《線性代數(shù)《特征值與特征向量》自測(cè)題及答案》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《線性代數(shù)《特征值與特征向量》自測(cè)題及答案(8頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第五章特征值與特征向量自測(cè)題(100分鐘)一、填空題:(共20分,每小題4分)(1)設(shè)三階矩陣 的特征值為1,1,2,則1的特征值為( );*的特征值為( );(3+)的特征值為( )。(2)設(shè)三階矩陣0,則的全部特征向量為( )。(3)若E,則( )。(4)已知與相似,則=( ),=( )。(5)設(shè)三階實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值是1,2,3,矩陣的屬于特征值1,2的特征向量分別是,則的屬于特征值3的特征向量是( )。二、選擇題(共20分,每小題4分)(1)設(shè)=,則向量=( )是的屬于特征值的一個(gè)特征向量。(A); (B); (C); (D)(2)矩陣A與矩陣( )相似。(A); (B); (C);
2、(D)(3)下述結(jié)論正確的有( )。(A)階矩陣可對(duì)角化的充分必要條件是有個(gè)互不相同的特征值;(B)階矩陣可對(duì)角化的必要條件是有個(gè)互不相同的特征值;(C)有相同特征值的兩個(gè)矩陣一定相似;(D)相似的矩陣一定有相同的特征值。(4)下述結(jié)論正確的有( ),其中為階矩陣。(A)方程的每一個(gè)解向量都是對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量;(B)若為方程的一個(gè)基礎(chǔ)解系,則(為非零常數(shù))是的屬于特征值的全部的特征向量;(C)與有相同的特征值和相同的特征向量;(D)與有相同的特征多項(xiàng)式。 (5)設(shè)有3個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量,則應(yīng)滿足條件( )(A);(B);(C);(D)。三、計(jì)算題(每小題15分,共45分)(1)(共15
3、分)設(shè)A為三階矩陣,是線性無(wú)關(guān)的三維列向量,且滿足:+, (5分)求矩陣B,使得:(,)=(,)B;(5分)求矩陣的特征值;(5分)求可逆矩陣,使得為對(duì)角形矩陣。(2)(共15分)設(shè)三階實(shí)對(duì)稱矩陣的秩為2,是的二重特征值。若,都是的屬于特征值6的特征向量。(7分)求的另一特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量;(8分)求矩陣。(3)(共15分)設(shè)三階實(shí)對(duì)稱矩陣的各行元素之和均為3,向量,是齊次線性方程組的兩個(gè)解。(5分)求的特征值與特征向量; (5分)求正交矩陣和對(duì)角矩陣,使;(5分)求及,其中為三階單位矩陣四、證明題(共15分,每小題5分)(1)(5分)設(shè)是n階正交矩陣,且,則是的一個(gè)特征值。(2)(5分)
4、設(shè)是矩陣的兩個(gè)不同的特征值,對(duì)應(yīng)的特征向量分別為,則, 線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是:。(3)(5分)設(shè)為階矩陣,且存在向量,有,令:,的線性相關(guān)性,并加以證明。第五章特征值與特征向量自測(cè)題參考答案一、填空題(1);。(2),其中,(為不全為零的任意常數(shù))。(3)。(4)(5),(為非零常數(shù))。二、選擇題(1)C; (2)C; (3)D; (4)D; (5)B。三、計(jì)算題: (1)解:( )( ) =(+ 2+ 2+3) =( ) =( ) (5分)( )( )又, ,線性無(wú)關(guān),( )可逆,( )( ),與相似,即與有相同的特征值,而的特征值為:1,1,4(10分) 當(dāng)解之,一個(gè)基礎(chǔ)解系為: 當(dāng)解
5、之,一個(gè)基礎(chǔ)解系為:令(,)則令( )( ) =(2- 2- +)則(15分)(2)解:是的二重特征值,的屬于特征性6的線性無(wú)關(guān)的特征向量有2個(gè),由題設(shè)知:,為的屬于特征值6的線性無(wú)關(guān)的特征向量。又r, ,的另一特征值,設(shè)的所對(duì)應(yīng)的特征向量為:,則有:即:()解(),得一基礎(chǔ)解系為:,故的屬于特征值的全部特征向量為:,令(,)則有:= = =(3)解: 是的特征向量。又都是的解,說(shuō)明它們也都是的特征向量,特征值為0;由于線性無(wú)關(guān),特征值0的重?cái)?shù)大于1,于是的特征值為:3,0,0;屬于3的特征向量為:;屬于0的特征向量為:不全為零); 將單位化,得:,對(duì)施密特正交化,得:,令:,則是正交矩陣,并
6、且(,)=(3,) 即:=解上面這個(gè)矩陣方程,得: 另外, 四、證明題:(1)證明: 是正交矩陣,又 ,即:是的一個(gè)特征值。 (2)證明:設(shè)有一組數(shù),使 即:又, 式為: 由于已知線性無(wú)關(guān),式成立當(dāng)且僅當(dāng): 解齊次線性方程組,由于其系數(shù)行列式為: ,由于當(dāng)且僅當(dāng)僅有零解:故線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是 (3)證明: , 1,2,是階矩陣的個(gè)不同的特征值,而是 的分別屬于1,2,的線性無(wú)關(guān)的特征向量。又 設(shè)有一組數(shù):使得: 即:也即: 由于線性無(wú)關(guān),故式成立當(dāng)且僅當(dāng): 齊次線性方程組的系數(shù)行列式:=1+當(dāng)為偶數(shù)時(shí),=1+(-1)=0,有非零解; 當(dāng)為奇數(shù)時(shí),=1+1=20,僅有零解;由式有:當(dāng)為偶數(shù)時(shí),線性相關(guān),當(dāng)為奇數(shù)時(shí),線性無(wú)關(guān)。