人教版高中數(shù)學必修二檢測：第二章 點、直線、平面之間的位置關系 單元質量評估（二） Word版含解析.

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1、人教版高中數(shù)學必修二檢測：第二章 點、直線、平面之間的位置關系 單元質量評估（二） Word版含解析. 單元質量評估(二) (第二章) (120分鐘　150分) 一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求) 1.(2016蚌埠高二檢測)已知兩條相交直線a，b，a∥平面α，則b與平面α的位置關系是　(　　) A.b?平面α B.b⊥平面α C.b∥平面α D.b與平面α相交，或b∥平面α 【解析】選D.直線a顯然不可能在平面α內，平行與相交都有可能，故選D. 2.下列敘述中，正確的是　(　　) A.四邊形是平面圖

2、形 B.有三個公共點的兩個平面重合 C.兩兩相交的三條直線必在同一個平面內 D.三角形必是平面圖形 【解析】選D.A中四邊形可以是空間四邊形；B中兩個相交平面的交線上有無數(shù)個公共點；C中若三條直線有一個公共點，可得三條直線不一定在一個平面內，故A，B，C不正確，D正確. 3.(2016浙江高考)已知互相垂直的平面α,β交于直線l.若直線m,n滿足m∥α,n⊥β,則　(　　) A.m∥l　　 　B.m∥n　　　 C.n⊥l　　　 D.m⊥n 【解題指南】根據(jù)線、面垂直的定義判斷. 【解析】選C.由題意知,α∩β=l,所以l?β,因為n⊥β, 所以n⊥l. 4.(2016銀川高

3、一檢測)空間四邊形ABCD中，若AB=AD=AC=CB=CD=BD，則AC與BD所成角為　(　　) A.30 B.45 C.60 D.90 【解析】選D.取AC中點E，連接BE，DE，因為AB=AD=AC=CB=CD=BD，所以AC垂直于BE，也垂直于DE，所以AC垂直于平面BDE，因此AC垂直于BD. 5.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，下列結論不正確的是　(　　) A.C1D1⊥B1C B.BD1⊥AC C.BD1∥B1C D.∠ACB1=60 【解析】選C.因為C1D1⊥平面B1C，B1C?平面B1C， 所以C1D1⊥B1C， 所以A

4、選項正確； 由于AC⊥平面BDD1， 所以BD1⊥AC，B選項正確； 因為三角形AB1C為等邊三角形， 所以∠ACB1=60，即D選項正確. 由于BD1與B1C是異面直線，所以C錯. 6.(2016鞍山高一檢測)設α，β是兩個不同的平面，l是一條直線，以下命題正確的是　(　　) A.若l⊥α，α⊥β，則l?β B.若l∥α，α∥β，則l?β C.若l⊥α，α∥β，則l⊥β D.若l∥α，α⊥β，則l⊥β 【解析】選C.若l⊥α，α⊥β，則l?β或l∥β，故A不正確；若l∥α， α∥β，則l?β或l∥β，故B不正確；若l⊥α，α∥β，則l⊥β，故C正確；若l∥α，α⊥β，

5、則l⊥β或l?β或l∥β，故D不正確. 7.(2016衡水高二檢測)如圖所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC=AC，AC1⊥A1B，M，N分別是A1B1，AB的中點，給出下列結論： ①C1M⊥平面A1ABB1，②A1B⊥NB1，③平面AMC1⊥平面CBA1，其中正確結論的個數(shù)為　(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】選D.①因為在直三棱柱ABC-A1B1C1中，所以平面A1B1C1⊥平面ABB1A1，因為BC=AC，所以B1C1=A1C1，又因為M為A1B1的中點，所以C1M⊥A1B1，因為平面A1B1C1∩平面ABB1A1=A1B1，所以C1M

6、⊥平面ABB1A1，故①正確；②由①知，C1M⊥A1B，又因為AC1⊥A1B，C1M∩AC1=C1，所以A1B⊥平面AMC1，所以A1B⊥AM，因為M，N分別是A1B1，AB的中點，所以ANB1M是平行四邊形，所以AM∥NB1，因為A1B⊥AM，所以A1B⊥NB1，故②正確；③由②知A1B⊥平面AMC1，又因為A1B?平面CBA1，所以平面AMC1⊥平面CBA1，故③正確，綜上所述，正確結論的個數(shù)為3. 8.如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，線段B1D1上有兩個動點E，F(xiàn)，且EF=，則下列結論中錯誤的是(　　) A.AC⊥BE B.EF∥平面ABCD C.三棱錐A-

7、BEF的體積為定值 D.△AEF的面積與△BEF的面積相等 【解析】選D.A.由題意及圖形知，AC⊥面DD1B1B，故可得出AC⊥BE，此命題正確，不符合題意； B.EF∥平面ABCD，由正方體ABCD-A1B1C1D1的兩個底面平行，EF在其一面上，故EF與平面ABCD無公共點， 故有EF∥平面ABCD，此命題正確，不符合題意； C.三棱錐A-BEF的體積為定值，由幾何體的性質及圖形知，三角形BEF的面積是定值，A點到面DD1B1B的距離是定值，故可得三棱錐A-BEF的體積為定值，此命題正確，不符合題意； D.由圖形可以看出，B到線段EF的距離與A到EF的距離不相等，故△AEF的

8、面積與△BEF的面積相等不正確，故D是錯誤的. 9.如圖，ABCD-A1B1C1D1為正方體，下面結論錯誤的是　(　　) A.BD∥平面CB1D1 B.AC1⊥BD C.AC1⊥平面CB1D1 D.異面直線AD與CB1所成的角為60 【解析】選D.由于BD∥B1D1，易知BD∥平面CB1D1；連接AC，易證BD⊥面ACC1，所以AC1⊥BD；同理可證AC1⊥B1C，因為BD∥B1D1，所以AC1⊥B1D1，所以AC1⊥平面CB1D1；對于選項D，因為BC∥AD，所以∠B1CB即為AD與CB1所成的角，此角為45，故D錯. 10.在四面體ABCD中，已知棱AC的長為，其余各棱長

9、都為1，則二面角A-CD-B的余弦值為　(　　) A. B. C. D. 【解析】選C.因為AC=，其余各棱長均為1，故AB⊥BC，AD⊥DC，取CD，AC的中點分別為E，F(xiàn)，連接EF，BF，BE，則EF∥AD，所以EF⊥CD.且EF=AD=，BF=AC=，BE⊥CD，且BE=，所以∠FEB為二面角A-CD-B的平面角，在△BEF中，BE2=BF2+EF2，所以△BEF為直角三角形，所以cos∠FEB===. 11.(2016全國卷Ⅰ)平面α過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,則m,n所成角的

10、正弦值為　(　　) A. B. C. D. 【解析】選A.如圖所示: 因為α∥平面CB1D1,所以若設平面CB1D1∩平面ABCD=m1,則m1∥m. 又因為平面ABCD∥平面A1B1C1D1, 結合平面B1D1C∩平面A1B1C1D1=B1D1, 所以B1D1∥m1,故B1D1∥m.同理可得:CD1∥n. 故m,n所成角的大小與B1D1,CD1所成角的大小相等,即∠CD1B1的大小.而B1C=B1D1=CD1(均為面對角線),因此∠CD1B1=,即sin∠CD1B1=. 12.一個多面體的直觀圖、正視圖、側視圖、俯視圖如圖，M，N分別為A1B，B1C1的中點.

11、 下列結論中正確的個數(shù)有　(　　) ①直線MN與A1C相交. ②MN⊥BC. ③MN∥平面ACC1A1. ④三棱錐N-A1BC的體積為=a3. A.4個 B.3個 C.2個 D.1個 【解析】選B.由三視圖可知， 該幾何體是底面為等腰直角三角形且側棱與底面垂直的三棱柱.取邊BC中點E，連ME，NE，則ME∥A1C，NE∥C1C，故平面MNE∥平面ACC1A1，故MN∥平面ACC1A1，所以直線MN與A1C相交錯誤，故③正確，①錯誤.因為三棱柱ABC-A1B1C1的底面是等腰直角三角形且側棱垂直于底面，故BC⊥平面MNE，所以MN⊥BC，②正確.==aaa=a3，故④正確

12、.所以②③④正確. 二、填空題(本大題共4個小題，每小題5分，共20分.把答案填在題中的橫線上) 13.如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是棱C1D1，C1C的中點.給出以下四個結論： ①直線AM與直線C1C相交； ②直線AM與直線DD1異面； ③直線AM與直線BN平行； ④直線BN與直線MB1異面. 其中正確結論的序號為________(填入所有正確結論的序號). 【解析】由異面直線判定定理知：①直線AM與直線CC1異面；②直線AM與直線DD1異面；④直線BN與直線MB1異面，因為直線BN與直線AE平行(E為DD1的中點)，所以③直線AM與直線BN

13、異面. 答案：②④ 14.如圖所示，已知矩形ABCD中，AB=3，BC=a，若PA⊥平面ABCD，在BC邊上取點E，使PE⊥DE，則滿足條件的E點有兩個時，a的取值范圍是________. 【解析】由題意知：PA⊥DE， 又PE⊥DE，PA∩PE=P， 所以DE⊥面PAE， 所以DE⊥AE. 易證△ABE∽△ECD. 設BE=x， 則=， 即=. 所以x2-ax+9=0，由Δ>0， 解得a>6. 答案：a>6 15.如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，點M是PC上的一動點，當點M滿足________時，平面MBD⊥平面PCD(

14、只要填寫一個你認為正確的即可). 【解題指南】可以證明BD⊥PC，因此只需確定M的位置，使BM⊥PC即可. (DM⊥PC也可). 【解析】因為四邊形ABCD的邊長相等，所以四邊形ABCD為菱形，所以AC⊥BD，又因為PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，所以BD⊥平面PAC，所以BD⊥PC. 若PC⊥平面BMD，即PC垂直于平面BMD中兩條相交直線，所以當BM⊥PC時，PC⊥平面BMD，所以平面PCD⊥平面BMD. 答案：BM⊥PC(其他合理即可) 16.(2016成都高二檢測)如圖，正方形BCDE的邊長為a，已知AB=BC，將△ABE沿BE邊折起，折起后A點在平面BCDE上的射

15、影為D點，則翻折后的幾何體中有如下描述： ①AB與DE所成角的正切值是；②AB∥CE；③VB-ACE的體積是a2； ④平面ABC⊥平面ADC；⑤直線EA與平面ADB所成角為30. 其中正確的有________.(填寫你認為正確的序號) 【解析】由題意，AB=BC，AE=a，AD⊥平面BCDE，AD=a，AC=a，①由于BC∥DE，所以∠ABC(或其補角)為AB與DE所成角.因為AB=a，BC=a，AC=a，所以BC⊥AC，所以tan∠ABC=，故①正確；②由圖象可知AB與CE是異面直線，故②錯誤.③VB-ACE的體積是S△BCEAD=a3=a3，故③錯誤；④因為AD⊥平面BCDE，

16、BC?平面BCDE，所以AD⊥BC，因為BC⊥CD，AD∩CD=D， 所以BC⊥平面ADC，因為BC?平面ABC，所以平面ABC⊥平面ADC，故④正確； ⑤連接CE交BD于F，則EF⊥BD，因為平面ABD⊥平面BDE，所以EF⊥平面ABD，連接AF，則∠AFE為直線AE與平面ABD所成角，在△AFE中，EF=a，AE=a，所以sin∠EAF==，則∠EAF=30，故⑤正確. 答案：①④⑤ 三、解答題(本大題共6個小題，共70分，解答時寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟) 17.(10分)已知，正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E，F(xiàn)分別為D1C1，C1B1的中點， AC∩B

17、D=P，A1C1∩EF=Q.求證： (1)D，B，E，F(xiàn)四點共面. (2)若A1C交平面BDEF于點R，則P，Q，R三點共線. 【證明】(1)連接B1D1.因為E，F(xiàn)分別為D1C1，C1B1的中點，所以EF∥B1D1，又因為B1D1∥BD， 所以EF∥BD，所以EF與BD共面， 所以E，F(xiàn)，B，D四點共面. (2)因為AC∩BD=P，所以P∈平面AA1C1C∩平面BDEF. 同理，Q∈平面AA1C1C∩平面BDEF， 因為A1C∩平面DBFE=R， 所以R∈平面AA1C1C∩平面BDEF， 所以P，Q，R三點共線. 18.(12分)(2016菏澤高一檢測)如圖，在斜三

18、棱柱ABC-A1B1C1中，側面AA1C1C是菱形，AC1與A1C交于點O，點E是AB的中點. (1)求證：OE∥平面BCC1B1. (2)若AC1⊥A1B，求證：AC1⊥BC. 【解析】(1)連接BC1，因為側面AA1C1C是菱形，AC1與A1C交于點O，所以O為AC1的中點，又因為E是AB的中點，所以OE∥BC1，因為OE?平面BCC1B1， BC1?平面BCC1B1，所以OE∥平面BCC1B1. (2)因為側面AA1C1C是菱形，所以AC1⊥A1C，因為AC1⊥A1B，A1C∩A1B=A1， A1C?平面A1BC，A1B?平面A1BC，所以AC1⊥平面A1BC，因為B

19、C?平面A1BC， 所以AC1⊥BC. 19.(12分)如圖，已知四邊形ABCD和BCEG均為直角梯形，AD∥BC，CE∥BG，且∠BCD=∠BCE=90，平面ABCD⊥平面BCEG，BC=CD=CE=2AD=2BG. (1)求證：EC⊥CD. (2)求證：AG∥平面BDE. 【證明】(1)由平面ABCD⊥平面BCEG， 平面ABCD∩平面BCEG=BC，CE⊥BC，CE?平面BCEG， 所以EC⊥平面ABCD，又CD?平面ABCD，故EC⊥CD. (2)在平面BCEG中，過G作GN⊥CE交BE于M，連接DM，則由已知知，MG=MN，MN∥BC∥DA，且MN=AD=BC，

20、 所以MG∥AD，MG=AD， 故四邊形ADMG為平行四邊形， 所以AG∥DM，因為DM?平面BDE，AG?平面BDE，所以AG∥平面BDE. 20.(12分)(2016泰安高一檢測)如圖，PA⊥平面ABC，AE⊥PB，AB⊥BC，AF⊥PC，PA=AB=BC. (1)求證：平面AEF⊥平面PBC. (2)求二面角P-BC-A的大小. 【解題指南】(1)要證平面AEF⊥平面PBC，可通過證明AE⊥平面PBC得出，而要證AE⊥平面PBC，已有AE⊥PB，則證出BC⊥AE即可，后者利用BC⊥平面PAB可以證出. (2)由(1)知，BC⊥平面PAB，∠PBA就是二面角P-BC-

21、A的平面角，易知為45. 【解析】(1)因為PA⊥平面ABC，又BC?平面ABC，所以PA⊥BC， 又AB⊥BC，AB與PA相交于點A， 所以BC⊥平面PAB，又AE?平面PAB，所以BC⊥AE，又AE⊥PB，而PB與BC相交于點B，所以AE⊥平面PBC，又AE?平面AEF，故平面AEF⊥平面PBC. (2)由(1)知，BC⊥平面PAB，PB?平面PAB， 所以PB⊥BC，又AB⊥BC， 所以∠PBA就是二面角P-BC-A的平面角， 在Rt△PAB中，因為PA=AB，所以∠PBA=45， 即二面角P-BC-A的大小為45. 21.(12分)(2016北京高考)如圖,在四棱錐P

22、-ABCD中,PC⊥平面ABCD,AB∥DC,DC⊥AC. (1)求證:DC⊥平面PAC. (2)求證:平面PAB⊥平面PAC. (3)設點E為AB的中點,在棱PB上是否存在點F,使得PA∥平面CEF?說明理由. 【解析】(1)因為PC⊥平面ABCD,DC?平面ABCD,所以PC⊥DC. 又因為DC⊥AC,PC∩AC=C,PC,AC?平面PAC,所以DC⊥平面PAC. (2)因為AB∥DC,DC⊥平面PAC,所以AB⊥平面PAC. 又因為AB?平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAC. (3)取PB中點F.連接CE,EF,CF. 因為E為AB中點,所以PA∥EF. 又因為

23、PA?平面CEF,EF?平面CEF,所以PA∥平面CEF. 因此,當F為PB中點時,PA∥平面CEF. 22.(12分)如圖，已知直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC，∠BAC= ∠ACD=90，∠EAC=60，AB=AC=AE. (1)在直線BC上是否存在一點P，使得DP∥平面EAB？請證明你的結論. (2)求平面EBD與平面ABC所成的銳二面角θ的余弦值. 【解析】(1)線段BC的中點就是滿足條件的點P. 證明如下： 取AB的中點F，連接DP，PF，EF， 則FP∥AC，F(xiàn)P=AC， 取AC的中點M，連接EM，EC， 因為AE=AC且∠EAC=60，

24、 所以△EAC是正三角形，所以EM⊥AC. 所以四邊形EMCD為矩形， 所以ED=MC=AC. 又因為ED∥AC， 所以ED∥FP且ED=FP， 所以四邊形EFPD是平行四邊形，所以DP∥EF， 而EF?平面EAB，DP?平面EAB， 所以DP∥平面EAB. (2)過C作CG∥AB，過B作BG∥AC，CG∩BG=G，連接GD. 因為ED∥AC，所以ED∥BG， 所以B，E，D，G四點共面， 所以平面EBD與平面ABC相交于BG， 因為CD⊥AC，平面ACDE⊥平面ABGC， 所以CD⊥平面ABGC， 又因為BG?平面ABGC， 所以BG⊥CD， 又BG⊥GC，CD∩GC=C， 所以BG⊥平面CDG， 所以BG⊥DG， 所以∠DGC是平面EBD與平面ABC所成的銳二面角θ，設AB=AC=AE=a， 則GC=AB=a，DC=EM=a， 所以GD==a， 所以cosθ=cos∠DGC==..Com] 關閉Word文檔返回原板塊