線性代數(shù)《特征值與特征向量》自測題及答案

第五章特征值與特征向量自測題（100分鐘）一、填空題：（共20分，每小題4分）（1）設三階矩陣 的特征值為1，1，2，則1的特征值為（ ）；*的特征值為（ ）；（3+）的特征值為（ ）。（2）設三階矩陣0，則的全部特征向量為（ ）。（3）若E，則（ ）。（4）已知與相似，則=（ ），=（ ）。（5）設三階實對稱矩陣的特征值是1，2，3，矩陣的屬于特征值1，2的特征向量分別是，則的屬于特征值3的特征向量是（ ）。二、選擇題（共20分，每小題4分）（1）設=，則向量=（ ）是的屬于特征值的一個特征向量。（A）； （B）； （C）； （D）（2）矩陣A與矩陣（ ）相似。（A）； （B）； （C）； （D）（3）下述結論正確的有（ ）。（A）階矩陣可對角化的充分必要條件是有個互不相同的特征值；（B）階矩陣可對角化的必要條件是有個互不相同的特征值；（C）有相同特征值的兩個矩陣一定相似；（D）相似的矩陣一定有相同的特征值。（4）下述結論正確的有（ ），其中為階矩陣。（A）方程的每一個解向量都是對應于特征值的特征向量；（B）若為方程的一個基礎解系，則（為非零常數(shù)）是的屬于特征值的全部的特征向量；（C）與有相同的特征值和相同的特征向量；（D）與有相同的特征多項式。 （5）設有3個線性無關的特征向量，則應滿足條件（ ）（A）；（B）；（C）；（D）。三、計算題（每小題15分，共45分）（1）（共15分）設A為三階矩陣，是線性無關的三維列向量，且滿足：+， （5分）求矩陣B，使得：（，）=（，）B；（5分）求矩陣的特征值；（5分）求可逆矩陣，使得為對角形矩陣。（2）（共15分）設三階實對稱矩陣的秩為2，是的二重特征值。若，都是的屬于特征值6的特征向量。（7分）求的另一特征值和對應的特征向量；（8分）求矩陣。（3）（共15分）設三階實對稱矩陣的各行元素之和均為3，向量，是齊次線性方程組的兩個解。（5分）求的特征值與特征向量； （5分）求正交矩陣和對角矩陣，使；（5分）求及，其中為三階單位矩陣四、證明題（共15分，每小題5分）（1）（5分）設是n階正交矩陣，且，則是的一個特征值。（2）（5分）設是矩陣的兩個不同的特征值，對應的特征向量分別為，則， 線性無關的充分必要條件是：。（3）（5分）設為階矩陣，且存在向量，有，令：，的線性相關性，并加以證明。第五章特征值與特征向量自測題參考答案一、填空題（1）；。（2），其中，（為不全為零的任意常數(shù)）。（3）。（4）（5），（為非零常數(shù)）。二、選擇題（1）C； （2）C； （3）D； （4）D； （5）B。三、計算題： （1）解：（ ）（ ） =（+ 2+ 2+3） =（ ） =（ ） （5分）（ ）（ ）又, ,線性無關，（ ）可逆，（ ）（ ），與相似，即與有相同的特征值，而的特征值為：1，1，4（10分） 當解之，一個基礎解系為： 當解之，一個基礎解系為：令（，）則令（ ）（ ） =（2- 2- +）則（15分）（2）解：是的二重特征值，的屬于特征性6的線性無關的特征向量有2個，由題設知：，為的屬于特征值6的線性無關的特征向量。又r， ，的另一特征值，設的所對應的特征向量為：，則有：即：（）解（），得一基礎解系為：，故的屬于特征值的全部特征向量為：，令（，）則有：= = =（3）解： 是的特征向量。又都是的解，說明它們也都是的特征向量，特征值為0；由于線性無關，特征值0的重數(shù)大于1，于是的特征值為：3，0，0；屬于3的特征向量為：；屬于0的特征向量為：不全為零）； 將單位化，得：，對施密特正交化，得：，令：，則是正交矩陣，并且（，）=（3，） 即：=解上面這個矩陣方程，得： 另外， 四、證明題：（1）證明： 是正交矩陣，又 ，即：是的一個特征值。 （2）證明：設有一組數(shù)，使 即：又， 式為： 由于已知線性無關，式成立當且僅當： 解齊次線性方程組，由于其系數(shù)行列式為： ，由于當且僅當僅有零解：故線性無關的充分必要條件是 （3）證明： ， 1，2，是階矩陣的個不同的特征值，而是 的分別屬于1，2，的線性無關的特征向量。又 設有一組數(shù)：使得： 即：也即： 由于線性無關，故式成立當且僅當： 齊次線性方程組的系數(shù)行列式：=1+當為偶數(shù)時，=1+（-1）=0，有非零解； 當為奇數(shù)時，=1+1=20，僅有零解；由式有：當為偶數(shù)時，線性相關，當為奇數(shù)時，線性無關。