ACB=90°，COAB，CO2=AOBO=3，CO=，CD=CO+OD=3+，故答案為：3+點評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了拋物線與坐標軸的交點問題、解一元二次方程、圓周角定理、射影定理，讀懂題目信息，理解“果圓”的定義是解題的關(guān)鍵8. （2015浙江省臺州市，第16題）如圖，正方形ABCD的邊長為1，中心為點O，有一邊長大小不定的正六邊形EFGHIJ繞點O可任意旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，這個正六邊形始終在正方形ABCD內(nèi)（包括正方形的邊），當這個六邊形的邊長最大時，AE的最小值為_三.解答題1. （2015四川省內(nèi)江市，第27題，12分）如圖，在ACE中，CA=CE，CAE=30°，O經(jīng)過點C，且圓的直徑AB在線段AE上（1）試說明CE是O的切線；（2）若ACE中AE邊上的高為h，試用含h的代數(shù)式表示O的直徑AB；（3）設點D是線段AC上任意一點（不含端點），連接OD，當CD+OD的最小值為6時，求O的直徑AB的長考點：圓的綜合題；線段的性質(zhì)：兩點之間線段最短；等腰三角形的性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；菱形的判定與性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的定義；特殊角的三角函數(shù)值.專題：綜合題分析：（1）連接OC，如圖1，要證CE是O的切線，只需證到OCE=90°即可；（2）過點C作CHAB于H，連接OC，如圖2，在RtOHC中運用三角函數(shù)即可解決問題；（3）作OF平分AOC，交O于F，連接AF、CF、DF，如圖3，易證四邊形AOCF是菱形，根據(jù)對稱性可得DF=DO過點D作DHOC于H，易得DH=DC，從而有CD+OD=DH+FD根據(jù)兩點之間線段最短可得：當F、D、H三點共線時，DH+FD（即CD+OD）最小，然后在RtOHF中運用三角函數(shù)即可解決問題解答：解：（1）連接OC，如圖1，CA=CE，CAE=30°，E=CAE=30°，COE=2A=60°，OCE=90°，CE是O的切線；（2）過點C作CHAB于H，連接OC，如圖2，由題可得CH=h在RtOHC中，CH=OCsinCOH，h=OCsin60°=OC，OC=h，AB=2OC=h；（3）作OF平分AOC，交O于F，連接AF、CF、DF，如圖3，則AOF=COF=AOC=（180°60°）=60°OA=OF=OC，AOF、COF是等邊三角形，AF=AO=OC=FC，四邊形AOCF是菱形，根據(jù)對稱性可得DF=DO過點D作DHOC于H，OA=OC，OCA=OAC=30°，DH=DCsinDCH=DCsin30°=DC，CD+OD=DH+FD根據(jù)兩點之間線段最短可得：當F、D、H三點共線時，DH+FD（即CD+OD）最小，此時FH=OFsinFOH=OF=6，則OF=4，AB=2OF=8當CD+OD的最小值為6時，O的直徑AB的長為8點評：本題主要考查了圓周角定理、切線的判定、等腰三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)的定義、特殊角的三角函數(shù)值、等邊三角形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、兩點之間線段最短等知識，把CD+OD轉(zhuǎn)化為DH+FD是解決第（3）小題的關(guān)鍵2. （2015四川省宜賓市，第23題，10分）(注意：在試題卷上作答無效) 如圖，CE是O的直徑，BD切O于點D，DEBO，CE的延長線交BD于點A。（1）求證：直線BC是O的切線；（2）若AE=2，tanDEO=，求AO的長.3. （2015浙江省臺州市，第22題）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于O，點E在對角線AC上，EC=BC=DC（1）若CBD=39°，求BAD的度數(shù)（2）求證：1=24.（2015江蘇泰州,第24題10分）如圖，ABC 中，AB=AC，以AB為直徑的O與BC相交于點D，與CA的延長線相交于點E，過點D作DFAC于點F。（1）試說明DF是O的切線；（2）若 AC=3AE，求。 【答案】(1)證明見解析；（2）.【解析】試題分析：（1）連接OD，根據(jù)等邊對等角得出B=ODB，B=C，得出ODB=C，證得ODAC，證得ODDF，從而證得DF是O的切線； （2）連接BE，AB是直徑，AEB=90°，根據(jù)勾股定理得出BE=2AE，CE=4AE，然后在RtBEC中，即可求得tanC的試題解析：（1）證明：連接OD， OB=OD， B=ODB， AB=AC， B=C， ODB=C， ODAC， DFAC， ODDF， DF是O的切線； （2）解：連接BE， AB是直徑， AEB=90°， AB=AC，AC=3AE，AB=3AE，CE=4AE， BE=， 在RtBEC中，tanC=.考點：切線的判定5.（2015山東東營,第21題8分）(本題滿分8分)已知在ABC中，B=90o，以AB上的一點O為圓心，以OA為半徑的圓交AC于點D，交AB于點E（1）求證：AC·AD=AB·AE；（2）如果BD是O的切線，D是切點，E是OB的中點，當BC=2時，求AC的長 【答案】（1）證明見解析；（2）AC=4. 考點：1.圓周角定理；2.相似三角形的判定與性質(zhì)；3.切線的性質(zhì)；4.30°的直角三角形的性質(zhì).6.（2015山東聊城,第24題10分）如圖，已知AB是O的直徑，點P在BA的延長線上，PD切O于點D，過點B作BE垂直于PD，交PD的延長線于點C，連接AD并延長，交BE于點E（1）求證：AB=BE；（2）若PA=2，cosB=，求O半徑的長考點：切線的性質(zhì)；解直角三角形.分析：（1）本題可連接OD，由PD切O于點D，得到ODPD，由于BEPC，得到ODBE，得出ADO=E，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和等量代換可得結(jié)果；（2）由（1）知，ODBE，得到POD=B，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)果解答：（1）證明：連接OD，PD切O于點D，ODPD，BEPC，ODBE，ADO=E，OA=OD，OAD=ADO，OAD=E，AB=BE；（2）解：有（1）知，ODBE，POD=B，cosPOD=cosB=，在RtPOD中，cosPOD=，OD=OA，PO=PA+OA=2+OA，OA=3，O半徑=3點評：本題考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)以及等邊三角形的判定等知識點，正確的畫出輔助線是解題的關(guān)鍵7.（2015山東臨沂,第23題9分）如圖，點O為RtABC斜邊AB上的一點，以OA為半徑的O與BC切于點D，與AC交于點E，連接AD.（1）求證：AD平分BAC；（2）若BAC = 60°，OA = 2，求陰影部分的面積（結(jié)果保留）.【答案】（2）試題解析：（1）證明：連接OD.BC是O的切線，D為切點，ODBC.又ACBC，ODAC，ADO=CAD.又OD=OA，ADO=OADCAD=OAD，即AD平分BAC.（2）方法一：連接OE，ED.BAC=60°，OE=OA，OAE為等邊三角形，AOE=60°，ADE=30°. 又，ADE=OAD，EDAO，陰影部分的面積 = S扇形ODE = . 考點：圓的綜合（切線的性質(zhì)，角平分線，陰影部分面積，三角形的面積，扇形面積）8. （2015四川廣安，第25題9分）如圖，PB為O的切線，B為切點，過B作OP的垂線BA，垂足為C，交O于點A，連接PA、AO，并延長AO交O于點E，與PB的延長線交于點D（1）求證：PA是O的切線；（2）若=，且OC=4，求PA的長和tanD的值考點：切線的判定與性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)；解直角三角形.分析：（1）連接OB，先由等腰三角形的三線合一的性質(zhì)可得：OP是線段AB的垂直平分線，進而可得：PA=PB，然后證明PAOPBO，進而可得PBO=PAO，然后根據(jù)切線的性質(zhì)可得PBO=90°，進而可得：PAO=90°，進而可證：PA是O的切線；（2）連接BE，由=，且OC=4，可求AC，OA的值，然后根據(jù)射影定理可求PC的值，從而可求OP的值，然后根據(jù)勾股定理可求AP的值；由AC=BC，AO=OE，可得OC是ABE的中位線，進而可得BEOP，BE=2OC=8，進而可證DBEDPO，進而可得：，從而求出BD的值，進而即可求出tanD的值解答：（1）證明：連接OB，則OA=OB，OPAB，AC=BC，OP是AB的垂直平分線，PA=PB，在PAO和PBO中，PAOPBO（SSS）PBO=PAO，PB=PA，PB為O的切線，B為切點，PBO=90°，PAO=90°，即PAOA，PA是O的切線；（2）連接BE，=，且OC=4，AC=6，AB=12，在RtACO中，由勾股定理得：AO=2，AE=2OA=4，OB=OA=2，在RtAPO中，ACOP，AC2=OCPC，解得：PC=9，OP=PC+OC=13，在RtAPO中，由勾股定理得：AP=3，PB=PA=3，AC=BC，OA=OE，OC=BE，OCBE，BE=2OC=8，BEOP，DBEDPO，即，解得：BD=，在RtOBD中，tanD=點評：本題考查了切線的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)；能夠通過作輔助線將所求的角轉(zhuǎn)移到相應的直角三角形中，是解答此題的關(guān)鍵要證某線是圓的切線，對于切線的判定：已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可9. （2015四川甘孜、阿壩，第20題10分）如圖，ABC為等邊三角形，以邊BC為直徑的半圓與邊AB，AC分別交于D，F(xiàn)兩點，過點D作DEAC，垂足為點E（1）判斷DF與O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）過點F作FHBC，垂足為點H，若AB=4，求FH的長（結(jié)果保留根號）考點：切線的判定.分析：（1）連接OD，由等邊三角形的性質(zhì)得出AB=BC，B=C=60°，證出OBD是等邊三角形，得出BOD=C，證出ODAC，得出DEOD，即可得出結(jié)論；（2）先證明OCF是等邊三角形，得出CF=OC=BC=AB=2，再由三角函數(shù)即可求出FH解答：解：（1）DE是O的切線；理由如下：連接OD，如圖1所示：ABC是等邊三角形，AB=BC=AC，B=C=60°，OB=OD，OBD是等邊三角形，BOD=60°，BOD=C，ODAC，DEAC，DEOD，DE是O的切線；（2）連接OF，如圖2所示：OC=OF，C=60°，OCF是等邊三角形，CF=OC=BC=AB=2，F(xiàn)HBC，F(xiàn)HC=90°，F(xiàn)H=CFsinC=2×=點評：本題考查了切線的判定、等邊三角形的性質(zhì)與判定、平行線的判定、三角函數(shù)；熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，并能進行推理論證與計算是解決問題的關(guān)鍵10（2015山東濰坊第21題10分）如圖，在ABC中，AB=AC，以AC為直徑的O交BC于點D，交AB于點E，過點D作DFAB，垂足為F，連接DE（1）求證：直線DF與O相切；（2）若AE=7，BC=6，求AC的長考點：切線的判定；相似三角形的判定與性質(zhì).分析：（1）連接OD，利用AB=AC，OD=OC，證得ODAD，易證DFOD，故DF為O的切線；（2）證得BEDBCA，求得BE，利用AC=AB=AE+BE求得答案即可解答：（1）證明：如圖，連接ODAB=AC，B=C，OD=OC，ODC=C，ODC=B，ODAB，DFAB，ODDF，點D在O上，直線DF與O相切；（2）解：四邊形ACDE是O的內(nèi)接四邊形，AED+ACD=180°，AED+BED=180°，BED=ACD，B=B，BEDBCA，=，ODAB，AO=CO，BD=CD=BC=3，又AE=7，=，BE=2，AC=AB=AE+BE=7+2=9點評：此題考查切線的判定，三角形相似的判定與性質(zhì)，要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心和這點（即為半徑），再證垂直即可11（2015廣東梅州,第22題，9分）如圖，直線l經(jīng)過點A（4，0），B（0，3）（1）求直線l的函數(shù)表達式；（2）若圓M的半徑為2，圓心M在y軸上，當圓M與直線l相切時，求點M的坐標考點：切線的性質(zhì)；待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式.分析：（1）把點A（4，0），B（0，3）代入直線l的解析式y(tǒng)=kx+b，即可求出結(jié)果（2）先畫出示意圖，在RtABM中求出sinBAM，然后在RtAMC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AM，繼而可得點M的坐標解答：解：（1）直線l經(jīng)過點A（4，0），B（0，3），設直線l的解析式為：y=kx+b，直線l的解析式為：y=x+3；（2）直線l經(jīng)過點A（4，0），B（0，3），OA=4，OB=3，AB=5，如圖所示，此時M與此直線l相切，切點為C，連接MC，則MCAB，在RtABM中，sinBAM=，在RtAMC中，sinMAC=，AM=4，點M的坐標為（0，0）此時M'與此直線l相切，切點為C'，連接M'C'，則M'C'AB，MCB=MCB=90°，在MCB與CMB中，BM'=BM=3，點M'的坐標為（0，6）綜上可得：當M與此直線l相切時點M的坐標是（0，0），（0，6）點評：本題考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，切線的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是畫出示意圖，熟練掌握切線的性質(zhì)及銳角三角函數(shù)的定義，難度一般ABCDEFMO12(2015·深圳，第22題 分)如圖1，水平放置一個三角板和一個量角器，三角板的邊AB和量角器的直徑DE在一條直線上，開始的時候BD=1cm,現(xiàn)在三角板以2cm/s的速度向右移動。（1）當B與O重合的時候，求三角板運動的時間；（2）如圖2，當AC與半圓相切時，求AD；（3）如圖3，當AB和DE重合時，求證：?！窘馕觥?3(2015·南寧，第25題10分)如圖14，AB是O的直徑，C、G是O上兩點，且AC = CG，過點C的直線CDBG于點D，交BA的延長線于點E，連接BC，交OD于點F.圖14（1）求證：CD是O的切線.（2）若,求E的度數(shù).（3）連接AD，在（2）的條件下，若CD=，求AD的長. 考點：圓的綜合題.分析：（1）如圖1，連接OC，AC，CG，由圓周角定理得到ABC=CBG，根據(jù)同圓的半徑相等得到OC=OB，于是得到OCB=OBC，等量代換得到OCB=CBG，根據(jù)平行線的判定得到OCBG，即可得到結(jié)論；（2）由OCBD，得到OCFBDF，EOCEBD，得到，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（3）如圖2，過A作AHDE于H，解直角三角形得到BD=3，DE=3，BE=6，在RtDAH中，AD=解答：（1）證明：如圖1，連接OC，AC，CG，AC=CG，ABC=CBG，OC=OB，OCB=OBC，OCB=CBG，OCBG，CDBG，OCCD，CD是O的切線；（2）解：OCBD，OCFBDF，EOCEBD，OA=OB，AE=OA=OB，OC=OE，ECO=90°，E=30°；（3）解：如圖2，過A作AHDE于H，E=30°EBD=60°，CBD=EBD=30°，CD=，BD=3，DE=3，BE=6，AE=BE=2，AH=1，EH=，DH=2，在RtDAH中，AD= 點評：本題考查了切線的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵14（2015甘肅武威,第21題6分）如圖，已知在ABC中，A=90°（1）請用圓規(guī)和直尺作出P，使圓心P在AC邊上，且與AB，BC兩邊都相切（保留作圖痕跡，不寫作法和證明）（2）若B=60°，AB=3，求P的面積 考點：作圖復雜作圖；切線的性質(zhì)分析：（1）作ABC的平分線交AC于P，再以P為圓心PA為半徑即可作出P；（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到ABP=30°，根據(jù)三角函數(shù)可得AP=，再根據(jù)圓的面積公式即可求解解答：解：（1）如圖所示，則P為所求作的圓（2）B=60°，BP平分ABC，ABP=30°，tanABP=，AP=，SP=3點評：本題主要考查了作圖復雜作圖，角平分線的性質(zhì)，即角平分線上的點到角兩邊的距離相等同時考查了圓的面積15（2015甘肅武威,第27題8分）已知ABC內(nèi)接于O，過點A作直線EF（1）如圖所示，若AB為O的直徑，要使EF成為O的切線，還需要添加的一個條件是（至少說出兩種）： BAE=90° 或者 EAC=ABC （2）如圖所示，如果AB是不過圓心O的弦，且CAE=B，那么EF是O的切線嗎？試證明你的判斷考點：切線的判定分析：（1）求出BAE=90°，再根據(jù)切線的判定定理推出即可；（2）作直徑AM，連接CM，根據(jù)圓周角定理求出M=B，ACM=90°，求出MAC+CAE=90°，再根據(jù)切線的判定推出即可解答：解：（1）BAE=90°，EAC=ABC，理由是：BAE=90°，AEAB，AB是直徑，EF是O的切線；AB是直徑，ACB=90°，ABC+BAC=90°，EAC=ABC，BAE=BAC+EAC=BAC+ABC=90°，即AEAB，AB是直徑，EF是O的切線；（2）EF是O的切線 證明：作直徑AM，連接CM，則ACM=90°，M=B，M+CAM=B+CAM=90°，CAE=B，CAM+CAE=90°，AEAM，AM為直徑，EF是O的切線點評：本題考查了圓周角定理，切線的判定的應用，主要考查學生運用定理進行推理的能力，注意：經(jīng)過半徑的外端，并且垂直于半徑的直線是圓的切線 16(2015·貴州六盤水，第24題12分)如圖12，在RtACB中，ACB90°，點O是AC邊上的一點，以O為圓心，OC為半徑的圓與AB相切于點D，連接OD（1）（6分）ADOACB（2）（6分）若O的半徑為1，求證：ACAD·BC考點：切線的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì).分析：（1）由AB是O的切線，得到ODAB，于是得到C=ADO=90°，問題可證；（2）由ADOACB列比例式即可得到結(jié)論解答：（1）證明：AB是O的切線，ODAB，C=ADO=90°，A=A，ADOACB；（2）解：由（1）知：ADOACB，ADBC=ACOD，OD=1，AC=ADBC點評：本題考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟記定理是解題的關(guān)鍵17(2015·黑龍江綏化，第24題 分)如圖 ，以線段AB為直徑作O ，CD與O相切于點E ，交AB的延長線于點D , 連接BE ,過點O作 OCBE交切線DE于點C ,連接AC (1)求證：AC是O的切線 ； （2）若BD=OB=4 ,求弦AE的長?？键c：切線的判定與性質(zhì)專題：計算題分析：（1）連接OE，根據(jù)CD與圓O相切，利用切線的性質(zhì)得到OE垂直于CD，再由OC與BE平行，得到同位角相等與內(nèi)錯角相等，根據(jù)OB=OE，利用等邊對等角得到一對角相等，等量代換得到夾角相等，再由OA=OE，OC=OC，利用SAS得到三角形AOC與三角形EOC全等，利用全等三角形對應角相等得到OAC=OEC=90°，即可得證；（2）根據(jù)題意得到EB為直角三角形斜邊上的中線，求出EB的長，再由OE=OB=EB得到三角形OEB為等邊三角形，求出ABE=60°，根據(jù)AB為圓O直徑，利用直徑所對的圓周角為直角得到三角形AEB為直角三角形，利用銳角三角函數(shù)定義求出AE的長即可解答：（1）證明：連接OE，CD與圓O相切，OECD，CEO=90°，BEOC，AOC=OBE，COE=OEB，OB=OE，OBE=OEB，AOC=COE，在AOC和EOC中，AOCEOC（SAS），CAO=CEO=90°，則AC與圓O相切；（2）在RtDEO中，BD=OB，BE=OD=OB=4，OB=OE，BOE為等邊三角形，ABE=60°，AB為圓O的直徑，AEB=90°，AE=BEtan60°=4點評：此題考查了切線的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握切線的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵18（2015北京市,第24題，5分）如圖，AB是的直徑，過點B作的切線BM，弦，交AB于點F，且，鏈接AC，AD，延長AD交BM地點E。(1)求證：是等邊三角形。(2)鏈接OE，若，求OE的長?！究键c】圓的性質(zhì)【難度】中等【答案】【點評】本題考查常見的幾何題型，包括切線的判定，角的大小及線段長度的求法，要求學生掌握常見的解題方法，并能結(jié)合圖形選擇簡單的方法解題19（2015安徽省,第20題，10分）在O中，直徑AB6，BC是弦，ABC30°，點P在BC上，點Q在O上，且OPPQAABBCCPPQQOO第20題圖1第20題圖2(1)如圖1，當PQAB時，求PQ的長度；(2)如圖2，當點P在BC上移動時，求PQ長的最大值考點：圓周角定理；勾股定理；解直角三角形.專題：計算題分析：（1）連結(jié)OQ，如圖1，由PQAB，OPPQ得到OPAB，在RtOBP中，利用正切定義可計算出OP=3tan30°=，然后在RtOPQ中利用勾股定理可計算出PQ=；（2）連結(jié)OQ，如圖2，在RtOPQ中，根據(jù)勾股定理得到PQ=，則當OP的長最小時，PQ的長最大，根據(jù)垂線段最短得到OPBC，則OP=OB=，所以PQ長的最大值=解答：解：（1）連結(jié)OQ，如圖1，PQAB，OPPQ，OPAB，在RtOBP中，tanB=，OP=3tan30°=，在RtOPQ中，OP=，OQ=3，PQ=；（2）連結(jié)OQ，如圖2，在RtOPQ中，PQ=，當OP的長最小時，PQ的長最大，此時OPBC，則OP=OB=，PQ長的最大值為=點評：本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半也考查了勾股定理和解直角三角形20.（2015湖北鄂州第22題9分）如圖，在ABC中，AB=AC，AE是BAC的平分線，ABC的平分線 BM交AE于點M，點O在AB上，以點O為圓心，OB的長為半徑的圓經(jīng)過點M，交BC于點G，交 AB于點F （1）（3分）求證：AE為O的切線 （2）（3分）當BC=8，AC=12時，求O的半徑 （3）（3分）在（2）的條件下，求線段BG的長 【答案】(1)證明見解析；（2）3；（3）2. 考點：1.相似三角形的判定與性質(zhì)；2.切線的判定21（2015甘肅蘭州,第27題，10分）如圖，在RtABC中，C=90°，BAC的平分線AD交BC邊于點D。以AB上一點O為圓心作O，使O經(jīng)過點A和點D。（1）判斷直線BC與O的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若AC=3，B=30°，求O的半徑；設O與AB邊的另一個交點為E，求線段BD，BE與劣弧所圍成的陰影部分的面積（結(jié)果保留根號和）?！究键c解剖】本題考查圓與直線的位置關(guān)系，扇形面積計算【知識準備】過直徑的端點，且與直徑垂直的直線是圓的切線【思路點拔】（1）我們當然很容易就猜想到BC是O的切線，為此，只要連結(jié)OD，證明ODBC即可；（2）只要求出OBD的面積和扇形ODE的面積，那么兩者之差便為陰影部分的面積【解答過程】（1）連結(jié)OD，OA=OD，2=3，AD平分BAC，1=2， 而2=3，1=3，ODAC（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），ODB=C=90°（兩直線平行，同位角相等）即ODBC， BC是O的切線（過直徑的一個端點，且與直徑垂直的直線是圓的切線）；（2）過點O作AC的垂線段OH，則OHBC，AOH=B=30°，RtAOH中，AH=AO·sinAOH=AO·sin30°=AO，矩形CDOH中，CH=OD，而OD=OA，AC=AH+CH，即3=AO+AO， AO=2，即O的半徑為2；RtOBD中，BOD=90°B=60°，則BD=DO·tan60°=，?！绢}目星級】【解題策略】涉及到非常規(guī)圖形的面積問題時，我們通常采用的是割補的方法，將問題轉(zhuǎn)化為常規(guī)圖形的面積問題來解決22. （2015遼寧大連，23，10分）如圖，AB是圓O的直徑，點C、D在圓O上，且AD平分CAB.過點D作AC的垂線，與AC的延長線相交于E,與AB的延長線相交于點F.求證：EF與圓O相切；若AB=6，AD=4，求EF的長。（第23題）【答案】【解析】解：（1）證明：聯(lián)接OD如圖,因為OA=OD,所以OAD=ODA又因為AD平分BAC,所以OAD=CAD所以ODA=CAD。所以ODAE,又因為EF垂直于AE,所以OD垂直于EF,所以EF與圓O相切；（第23題答圖1）如圖聯(lián)接OD、CD、BD、BC，則CD=BD,因為AB是直徑，所以ACB=ADB=90°，又因為AB=6，AD=4，所以BD=,所以CD=2.因為ACB=E,所以BCEF.因為AD平分CAB,所以OAD=CAD，又因為ADB=E,所以ADEABD,所以，所以DE=.在RtCDE中，CE=所以DG=.OG=3=.在RtOGB中，GB=因為ACB=E,所以BCEF.所以OGBODF,所以，所以DF=.所以EF=DE+DF=+=.23. （2015山東菏澤，18，8分）如圖，在ABC中，BA=BC，以AB為直徑的O分別交AC、BC于點D、E，BC的延長線于O的切線AF交于點F（1）求證：ABC=2CAF；（2）若AC=，CE：EB=1：4，求CE的長【答案】（1）證明見試題解析；（2）2（2）如圖，連接AE，AEB=90°，設CE=x，CE：EB=1：4，EB=4x，BA=BC=5x，AE=3x，在RtACE中，即，x=2CE=2考點：1切線的性質(zhì)；2相似三角形的判定與性質(zhì)24.（2015四川涼山州,第23題8分）在甲、乙兩個不透明的布袋，甲袋中裝有3個完全相同的小球，分別標有數(shù)字0，1，2；乙袋中裝有3個完全相同的小球，分別標有數(shù)字1，2，0；現(xiàn)從甲袋中隨機抽取一個小球，記錄標有的數(shù)字為x，再從乙袋中隨機抽取一個小球，記錄標有的數(shù)字為y，確定點M坐標為（x，y）（1）用樹狀圖或列表法列舉點M所有可能的坐標；（2）求點M（x，y）在函數(shù)的圖象上的概率；（3）在平面直角坐標系xOy中，O的半徑是2，求過點M（x，y）能作O