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1、第6章 二維油藏的數(shù)值模擬方法,二維單相流的數(shù)值模擬方法 二維油水兩相流的數(shù)值模擬方法,第一節(jié) 二維單相流的數(shù)值模擬方法,一 、數(shù)學(xué)模型 1. 假設(shè)條件 1) 符合達(dá)西滲流定律 2) 等溫滲流 3) 單相流體流動 4) 二維(x,y)平面流動 5) 巖石不可壓縮，流體微可壓縮 6) 油藏非均質(zhì)和各向異性 7) 不考慮重力,(1),2. 質(zhì)量守恒方程,由三維單相質(zhì)量守恒方程逐步簡化到上述假設(shè)條件。,1) 三維單相非均質(zhì)油藏可壓縮流體和巖石,2) 二維(x,y)單相非均質(zhì)油藏各向異性，可壓縮流體和巖石,3) 二維(x,y)單相非均質(zhì)油藏各向異性，巖石不可壓縮，流體微可壓縮,I.C,假
2、設(shè)矩形或正方形邊界的油藏中有一口或若干口井生產(chǎn)或注入，求油藏中的壓力分布。 3. 初始條件和邊界條件,定壓,封閉,B.C 1) 外邊界,定產(chǎn),定流壓,2) 內(nèi)邊界,式中點源函數(shù) 0 網(wǎng)格塊中無井 1 網(wǎng)格塊中有井,Pwf或Piwf,可求以下問題： 1. 定壓外邊界條件下 1) 內(nèi)邊界定產(chǎn)，求不同時間的油藏內(nèi)壓力分布和井底流壓。 2)內(nèi)邊界定流壓，求不同時間的油藏內(nèi)壓力分布和產(chǎn)量。 2. 封閉外邊界條件下 1) 內(nèi)邊界定產(chǎn)，求不同時間的油藏內(nèi)壓力分布和井底流壓。 2) 內(nèi)邊界定流壓，求不同時間的油藏內(nèi)壓力分布和產(chǎn)量。,二、差分方程組的建立 1. 對（1）式左端第一項進(jìn)行二階差商
3、,令,則,,(2),(3),（4）,2. 對（1）式左端第二項進(jìn)行二階差商 同（2）式可得,3. 對（1）式右端進(jìn)行一階差商,則差分方程組為 （2）（3）qv（4）,（5）,兩端乘以,令,得隱式差分方程組為,若采用行標(biāo)準(zhǔn)排列,其中Nx為x方向的網(wǎng)格數(shù) 令,(6),則（5）式可寫為,三、不同內(nèi)外邊界條件下的壓力線性代數(shù)方程組,1. 外邊界定壓、內(nèi)邊界定產(chǎn) 假設(shè)取點中心網(wǎng)格。x方向為Nx個網(wǎng)格,y方向為Ny個網(wǎng)格.,1) 由于外邊界定壓，則邊界壓力可以不進(jìn)行計算，只要計算內(nèi)部各個節(jié)點（Nx-2）（Ny-2）的壓力,2) 計算,3) 計算,k從內(nèi)部節(jié)點按行標(biāo)準(zhǔn)排列開始算。,4) 列出系數(shù)矩陣方程
4、，解五對角系數(shù)矩陣方程可得P。 5) 已知Qv，可利用產(chǎn)量方程求出Pwf。若各向同性，正方形網(wǎng)格，其產(chǎn)量公式為：,2. 外邊界定壓，內(nèi)邊界定流動壓力。 網(wǎng)格取法同1。,1) 由于外邊界定壓，則邊界壓力可以不進(jìn)行計算，只要計算內(nèi)部各個節(jié)點（Nx-2）（Ny-2）的壓力,2) 計算,Pi,j有兩種處理方法,用n時刻的數(shù)值，即 為已知，稱為顯式處理，Qv 為 已知。,用n+1時刻的值，即 為 未知值，稱為隱式處理。需將產(chǎn)量部分系數(shù)的未知數(shù)放到方程左邊，已知數(shù)放在方程右邊。,令,3) 計算,4) 列出系數(shù)矩陣方程，解五對角系數(shù)矩陣方程可得P。 5) 已知Pi,j和Pwf，可利用產(chǎn)量公式計算Qv。,
5、3. 外邊界封閉，內(nèi)邊界定產(chǎn),假設(shè)取塊中心網(wǎng)格。x方向為Nx個網(wǎng)格, y方向為Ny個網(wǎng)格。,即,即,1) 外邊界封閉處理方法,根據(jù)達(dá)西定律，網(wǎng)格塊之間的流動速度,因此有兩種方法處理封閉邊界。,為此在邊界外虛擬一圈網(wǎng)格，并令其與邊界網(wǎng)格壓力 值相等。,加上虛擬網(wǎng)格后，總節(jié)點數(shù)為(Nx+2)(Ny+2) ，需求 的節(jié)點數(shù)為NxNy 。,在虛擬網(wǎng)格中假設(shè),當(dāng)網(wǎng)格間用調(diào)和平均取 時，則為零，因此,2) 計算,3) 計算,4) 列出系數(shù)矩陣方程，解五對角系數(shù)矩陣方程可得P。 5) 已知Qv，可利用產(chǎn)量方程求出Pwf。,4. 外邊界封閉，內(nèi)邊界定流壓,網(wǎng)格取法和邊界條件表達(dá)式同3。 1) 外
6、邊界封閉的處理方法同3。 2) 計算,3) 計算,4) 列出系數(shù)矩陣方程，解五對角系數(shù)矩陣方程可得P。 5) 已知Pi,j和Pwf，可利用產(chǎn)量公式計算Qv。,四、計算框圖,程序三,已知：正方形地層中心有一口井，其油藏和生產(chǎn)參數(shù)如下： 要求：編制二維單相流數(shù)值模擬計算程序，分別計算四種內(nèi)外邊界條件下的壓力分布及定井底流壓下的產(chǎn)量和定產(chǎn)量下的井底流壓。 取,第二節(jié) 二維油水兩相流的數(shù)值模擬方法,一 、數(shù)學(xué)模型 1. 假設(shè)條件 1) 符合達(dá)西滲流定律 2) 等溫滲流 3) 油水兩相流動，油水兩組分，油組分僅在油相中，水組分僅在水相中 4) 二維(x,y)平面流動 5)巖石和流體均可壓縮
7、 6) 油藏非均質(zhì)和各向異性 7) 考慮毛管力，不考慮重力,2. 組分質(zhì)量守恒方程,1) 三維油水兩相兩組分,2) 二維(x,y)油水兩相兩組分,3. 輔助方程,3. 初始條件和邊界條件 假設(shè)矩形或正方形邊界的油藏中有一口或若干口井生產(chǎn)或注入，求油藏中的壓力和飽和度分布。,I.C,B.C 1) 外邊界,定壓,封閉,2) 內(nèi)邊界,定產(chǎn),式中 點源函數(shù) 定流壓,Pwf 或 Piwf 可求不同內(nèi)外邊界條件下，不同時間的油藏內(nèi)壓力和飽和度分布和井底流壓（定產(chǎn)）或產(chǎn)量（定流壓）。,式中,令,則,二、差分方程組的建立,1. 方程（1）、（2）的右端項,其中 平均油藏壓力,其中,對（5）、（6
8、）式進(jìn)行一階差商,（7）,（8）,(9),2. 方程（1）、（2）左端項,令,代入方程（1）的左端項,（9）qo（7） （10）,3. 油組分方程（1）的差分形式為：,兩邊同乘以,令,(11),（10）式可寫為：,經(jīng)整理得：,(12),4. 水組分方程（2）的差分形式為：,為了IMPES方法書寫簡便,,令,（13）、（14）中有四類未知數(shù)Po 、Pw 、So 、Sw，采用IMPES方法，首先建立隱式壓力方程，然后建立顯式飽和度方程。,三、隱式壓力方程的建立,1. 思路 1) 乘以適當(dāng)?shù)南禂?shù)，合并（13）（14）式以消除SW，SO得到只含變量PO，PW的壓力方程。 2) 由毛管壓力公式PC=PO
9、-PW，得到只含變量PO的壓力方程。 3) 達(dá)西系數(shù)項及毛管壓力采用上一時間值，因此可得只含變量PO的線性 代數(shù) 方程組。 4) 解線性代數(shù)方程組后，求得 ，再求 5) 將 代入方程（14），則可顯式求得 。,(15),2. 具體算法,令,A. (14)+(13) 得到Po 、Pw 方程,(16),若用 代入（15）中，則可得到 方程。,式中,由（16）式根據(jù)不同的內(nèi)外邊界條件，解五對角系數(shù)矩陣方程，可得 ，然后求得,四、顯式飽和度方程的建立,（17）,式中,求得 后，即可計算,將 代入方程（14），可得,五、計算框圖,,打印T，Po,Sw,TT+t,解
10、 然后計算,解 然后計算,,,,,,,,,接上頁,Y,N,六、計算實例,1. 假設(shè)條件 1) 不可壓縮巖石和可壓縮流體，油水密度相等，常數(shù)，常數(shù)，o= w= 。 2) 油藏均質(zhì)和各向同性，即 kx=ky=k=常數(shù) 3) 不考慮毛管力，即 Po=Pw=P 4) 取反五點井網(wǎng)的四分之一， 包括一口注水井和一口生產(chǎn)井， 即邊界為封閉。 求解已知Piwf、Pwf下， 油藏中的壓力和飽和度分布。,,,2. 數(shù)學(xué)模型 1) 組分質(zhì)量守恒方程 油組分 水組分 2) 輔助方程 3) 初始條件和邊界條件 I.C,B.C 1) 外邊界 2) 內(nèi)邊界 定流壓 Piwf Pwf 3. 差分方程組的建立 1) 隱式壓力方程組 見方程（16），但其中Po=P 2) 顯式飽和度方程 見方程（17），但其中g(shù)wij中的Pwij為Pij。,封閉,4. 邊界條件的處理 根據(jù)假設(shè)，外邊界封閉，內(nèi)邊界定流壓，其處理方法見第一節(jié)三中的4。 5. 程序框圖 見本節(jié)五,程序四,已知：反五點四分之一井網(wǎng)中一口注入井和一口生產(chǎn)井，其油藏和生產(chǎn)參數(shù)如下： 油水相對滲透率數(shù)據(jù)如下表：,要求：編制二維兩相流數(shù)值模擬計算程序，計算定井底流壓條件下的壓力和飽和度分布和注入井的注入量和生產(chǎn)井的日產(chǎn)量。 取,
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