《結構力學》龍馭球10動力學.ppt

第 10 章,結構動力計算基礎,高聳結構,10-1 動力計算的特點和動力自由度,1、結構動力計算的特點, 動力荷載與靜力荷載的區(qū)別,“靜力荷載”是指其大小、方向和作用位置不隨時間而變化的荷載?；蛘吆奢d雖隨時間變化但變得很慢，對結構的影響與靜力荷載比相差甚徵，這類荷載對結構產生的慣性力可以忽略不計，仍屬于靜力荷載。由它所引起的內力和變形都是確定的。,“動力荷載”是指其大小、方向和作用位置隨時間而變化的荷載。這類荷載對結構產生的慣性力不能忽略，因動力荷載將使結構產生相當大的加速度，由它所引起的內力和變形都是時間的函數(shù)。, 動力計算與靜力計算的的區(qū)別,兩者都是建立平衡方程，但動力計算，根據達朗伯原理利用動靜法，建立的是形式上的平衡方程，力系中包含了慣性力；考慮的是瞬間平衡，荷載、內力都是時間的函數(shù)。建立的平衡方程是微分方程。,動力計算的內容：研究結構在動力荷載作用下的動力反應（內力、位移、速度、加速度及慣性力等）的計算原理和方法。,簡諧荷載（按正余弦規(guī)律變化）,一般周期荷載,2、動力荷載分類,動力計算涉及到內外兩方面的因素： 1）確定動力荷載（外部因素，即干擾力）； 2）確定結構的動力特性（內部因素，如結構的自振頻率、周期、振型和阻尼等等）；,3）計算動位移及其幅值；計算動內力及其幅值。,按變化規(guī)律及其作用特點可分為： 周期荷載：,荷載隨時間作周期性變化。最簡單也是最重要的一種稱為簡諧荷載，荷載FP (t )隨時間t 的變化規(guī)律可用正弦或余弦函數(shù)表示，如轉動電機的偏心力。其他的周期荷載可稱為非簡諧性的周期荷載。,結構動力學的任務 討論結構在動力荷載作用下反應的分析的方法。尋找結構固有動力特性、動力荷載和結構反應三者間的相互關系，即結構在動力荷載作用下的反應規(guī)律，為結構的動力可靠性（安全、舒適）設計提供依據。, 隨機荷載：, 沖擊荷載：,tr,FP,tr,FP,短時內急劇增大或急劇減小。（如爆炸荷載）,荷載在將來任一時刻的數(shù)值無法事先確定。稱為非確定性荷載，或稱為隨機荷載（如地震荷載、風荷載）。,3、動力計算中體系的自由度 確定體系上全部質量位置所需獨立參數(shù)的個數(shù)稱為體系的振動自由度。,實際結構的質量都是連續(xù)分布的，嚴格地說來都是無限自由度體系。計算困難，常作簡化如下： 集中質量法 把連續(xù)分布的質量集中為幾個質點，將一個無限自由度的問題簡化成有限自由度問題。,m,m m梁,m,+m梁,I,I,2I,m,+m柱,廠房排架水平振動時的計算簡圖,單自由度體系,2個自由度,2個自由度,自由度與質量數(shù)不一定相等,4個自由度,m1,m2,m3,2個自由度,水平振動時的計算體系,多自由度體系,構架式基礎頂板簡化成剛性塊,(t),v(t),u(t),無限自由度體系,自由度的確定舉例:,W=2,W=2,*彈性支座不減少動力自由度,*為減少動力自由度，梁與剛架不 計軸向變形。,W=1,5),W=2,*自由度數(shù)與質點個數(shù)無關，但不大于質點個數(shù)的2倍。,W=2,W=1,8) 平面上的一個剛體,W=3,9)彈性地面上的三維剛體,W=6,W=2,W=1,W=13,*自由度為1的體系稱作單自由度體系； 自由度大于1的體系稱作多（有限）自由度體系； 自由度無限多的體系為無限自由度體系。,（4）自由度為1的體系稱作單自由度體系； 自由度大于1的體系稱作多(有限）自由度體系； 自由度無限多的體系為無限自由度體系自由度。,（3）自由度數(shù)與質點個數(shù)無關，但不大于質點個數(shù)的2倍。,（1）彈性支座不減少動力自由度。,（2）為減少動力自由度，梁與剛架不計軸向變形。,確定動力計算自由度時應注意以下幾點:, 廣義坐標法：,假定結構的位移曲線用一系列已知且滿足邊界條件的位移函數(shù)之和來表示。如具有分布質量 m 的簡支梁是一個具有無限自由度的體系，簡支梁的撓度曲線可用三角級數(shù)來表示：,用幾條函數(shù)曲線來描述體系的振動曲線就稱它是幾個自由度體系，其中,是根據邊界約束條件選取的函數(shù)，稱為形狀函數(shù)。,ak (t) 稱廣義坐標，為一組待定參數(shù)，其個數(shù)即為自由度數(shù)，若式中所需確定的參數(shù)a k 只取有限項，則簡支梁被簡化為有限,自由度體系。 ( 此法可將無限自由度體系簡化為有限自由度體系),這樣，就簡化為有限自由度體系。,如右圖所示煙囪原來也是一個具有無限自由度的體系，由于底部是固定端，因此 x = 0 處，撓度 y 及轉角 應為零。 根據上述位移邊界條件，撓度曲線近似設為, 有限元法：,有限單元法可以看作為廣義坐標的一種特殊應用。將結構分成若干個單元。單元的結點位移作為基本未知量（廣義坐標）。整個結構的位移曲線則借助于給定的形狀函數(shù)疊加而得。,1(x),2(x),如圖10-9a中，梁分為5個單元，取結點位移參數(shù)（撓度y 和轉角）作為廣義坐標。在圖10-9a中取中間四個結點的八個位移參數(shù) y1、1，y2、2，y3、3，y4、4 作廣義坐標。,通過以上步驟，梁即轉化為具有八個自由度的體系。可看出，有限元法綜合了集中質量法和廣義坐標法的某些特點。,每個結點位移參數(shù)只在相鄰兩個單元內引起撓度。在圖10-9 b 和 c中分別給出結點位移參數(shù) y1 和1 相應的形狀函數(shù)1(x) 和2(x)。 梁的撓度可用八個廣義坐標及其形狀函數(shù)表示如下：,第10章 所有習題動力自由度數(shù)的判斷，寫在課本上,補充 體系運動微分方程的建立,要了解和掌握結構動力反應的規(guī)律，必須首先建立描述結構運動的（微分）方程。建立運動方程的方法很多，常用的有虛功法、變分法等。下面介紹建立在達朗泊爾原理基礎上的“動靜法”。,運動方程,慣性力,形式上的平衡方程，實質上的運動方程,n 次超靜定結構,基本結構在荷載作用下發(fā)生的 沿Xi方向的 位移,基本結構在Xj=1作用下發(fā)生的沿Xi方向的 位移,假設原結構沿Xi方向的位移為零,位移的地點,產生位移的原因,n 次超靜定結構,3） 表示柔度，只與結構本身和基本未知力的選擇有關，與外荷載無關；,4）柔度系數(shù)及其性質,主系數(shù),副系數(shù),5) 最后內力,一、柔度法,柔度系數(shù),柔度法步驟： 1.在質量上沿位移正向加慣性力； 2.求外力和慣性力引起的位移； 3.令該位移等于體系位移。,柔度法實質： 從變形協(xié)調角度建立運動 微分方程,思路類同于力法 方程的建立。,二、剛度法,剛度系數(shù),剛度法步驟： 1.在質量上沿位移正向加慣性力； 2.求發(fā)生位移y所需之力； 3.令該力等于體系外力和慣性力。,柔度法步驟： 1.在質量上沿位移正向加慣性力； 2.求外力和慣性力引起的位移； 3.令該位移等于體系位移。,剛度法實質： 從靜力平衡角度建立運動 微分方程,思路類同于位移 法方程的建立。,柔度法實質： 從變形協(xié)調角度建立運動 微分方程,思路類同于力法 方程的建立。,三、列運動方程例題(1),例1.,l,將系數(shù)代入并整理后:,例2.,將系數(shù)代入并整理后:,柔度法步驟： 1.在質量上沿位移正向加慣性力； 2.求外力和慣性力引起的位移； 3.令該位移等于體系位移。,k11 1+ k12 2+ + k1n n+F1P= 0,k21 1+ k22 2 + + k2n n+F2P= 0, ,kn1 1+ kn2 2+ + knn n+FnP= 0,具有n個獨立結點位移的超靜定結構：,位移法典型方程的物理意義：結點附加約束的反力之和等于零，所以方程右端恒等于零。位移法典型方程也是平衡方程。,剛度矩陣中的系數(shù)稱為剛度系數(shù)：,對稱方陣,主系數(shù),副系數(shù),約束的地點,產生反力的原因,基本結構j處附加約束發(fā)生單位位移在i處產生的約束反力,層間側移剛度,對于帶剛性橫梁的剛架(剪切型剛架), 當兩層之間發(fā)生相對單位水平位移時,兩 層之間的所有柱子中的剪力之和稱作該 層的層間側移剛度.,層間側移剛度,對于帶剛性橫梁的剛架(剪切型剛架), 當兩層之間發(fā)生相對單位水平位移時,兩 層之間的所有柱子中的剪力之和稱作該 層的層間側移剛度.,三、列運動方程例題(1),例3.,經整理后,得:,三、列運動方程例題(1),例4.,三、列運動方程例題(1),列運動方程時可不考慮重力影響,例5.,-FP(t)引起的動位移,-重力引起的位移,質點的總位移為,加速度為,例6 建立圖示體系的運動方程,思考題?,例7 建立圖示體系的運動方程,方法2:,方法1:,三、列運動方程例題(2),例8.,=,簡記為,位移向量,柔度矩陣,荷載向量,質量矩陣,例9.,=,剛度矩陣,10-2 單自由度體系的自由振動,自由振動：體系在振動過程中沒有動荷載的作用。,自由振動產生原因：體系在初始時刻（t = 0）受到外界的干擾。,研究單自由度體系的自由振動重要性在于：,1、它代表了許多實際工程問題，如水塔、單層廠房等。,2、它是分析多自由度體系的基礎，包含了許多基本概念。,自由振動反映了體系的固有動力特性。,要解決的問題包括：,建立運動方程、計算自振頻率、周期和阻尼 .,1、自由振動微分方程的建立,方法：達朗伯原理,應用條件：微幅振動（線性微分方程）, 剛度法：研究作用于被隔離的質量上的力，建立平衡方程。,m,k,彈簧模型,由平衡位置計量。以位移為未知量的平衡方程式，引用了剛度系數(shù)，稱剛度法。,m,如圖所示的懸臂立柱頂部有一重物，質量為m。設柱本身質量比 m 小得多，可忽略不計。因此，體系只有一個自由度。,設由于外界干擾，質點 m 離開靜止的平衡位置。干擾消失后，由于柱彈性力的影響，質點m 沿水平方向產生自由振動，在任一時刻 t質點的水平位移為 y (t)。,取質量 m 在振動中位置為 y 時的狀態(tài)作隔離體，其上作用有慣性力 ,與加速度 反向；彈性力 與位移 反向。,動力平衡法（達朗伯原理）：,考慮質點上力系的平衡, 柔度法：研究結構上質點的位移，建立位移協(xié)調方程。,可得與剛度法相同的方程,剛度法常用于剛架類結構，柔度法常用于梁式結構。,m,k,慣性力：,2、自由振動微分方程的解,改寫為,其中,它是二階線性齊次微分方程，其一般解為：,積分常數(shù)C1，C2 由初始條件確定。,設 t = 0 時：,（d）式可以寫成,由式可知，位移是由初位移 y 引起的余弦運動和由初速度v 引起的正弦運動的合成，為了便于研究合成運動,令,(103)式改寫成,它表示合成運動仍是一個簡諧運動。其中A 和 可由下式確定,振幅,相位角,m,k,3、結構的自振周期,由式,及圖，可見位移方程是一個周期函數(shù)。,周 期：,工程頻率：,圓頻率：,計算頻率和周期的幾種形式：,頻率和周期的討論：, 只與結構的質量與剛度有關，與外界干擾無關；, 與m 的平方根成正比，與 k 成反比，據此可改變周期；, 是結構動力特性的重要數(shù)量標志。,例10-1、計算圖示結構的頻率和周期。, 計算豎向振動周期, 計算水平振動周期,例10-2、圖示結構桿頂有重物，其重量為W，分別求水平和豎向振動的周期。,例10-3、計算圖示剛架的頻率和周期。,由截面平衡條件：,例 計算圖示體系的自振頻率。,練習10.1：結構柔度系數(shù)或剛度系數(shù)的求解。,一端鉸結的桿的側移剛度為：,兩端剛結的桿的側移剛度為：,l/8,l/8,練習10-2、圖示三根單跨梁，EI為常數(shù)，在梁中點有集中質量m，不考慮梁的質量，試比較三者的自振頻率。,解：求柔度系數(shù),l/8,l/2,據此可得：1 2 3= 1 1.512 2,結構約束越強,其剛度越大,剛度越大,其自振動頻率也越大。,習題10-3,10-4,例、計算圖示剛架的頻率和周期。,由截面平衡條件：,質點沿振動方向發(fā)生單位位移在質點處沿振動方向所需要施加的力,質點沿振動方向的附加約束發(fā)生單位位移在質點處產生的約束反力,例、求圖示結構的自振圓頻率。,解法1：求 k,= 1/h,MBA= kh = MBC,解法2：求 ,h,例、求圖示結構的自振圓頻率,例.質點重W,求體系的頻率和周期.,解:,彈簧的并聯(lián)與串聯(lián),（1）彈簧并聯(lián),（2）彈簧串聯(lián),K 發(fā)生單位位移所需施加的力,1, 單位力作用下質點發(fā)生的位移,2,例、求圖示結構的自振圓頻率。設彈簧墊的剛度系數(shù),解:,例、計算圖示剛架的頻率。（忽略柱子的質量）,解:,