2023屆高考一輪復習 解析幾何綜合練習9（含解析）

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1、2023屆高考一輪復習 解析幾何綜合練習9 一、選擇題（共8小題） 1. 已知過點 P?2,m，Qm,6 的直線的傾斜角為 45° ， 則 m 的值為 ?? A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 點 P2,?1 為圓 x?32+y2=25 中弦的中點，則該弦所在直線的方程是 ?? A. x+y+1=0 B. x+y?1=0 C. x?y?1=0 D. x?y+1=0 3. 已知 A1,4，B?3,2，直線 l：ax+y+2=0，若直線 l 過線段 AB 的中點，則 a 等于 ?? A. ?5 B. 5 C. ?4 D. 4 4. 已

2、知雙曲線 C1：x28?y24=1，雙曲線 C2 的焦點在 y 軸上，它的漸近線與雙曲線 C1 相同，則雙曲線 C2 的離心率為 ?? A. 2 B. 5?1 C. 23?1 D. 3 5. 已知直線 y=ax 與圓 C：x?a2+y?12=a2?1 交于 A，B 兩點，且 ∠ACB=60°，則圓的面積為 ?? A. 6π B. 36π C. 7π D. 49π 6. 如圖，已知 F1，F(xiàn)2 是橢圓 T:x2a2+y2b2=1a>b>0 的左、右焦點，P 是橢圓 T 上任意一點，過 F2 作 △F1PF2 中 ∠F1PF2 的外角的角平分線的垂線，垂足為 Q，則點

3、Q 的軌跡為 ?? A. 直線 B. 圓 C. 橢圓 D. 拋物線 7. 已知中心在原點的橢圓與雙曲線有公共焦點，左、右焦點分別為 F1，F(xiàn)2，且兩條曲線在第一象限的交點為 P，△PF1F2 是以 PF1 為底邊的等腰三角形，若 ∣PF1∣=10，橢圓與雙曲線的離心率分別為 e1，e2，則 e1 與 e2 滿足的關(guān)系是 ?? A. 1e1+1e2=2 B. 1e1?1e2=2 C. e1+e2=2 D. e2?e1=2 8. 已知直線 l：kx?y?2k+1=0 與橢圓 C1：x2a2+y2b2=1a>b>0 交于 A，B 兩點，與圓 C2：x?22+y?1

4、2=1 交于 C，D 兩點．若存在 k∈?2,?1，使得 AC=DB，則橢圓 C1 的離心率的取值范圍是 ?? A. 0,12 B. 12,1 C. 0,22 D. 22,1 二、選擇題（共4小題） 9. 已知直線 l：y=kx?1，圓 C：x?12+y2=r2r>0，則下列命題正確的是 ?? A. ?k∈R，l 與 C 相交 B. ?k∈R，l 與 C 相切 C. ?r>0，l 與 C 相交 D. ?r>0，l 與 C 相切 10. 下列四個說法中，錯誤的是 ?? A. 經(jīng)過定點 P0x0,y0 的直線，都可以用方程 y?y0=kx?x0 來表示

5、 B. 經(jīng)過任意兩個不同點 P1x1,y1，P2x2,y2 的直線 P1P2，都可以用方程 y?y1x2?x1=x?x1y2?y1 來表示 C. 在 x 軸、 y 軸上的截距分別為 a，b 的直線方程都可以用 xa+yb=1 來表示 D. 經(jīng)過點 0,b 的直線，都可以用方程 y=kx+b 來表示 11. 已知 △ABC 為等腰直角三角形，其頂點為 A，B，C，若圓錐曲線 E 以 A，B 為焦點，并經(jīng)過頂點 C，則該圓錐曲線 E 的離心率可以是 ?? A. 2?1 B. 22 C. 2 D. 2+1 12. 已知 F 是拋物線 y2=2pxp>0 的焦點，AB，

6、CD 是經(jīng)過點 F 的弦且 AB⊥CD，AB 的斜率為 k，且 k>0，C，A 兩點在 x 軸上方，則下列結(jié)論中成立的是 ?? A. 1AB+1CD=12p B. 若 AF?BF=43p2，則 k=33 C. OA?OB=OC?OD D. 四邊形 ACBD 面積的最小值為 16p2 三、填空題（共4小題） 13. 已知過拋物線 y2=4x 的焦點 F 的直線交該拋物線于 A，B 兩點，∣AF∣=2，則 ∣BF∣= ?． 14. 直線 x+y+1=0 被圓 C：x2+y2=2 所截得的弦長為

7、 ?；由直線 x+y+3=0 上的一點向圓 C 引切線，切線長的最小值為 ?． 15. 橢圓 x225+y29=1 上一點 P 到兩焦點距離之積為 m，則當 m 取最大值時，P 點坐標為 ?． 16. 已知 A，B 分別為橢圓 C：x2a2+y2b2=1a>b>0 的左、右頂點，兩不同點 P，Q 在橢圓 C 上，且關(guān)于 x 軸對稱，設(shè)直線 AP，BQ 的斜率分別為 m，n，則當 2ba+ab+12mn+ln∣m∣+ln∣n∣ 取最小值時，橢圓 C 的離心率為 ?． 四、解答題

8、（共4小題） 17. 已知過點 P0,?2 的圓 M 的圓心 a,0 在 x 軸的非負半軸上，且圓 M 截直線 x+y?2=0 所得弦長為 22． （1）求圓 M 的標準方程； （2）若過點 Q0,1 且斜率為 k 的直線 l 交圓 M 于 A，B 兩點，若 △PAB 的面積為 372，求直線 l 的方程． 18. 如圖，直線 l:y=x+b 與拋物線 C:x2=4y 相切于點 A． （1）求實數(shù) b 的值； （2）求以點 A 為圓心，且與拋物線 C 的準線相切的圓的方程． 19. 已知橢圓 C1:x24+y2=1，橢圓 C2 以 C1 的長軸為短軸，且與

9、C1 有相同的離心率． （1）求橢圓 C2 的方程； （2）設(shè) O 為坐標原點，點 A，B 分別在橢圓 C1 和 C2 上，OB=2OA，求直線 AB 的方程． 20. 已知橢圓 C：x2a2+y2b2=1a>b>0 的長軸長為 6，且橢圓 C 與圓 M：x?22+y2=409 的公共弦長為 4103． （1）求橢圓 C 的方程； （2）過點 P0,1 作斜率為 kk>0 的直線 l 與橢圓 C 交于兩點 A，B，試判斷在 x 軸上是否存在點 D，使得 △ADB 為以 AB 為底邊的等腰三角形，若存在，求出點 D 的橫坐標的取值范圍；若不存在，請說明理由． 答案

10、1. B 2. B 3. B 4. D 5. A 6. B 【解析】延長 F2Q 與 F1P 的延長線交于點 M，連接 OQ． 因為 PQ 是 △F1PF2 中 ∠F1PF2 的外角的角平分線，且 PQ⊥F2M， 所以在 △PF2M 中，PF2=PM，且 Q 為線段 F2M 的中點． 又 O 為線段 F1F2 的中點， 由三角形的中位線定理，得 OQ=12F1M=12PF1+PF2． 由橢圓的定義，得 PF1+PF2=2a， 所以 OQ=a，點 Q 的軌跡方程為 x2+y2=a2， 所以點 Q 的軌跡為以原點為圓心，半徑為 a 的圓． 7. B

11、【解析】由橢圓與雙曲線的定義得 e1=2c10+2c，e2=2c10?2c， 所以 1e1?1e2=4c2c=2． 8. C 【解析】直線 l 過圓 C2 的圓心，因為 AC=DB， 所以 AC2=C2B， 所以圓 C2 的圓心 2,1 為 A，B 兩點的中點． 設(shè) Ax1,y1，Bx2,y2， 則 x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1, 兩式相減得， x1+x2x1?x2a2=?y1+y2y1?y2b2， 化簡可得 ?2?b2a2=k，又因為 a>b，所以 b2a2=?k2∈12,1， 所以 e=1?b2a2∈0,22． 9. A， C

12、 【解析】因為直線 l：y=kx?1 經(jīng)過定點 1,0，圓 C：x?12+y2=r2r>0 的圓心為 1,0，半徑為 r， 所以直線 l 經(jīng)過圓 C 的圓心， 所以 ?k∈R，l 與 C 相交， 所以 ?r>0，l 與 C 相交， 所以AC正確． 10. A， C， D 【解析】A中，過定點 P0x0,y0 的直線斜率不存在時，方程不成立，故A錯誤； B中，對于任意不同點確定的直線都適合，B正確； C中，根據(jù)截距概念知 a，b 可以為 0，此時不能用 xa+yb=1 來表示，故C錯誤； D中，當過點 0,b 的直線斜率不存在時，不能用方程 y=kx+b 來表示，故D錯誤．

13、 11. A， B， D 【解析】（ 1 ）若該圓錐曲線是橢圓，當 C=π2 時，離心率 e=2c2a=∣AB∣∣CA∣+∣CB∣=22， 當 C=π4 時，離心率 e=∣AB∣∣CA∣+∣CB∣=12+1=2?1； （ 2 ）若該圓錐曲線是雙曲線，根據(jù)雙曲線的特征可得， 只有 C=π4， 此時，離心率 e=2c2a=AB∣∣CA∣?∣CB∣∣=12?1=2+1． 12. A， C 【解析】設(shè) Ax1,y1，Bx2,y2，AB 的方程為 y=kx?p2， 由 y=kx?p2,y2=2px, 可得 k2x2?pk2+2x+14k2p2=0， 則 x1+x2=pk2+2k2,

14、x1x2=14p2, 所以 AB=x1+x2+p=pk2+2k2+p=2pk2+1k2， 同理可得 CD=2p1k2+11k2=2p1+k2， 則有 1AB+1CD=12p，所以A正確； OA?OB=x1x2+y1y2=14p2+k2x1?p2x2?p2=14p2+k2x1x2?p2x1+x2+14p2=14p2+12k2p2?p2k2+22=?34p2, 與 k 無關(guān)，同理 OC?OD=?34p2， 故 OA?OB=OC?OD，C正確； 若 AF?BF=43p2，由 x1+p2x2+p2=x1x2+p2?x1+x2+14p2， 得 12p2+p2k2+22k2=p2+p

15、2k2=43p2，解得 k=3，故B錯誤； 因為 AB⊥CD，所以四邊形 ABCD 的面積 S四邊形ACBD=12ABCD=12?2pk2+1k2?2p1+k2=2p2k2+12k2=2p2k2+1k2+2≥8p2, 當且僅當 k2=1k2，即 k=1 時，等號成立，故D錯誤． 13. 2 【解析】設(shè) Ax0,y0， 由拋物線定義知 x0+1=2， 所以 x0=1，則直線 AB⊥x 軸， 所以 ∣BF∣=∣AF∣=2． 14. 6，102 【解析】圓 C：x2+y2=2 的圓心 C0,0，半徑 r=2， 設(shè)圓心 C 到直線 x+y+1=0 的距離為 d，

16、 則 d=12=22， 弦長為 2r2?d2=22?222=6． 設(shè) M 為直線 x+y+3=0 上一點， 過點 M 向圓 C 引切線切圓 C 于點 N， 則有 CN⊥MN， 所以 ∣MN∣=∣CM∣2?r2=∣CM∣2?2， 故 ∣CM∣ 取最小值時，切線長最小， 此時 CM 垂直于直線 x+y+3=0， 即 ∣CM∣ 的最小值為圓心 C 到直線 x+y+3=0 的距離 32， 所以 ∣MN∣ 最小值為 102． 15. 0,3 和 0,?3 【解析】由標準方程可知兩焦點為 F1?4,0，F(xiàn)24,0， 因為 PF1+PF2=10， 所以 PF1?PF2≤PF1+P

17、F222=25， 當且僅當 PF1=PF2 時取等號，即 P 點為短軸端點． 故當 m 取最大值時，P 點坐標為 P0,3或0,?3． 16. 22 【解析】設(shè) Px0,y0，則 x02a2+y02b2=1， 所以 mn=b2a2，從而 2ba+ab+12mn+ln∣m∣+ln∣n∣=2ba+ab+a22b2+lnb2a2， 設(shè) b2a2=x，令 fx=12x+lnx0

18、且僅當 2ba=ab，即 b2a2=12 時取等號， 取等號的條件一致， 此時 e2=1?b2a2=12， 所以 e=22． 17. （1） 設(shè)圓 M 的標準方程為 x?a2+y2=r2a≥0， 則圓心 M 到直線 x+y?2=0 的距離為 d=∣a?2∣2， 由題意得 a≥0,a2+4=r2,∣a?2∣22+2=r2, 解得 a=0，r2=4， 所以圓 M 的方程為 x2+y2=4． ??????（2） 設(shè)直線 l 的方程為 y=kx+1， 則圓心 M 到直線 l 的距離為 1k2+1， 所以 ∣AB∣=24?1k2+1=24k2+3k2+1， 又點 P0,

19、?2 到直線 l 的距離為 d=3k2+1， 所以 S△PAB=12∣AB∣d=12×24k2+3k2+1×3k2+1=372， 解得 k2=1， 所以 k=±1， 則直線 l 的方程為 ±x?y+1=0． 18. （1） 由 y=x+b,x2=4y 得 x2?4x?4b=0，（*） 因為直線 l 與拋物線 C 相切， 所以 Δ=?42?4×?4b=0，解得 b=?1． ??????（2） 由（1）可知 b=?1， 故方程（*）即為 x2?4x+4=0，解得 x=2， 將其代入 x2=4y，得 y=1， 故 A2,1， 因為圓 A 與拋物線 C 的準線相切， 所以圓

20、A 的半徑 r 等于圓心 A 到拋物線的準線 y=?1 的距離，即 r=∣1??1∣=2， 所以圓 A 的方程為 x?22+y?12=4． 19. （1） 橢圓 C1:x24+y2=1 的長軸長為 4， 離心率為 e1=c1a1=32， 因為橢圓 C2 以 C1 的長軸為短軸，且與 C1 有相同的離心率， 所以橢圓 C2 的焦點在 y 軸上，2b2=4，e2=c2a2=32， 所以 b2=2，a2=4， 所以橢圓 C2 的方程為 y216+x24=1． ??????（2） 設(shè) A，B 的坐標分別為 xA,yA，xB,yB， 因為 OB=2OA， 所以 O，A，B 三點共線，

21、 當斜率不存在時，OB=2OA 不成立， 所以點 A，B 不在 y 軸上， 當斜率存在時，設(shè) AB 的方程為 y=kx， 將 y=kx 代入 x24+y2=1，消元可得 1+4k2x2=4， 所以 xA2=41+4k2， 將 y=kx 代入 y216+x24=1，消元可得 4+k2x2=16， 所以 xB2=164+k2， 因為 OB=2OA， 所以 xB2=4xA2， 所以 164+k2=161+4k2，解得 k=±1， 所以直線 AB 的方程為 y=±x． 20. （1） 由題意可得 2a=6， 所以 a=3． 由橢圓 C 與圓 M：x?22+y2=409 的公

22、共弦長為 4103， 恰為圓 M 的直徑， 可得橢圓 C 經(jīng)過點 2,±2103， 所以 49+409b2=1， 解得 b2=8． 所以橢圓 C 的方程為 x29+y28=1． ??????（2） 直線 l 的解析式為 y=kx+1，設(shè) Ax1,y1，Bx2,y2， AB 的中點為 Ex0,y0． 假設(shè)存在點 Dm,0，使得 △ADB 為以 AB 為底邊的等腰三角形，則 DE⊥AB． 由 y=kx+1,x29+y28=1 得，8+9k2x2+18kx?63=0， Δ>0 恒成立，所以 x1+x2=?18k8+9k2， 所以 x0=?9k8+9k2，y0=kx0+1=88+9k2． 因為 DE⊥AB，所以 kDE=?1k， 即 88+9k2?0?9k8+9k2?m=?1k， 所以 m=?k8+9k2=?19k+8k． 當 k>0 時，9k+8k≥29×8=122， 所以 ?224≤m<0． 綜上所述，在 x 軸上存在滿足題目條件的點 D，且點 D 的橫坐標的取值范圍為 ?224,0． 第9頁（共9 頁）