線性代數(shù)《特征值與特征向量》自測題及答案
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線性代數(shù)《特征值與特征向量》自測題及答案
第五章特征值與特征向量自測題(100分鐘)一、填空題:(共20分,每小題4分)(1)設三階矩陣 的特征值為1,1,2,則1的特征值為( );*的特征值為( );(3+)的特征值為( )。(2)設三階矩陣0,則的全部特征向量為( )。(3)若E,則( )。(4)已知與相似,則=( ),=( )。(5)設三階實對稱矩陣的特征值是1,2,3,矩陣的屬于特征值1,2的特征向量分別是,則的屬于特征值3的特征向量是( )。二、選擇題(共20分,每小題4分)(1)設=,則向量=( )是的屬于特征值的一個特征向量。(A); (B); (C); (D)(2)矩陣A與矩陣( )相似。(A); (B); (C); (D)(3)下述結論正確的有( )。(A)階矩陣可對角化的充分必要條件是有個互不相同的特征值;(B)階矩陣可對角化的必要條件是有個互不相同的特征值;(C)有相同特征值的兩個矩陣一定相似;(D)相似的矩陣一定有相同的特征值。(4)下述結論正確的有( ),其中為階矩陣。(A)方程的每一個解向量都是對應于特征值的特征向量;(B)若為方程的一個基礎解系,則(為非零常數(shù))是的屬于特征值的全部的特征向量;(C)與有相同的特征值和相同的特征向量;(D)與有相同的特征多項式。 (5)設有3個線性無關的特征向量,則應滿足條件( )(A);(B);(C);(D)。三、計算題(每小題15分,共45分)(1)(共15分)設A為三階矩陣,是線性無關的三維列向量,且滿足:+, (5分)求矩陣B,使得:(,)=(,)B;(5分)求矩陣的特征值;(5分)求可逆矩陣,使得為對角形矩陣。(2)(共15分)設三階實對稱矩陣的秩為2,是的二重特征值。若,都是的屬于特征值6的特征向量。(7分)求的另一特征值和對應的特征向量;(8分)求矩陣。(3)(共15分)設三階實對稱矩陣的各行元素之和均為3,向量,是齊次線性方程組的兩個解。(5分)求的特征值與特征向量; (5分)求正交矩陣和對角矩陣,使;(5分)求及,其中為三階單位矩陣四、證明題(共15分,每小題5分)(1)(5分)設是n階正交矩陣,且,則是的一個特征值。(2)(5分)設是矩陣的兩個不同的特征值,對應的特征向量分別為,則, 線性無關的充分必要條件是:。(3)(5分)設為階矩陣,且存在向量,有,令:,的線性相關性,并加以證明。第五章特征值與特征向量自測題參考答案一、填空題(1);。(2),其中,(為不全為零的任意常數(shù))。(3)。(4)(5),(為非零常數(shù))。二、選擇題(1)C; (2)C; (3)D; (4)D; (5)B。三、計算題: (1)解:( )( ) =(+ 2+ 2+3) =( ) =( ) (5分)( )( )又, ,線性無關,( )可逆,( )( ),與相似,即與有相同的特征值,而的特征值為:1,1,4(10分) 當解之,一個基礎解系為: 當解之,一個基礎解系為:令(,)則令( )( ) =(2- 2- +)則(15分)(2)解:是的二重特征值,的屬于特征性6的線性無關的特征向量有2個,由題設知:,為的屬于特征值6的線性無關的特征向量。又r, ,的另一特征值,設的所對應的特征向量為:,則有:即:()解(),得一基礎解系為:,故的屬于特征值的全部特征向量為:,令(,)則有:= = =(3)解: 是的特征向量。又都是的解,說明它們也都是的特征向量,特征值為0;由于線性無關,特征值0的重數(shù)大于1,于是的特征值為:3,0,0;屬于3的特征向量為:;屬于0的特征向量為:不全為零); 將單位化,得:,對施密特正交化,得:,令:,則是正交矩陣,并且(,)=(3,) 即:=解上面這個矩陣方程,得: 另外, 四、證明題:(1)證明: 是正交矩陣,又 ,即:是的一個特征值。 (2)證明:設有一組數(shù),使 即:又, 式為: 由于已知線性無關,式成立當且僅當: 解齊次線性方程組,由于其系數(shù)行列式為: ,由于當且僅當僅有零解:故線性無關的充分必要條件是 (3)證明: , 1,2,是階矩陣的個不同的特征值,而是 的分別屬于1,2,的線性無關的特征向量。又 設有一組數(shù):使得: 即:也即: 由于線性無關,故式成立當且僅當: 齊次線性方程組的系數(shù)行列式:=1+當為偶數(shù)時,=1+(-1)=0,有非零解; 當為奇數(shù)時,=1+1=20,僅有零解;由式有:當為偶數(shù)時,線性相關,當為奇數(shù)時,線性無關。