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1、第六章 高斯投影及換帶計算,一、高斯投影概述 （正形投影，高斯坐標(biāo)正反算及換帶計算） 二、把橢球面元素歸算到高斯投影面 （方向改化，距離改化） 三、各種投影方法概述,本章提要,本章介紹從橢球面上大地坐標(biāo)系到平面上直角坐標(biāo)系的正形投影過程。研究如何將大地坐標(biāo)、大地線長度和方向以及大地方位角等向平面轉(zhuǎn)化的問題。重點講述高斯投影的原理和方法，解決由球面到平面的換算問題，解決相鄰帶的坐標(biāo)坐標(biāo)換算。,,,知識點及學(xué)習(xí)要求 1高斯投影的基本概念； 2正形投影的一般條件； 3高斯平面直角坐標(biāo)與大地坐標(biāo)的相互轉(zhuǎn)換 高斯投影的正算與反算 4橢球面上觀測成果歸化到高斯平面上的計算； 5高斯投影的鄰帶換算；
2、6工程測量投影面與投影帶的選擇。,,難點在對本章的學(xué)習(xí)中，首先要理解和掌握高斯投影的概念。高斯正算和反算計算；方向改化和距離改化計算；高斯投影帶的換算與應(yīng)用；工程測量中投影面與投影帶的選擇。,6.1 地圖投影概述,1.投影與變形,所謂地圖投影，簡略說來就是將橢球面各元素（包括坐標(biāo)、方向和長度）按一定的數(shù)學(xué)法則投影到平面上。研究這個問題的專門學(xué)科叫地圖投影學(xué)。,橢球面是一個凸起的、不可展平的曲面，若將這個曲面上的元素（比如一段距離、一個角度、一個圖形）投影到平面上，就會和原來的距離、角度、圖形呈現(xiàn)差異，這一差異稱作投影的變形,投影面上的邊長與原面上的相應(yīng)長度之比，稱為長度比。,長度比:,2、地圖
3、投影的分類,1）按變形性質(zhì)分類 （1）等角投影 又稱為正形投影。投影面上某點的任意兩方向線夾角與橢球面上相應(yīng)兩線段夾角相等，即角度變形為零。等角投影在一點上任意方向的長度比都相等，但在不同地點長度比是不同的。 （2）等積投影 在投影平面上任意一塊面積與橢球面上相應(yīng)的面積相等，即面積變形等于零。 （3）等距投影 定義為沿某一特定方向的距離，投影前后保持不變，即沿著該特定方向長度比為1。在這種投影圖上并不是不存在長度變形，它只是在特定方向上沒有長度變形。,2）按投影面的形狀分類 （1）方位投影：以平面作為投影面，使平面與球面相切或相割，將球面上的經(jīng)緯線投影到平面上而成。 （2）圓柱投影：以
4、圓柱面作為投影面，使圓柱面與球面相切或相割，將球面上的經(jīng)緯線投影到圓柱面上，然后將圓柱面展為平面而成。 （3）圓錐投影：以圓錐面作為投影面，使圓錐面與球面相切或相割，將球面上的經(jīng)緯線投影到圓錐面上，然后將圓錐面展為平面而成。,3、中國各種地圖投影：1）中國全國地圖投影：斜軸等面積方位投影、斜軸等角方位投影、偽方位投影、正軸等面積割圓錐投影、正軸等角割圓錐投影。 2）中國分?。▍^(qū)）地圖的投影：正軸等角割圓錐投影、正軸等面積割圓錐投影、正軸等角圓柱投影、高斯-克呂格投影（寬帶）。 3）中國大比例尺地圖的投影：多面體投影（北洋軍閥時期）、等角割圓錐投影（蘭勃特投影）（解放前）、高斯-克呂格投影（解放
5、以后）。,從世界范圍看，各國大中比例尺地形圖所使用的投影很不統(tǒng)一，據(jù)不完全統(tǒng)計有十幾種之多，最常用的有橫軸等角橢圓柱投影等。中華人民共和國成立后，我國大中比例尺地形圖一律規(guī)定采用以克拉索夫斯基橢球體元素計算的高斯-克呂格投影。我國新編1:100萬地形圖，采用的則是邊緯與中緯變形絕對值相等的正軸等角圓錐投影。,4、常用的幾種地圖投影,1、控制測量對地圖投影的要求,1）等角投影（又稱正形投影）,2）長度和面積變形不大，并能用簡單公式計算由變形而引起的改正數(shù)。,3）能很方便地按分帶進行，并能按高精度的、簡單的、同樣的計算公式和用表把各帶聯(lián)成整體 。,6.2 高斯投影概述（重點）,高斯投影是等角橫切橢
6、圓柱投影。 高斯投影是一種等角投影。它是由德國數(shù)學(xué)家高斯(Gauss，1777 1855)提出，后經(jīng)德國大地測量學(xué)家克呂格(Kruger，18571923)加以補充完善，故又稱“高斯克呂格投影”，簡稱“高斯投影”。,2、高斯投影的基本概念,,,N,S,,,c,中央,子,午線,赤道,,,,,,,,,,,,1).高斯投影的原理:,高斯投影采用分帶投影。將橢球面按一定經(jīng)差分帶，分別進行投影。,2)、高斯投影必須滿足： （1）高斯投影為正形投影， 即等角投影； （2）中央子午線投影后為直 線，且為投影的對稱軸； （3）中央子午線投影后長度 不變。,3)、高斯投影的特點:,（1）中央子午線投影后
7、為直線，且長度不變。 （2） 除中央子午線外，其余子午線的投影均為凹向中央子午線的曲線，并以中央子午線為對稱軸。投影后有長度變形。 （3） 赤道線投影后為直線，但有長度變形。,,赤道,中央子午線,,平行圈,子午線,,,,,,,,,,,O,x,y,（4） 除赤道外的其余緯線，投影后為凸向赤道的曲線，并以赤道為對稱軸。 （5）經(jīng)線與緯線投影后仍然保持正交。 （6） 所有長度變形的線段，其長度變形比均大于l。 （7）離中央子午線愈遠，長度變形愈大。,,赤道,中央子午線,,平行圈,子午線,,,,,,,,,,,O,x,y,,4)、投影帶的劃分,我國規(guī)定按經(jīng)差6和3進行投影分帶。 6帶自首子午線開始，按6
8、的經(jīng)差自西向東分成60個帶。 3帶自1.5 開始，按3的經(jīng)差自西向東分成120個帶。,高斯投影帶劃分,,6帶與3帶中央子午線之間的關(guān)系如圖:,3帶的中央子午線與6帶中央子午線及分帶子午線重合，減少了換帶計算。,,,,,,,工程測量采用3 帶，特殊工程可采用1.5 帶或任意帶,按照6帶劃分的規(guī)定，第1帶中央子午線的經(jīng)度為3，其余各帶中央子午線經(jīng)度與帶號的關(guān)系是： L。=6N3 （N為6帶的帶號） 例：20帶中央子午線的經(jīng)度為： L。6 203117 按照3帶劃分的規(guī)定，第1帶中央子午線的經(jīng)度為3，其余各帶中央子午線經(jīng)度與帶號的關(guān)系是： L。=3n （n為3帶的帶號） 例：12
9、0帶中央子午線的經(jīng)度為 L。3 120360 ,若已知某點的經(jīng)度為L，則該點的6帶的帶號N由下式計算： 若已知某點的經(jīng)度為L，則該點所在3帶的帶號按下式計算： （四舍五入）,,高斯平面直角坐標(biāo)系的建立：,x軸 中央子午線的投影 y軸 赤道的投影 原點O 兩軸的交點,,,O,x,y,,,,P,（X，Y）,高斯自然坐標(biāo),注：X軸向北為正， y軸向東為正。,赤道,中央子午線,由于我國的位于北半球，東西橫跨12個6帶，各帶又獨自構(gòu)成直角坐標(biāo)系。 故：X值均為正， 而Y值則有正有負。,,,,,x,y,o,,,,,,,,,,,,,,,,500km
10、,=500000+ = 636780.360m = 500000+ = 227559.720m,國家統(tǒng)一坐標(biāo)：,,,（帶號）,（帶號）,例： 有一國家控制點的坐標(biāo): x=3102467.280m ,y=19367622380m， （1）該點位于6 帶的第幾帶？ （2）該帶中央子午線經(jīng)度是多少？ （3）該點在中央子午線的哪一側(cè)？ （4）該點距中央子午線和赤道的距離為多少？,（第19帶）,（L。=619-3=111）,（先去掉帶號，原來橫坐標(biāo)y367622.380500000-132377.620m，在西側(cè)）,（距中央子午線132377.620m，距赤道3102467.280m）,
11、不同點： 1、 x，y軸互異。 2、 坐標(biāo)象限不同。 3、表示直線方向的方位角 定義不同。 相同點： 數(shù)學(xué)計算公式相同。,高斯平面直角坐標(biāo)系與數(shù)學(xué)上的笛卡爾平面直角坐標(biāo)系的異同點 ：,3、橢球面三角系化算到高斯平面,將橢球面三角系歸算到高斯投影面的主要內(nèi)容是：,將起始點的大地坐標(biāo)B，L歸算為高斯平面直角坐標(biāo)x，y；為了檢核還應(yīng)進行反算，亦即根據(jù)x，y反算B，L。 通過計算該點的子午線收斂角及方向改正，將橢球面上起算邊大地方位角歸算到高斯平面上相應(yīng)邊的坐標(biāo)方位角。 通過計算各方向的曲率改正和方向改正，將橢球面上各三角形內(nèi)角歸算到高斯平面上的由相應(yīng)直線組成的三角形內(nèi)角。 通過計算距離改正，將橢球
12、面上起算邊的長度歸算到高斯平面上的直線長度。 當(dāng)控制網(wǎng)跨越兩個相鄰?fù)队皫?，需要進行平面坐標(biāo)的鄰帶換算。,6.3高斯投影坐標(biāo)正反算公式（了解）,1、高斯投影坐標(biāo)正算公式： B,l x,y,高斯投影必須滿足以下三個條件： 中央子午線投影后為直線； 中央子午線投影后長度不變； 投影具有正形性質(zhì)，即正形投影條件。,對于任何一種投影：坐標(biāo)對應(yīng)關(guān)系是最主要的；如果是正形投影，除了滿足正形投影的條件外，還有它本身的特殊條件。,2、高斯投影坐標(biāo)反算公式：x,y B,l,滿足以下三個條件： x坐標(biāo)軸投影后為中央子午線是投影的對稱軸； x坐標(biāo)軸投影后長度不變； 投影具有正形性質(zhì)，即正形投影條件。,當(dāng)B=0時x=X
13、=0，y則隨l的變化而變化，這就是說，赤道投影為一直線且為y軸。當(dāng)l=0時,則y=0,x=X,這就是說，中央子午線投影亦為直線，且為x軸，其長度與中央子午線長度相等。兩軸的交點為坐標(biāo)原點。 當(dāng)l=常數(shù)時(經(jīng)線),隨著B值增加，x值增大，y值減小，這就告訴我們，經(jīng)線是凹向中央子午線的曲線，且收斂于兩極。又因，即當(dāng)用-B代替B時，y值不變，而x值數(shù)值相等符號相反，這就說明赤道是投影的對稱軸。 當(dāng)B=常數(shù)時(緯線)，隨著的l增加，x值和y值都增大，這就是說，緯線是凸向赤道的曲線。又當(dāng)用-l代替l時，x值不變，而y值數(shù)值相等符號相反，這就說明，中央子午線是投影對稱軸。由于滿足正形投影條件，所以經(jīng)線和緯
14、線的投影是互相垂直的。 距中央子午線愈遠的子午線，投影后彎曲愈厲害，表明長度變形愈大。,3、高斯投影坐 標(biāo)正反算公式的 幾何解釋 ：,練習(xí)1. 已知某點的坐標(biāo)：B = 290405.3373 L = 1211033.2012 計算：1). 該點的3 帶和6 帶帶號； 2). 該點的3 帶高斯投影坐標(biāo)并反 算檢核；,子午線收斂角的概念 如右圖所示，、 及 分別為橢球面點、過點的子午線 及平行圈 在高斯平面上的描寫。由圖可知，所謂點 子午線收斂角就是 在 上的切線 與 坐標(biāo)北之間的夾角，用 表示。 在橢球面上，因為子午線同平行圈正交，又由于投影具有正形性質(zhì)，
15、因此它們的描寫線 及 也必正交，由圖可見，平面子午線收斂角也就是等于 在 點上的切線同平面坐標(biāo)系橫軸 的傾角。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,6.4.1 平面子午線收斂角公式（了解）,6.4 橢球面上的方向和長度歸算至高斯平面,在中央子午線上l=0,r=0；在赤道上B=0,r=0。,在同一經(jīng)線上(l=常數(shù))緯度愈高，r的絕對值也愈大，在極點處最大；在同一緯線上(B=常數(shù))，經(jīng)差l的絕對值愈大，r的絕對值也愈大。,r為奇函數(shù)，有正負，當(dāng)描寫點在中央子午線以東時，經(jīng)差為正，r也為正；當(dāng)描寫點在中央子午線以西時，經(jīng)差為負，r也為負。,1、求的公式,2.由高斯平面坐標(biāo)x，y計算：,6.4.2
16、方向改化公式（重點）,方向改正數(shù)就是指大地線的投影曲線和連接大地線兩點的弦之夾角。,我國二等三角網(wǎng)平均邊長為13KM，當(dāng)ym250km時，上式精確至0.01，故通常用于二等三角測量計算。,方向改化數(shù)計算公式：,我國三四等三角網(wǎng)平均邊長為10KM范圍內(nèi)，可對上式簡化，該式精確為0.1。,6.4.3 距離改化公式（重點）,由S化至D所加的S改正稱為距離改正,當(dāng)S<70km,ym<350km(6帶的邊緣) 計算精度小于0.001m，對于一等邊長的歸算完全可滿足要求，對于二等邊長的歸算可略去 項，對于三四等邊長的歸算又可再略去 項。,1 距離改換公式,2、距離改化的實用計算公式,一等三角
17、網(wǎng)的距離改正的實用公式：,二等三角網(wǎng)的距離改正的實用公式：,三等三角網(wǎng)以下的距離改正的實用公式：,產(chǎn)生換帶的原因 高斯投影為了限制高斯投影的長度變形，以中央子午線進行分帶，把投影范圍限制在中央子午線東、西兩側(cè)一定的范圍內(nèi)。因而，使得統(tǒng)一的坐標(biāo)系分割成各帶的獨立坐標(biāo)系。在工程應(yīng)用中，往往要用到相鄰帶中的點坐標(biāo)，有時工程測量中要求采用 帶、 帶或任意帶，而國家控制點通常只有 帶坐標(biāo)，這時就產(chǎn)生了 帶同 帶（或 帶、任意帶）之間的相互坐標(biāo)換算問題，如下圖所示：,,,,,,,6.5 高斯投影的鄰帶換算（了解）,需要進行坐標(biāo)鄰帶換算的情況： 1、控制網(wǎng)跨越兩個投影帶； 2、在分界子午線附近地區(qū)
18、測圖，需要用到另一帶 的三角點作為控制點時； 3、6帶、3帶、1.5帶之間的換算。,坐標(biāo)鄰帶換算的一般方法： 把橢球面上的大地坐標(biāo)作為過渡坐標(biāo)，首先把某投影帶（如21帶）內(nèi)的有關(guān)點的平面坐標(biāo)x，y利用高斯投影反算公式換算成橢球面上的大地坐標(biāo)B，L。然后再由大地坐標(biāo)B，L利用投影正算公式換算成相鄰帶的（如22帶）的平面坐標(biāo)。,計算步驟：,根據(jù),利用高斯反算公計算換算,，得到 ，。 采用已求得的,，并顧及到第帶的中央子午線， 求得，利用高斯正算公式計算第帶的直角坐 標(biāo) , 。 為了檢核計算的正確性，要求每步都應(yīng)進行往返計算,,,,,,,,,,算例 在中央子午線 的帶中，有
19、某一點的平面直角坐標(biāo)，，現(xiàn)要求計算該點在中央子午線 的第帶的平面直角坐標(biāo)。,1、地圖投影的概念 在數(shù)學(xué)中，投影（Project）的含義是指建立兩個點集間一一對應(yīng)的映射關(guān)系。同樣，在地圖學(xué)中，地圖投影就是指建立地球表面上的點與投影平面上點之間的一一對應(yīng)關(guān)系。地圖投影的基本問題就是利用一定的數(shù)學(xué)法則把地球表面上的經(jīng)緯線網(wǎng)表示到平面上。由于地球橢球體表面是曲面，而地圖通常是要繪制在平面圖紙上，因此制圖時首先要把曲面展為平面，然而球面是個不可展的曲面，即把它直接展為平面時，不可能不發(fā)生破裂或褶皺。若用這種具有破裂或褶皺的平面繪制地圖，顯然是不實際的，所以必須采用特殊的方法將曲面展開，使其
20、成為沒有破裂或褶皺的平面。,6.6 有關(guān)投影的基本知識（了解）,2、地圖投影的變形 1）長度變形 2）面積變形 3）角度變形,1 墨卡托(Mercator)投影,墨卡托投影為正軸等角切圓柱投影，是由墨卡托于1569年專門為航海目的設(shè)計的。其設(shè)計思想是令一個與地軸方向一致的圓柱切于或割于地球，將球面上的經(jīng)緯網(wǎng)按等角條件投影于圓柱表面上，然后將圓柱面沿一條母線剪開展成平面，即得墨卡托投影 。 該投影的經(jīng)緯線是互為垂直的平行直線，經(jīng)線間隔相等，緯線間隔由由赤道向兩極逐漸擴大。圖上任取一點，由該點向各方向長度比皆相等，即角度變形為零。在正軸等角切圓柱投影中，赤道為沒有變形的線，隨緯度增高面
21、積變形增大。,UTM投影全稱為“通用橫軸墨卡托投影” （Universal Transverse Mercator Projection ），是一種“等角橫軸割圓柱投影”，橢圓柱割地球于南緯80度、北緯84度兩條等高圈，投影后兩條相割的經(jīng)線上沒有變形，而中央經(jīng)線上長度比0.9996。UTM投影是為了全球戰(zhàn)爭需要創(chuàng)建的，美國于1948年完成這種通用投影系統(tǒng)的計算。UTM投影分帶方法與高斯-克呂格投影相似，是自西經(jīng)180起每隔經(jīng)差6度自西向東分帶，將地球劃分為60個投影帶。,（1）UTM是對高斯投影的改進，改進的目的是為了減少投影變形。（2）UTM投影的投影變形比高斯的要小，最大在0.001。但其
22、投影變形規(guī)律比高斯要復(fù)雜一點，因為它用的是割圓柱，所以，它的m1的地方是在割線上，實際上是一個圓，處在正負140的位置，距離中央經(jīng)線大約180km。（3）UTM投影在中央經(jīng)線上，投影變形系數(shù)m0.9996，而高斯投影的中央經(jīng)線投影的變形系數(shù)m1。（4）UTM為了減少投影變形也采用分帶，它采用6分帶。但起始的1帶是（e174e180），所以，UTM的6分帶的帶號比高斯的大30。（5）很重要的一點， 高斯投影與UTM投影可近似計算。計算公式是：XUTM=0.9996 * X高斯YUTM=0.9996 * Y高斯這個公式的誤差在1米范圍內(nèi)，完全可以接受。,UTM與高斯投影的異同：,2、蘭勃特投影（等
23、角圓錐投影）,設(shè)有一個圓錐，其軸與地軸一致，套在地球橢球體上，然后將橢球體面的經(jīng)緯線網(wǎng)按照等角的條件投影到圓錐面上，再把圓錐面沿母線切開展平，即得到正軸等角圓錐投影的經(jīng)緯網(wǎng)圖形。其中緯線投影成為同心圓弧，經(jīng)線投影成為向一點收斂的直線束。當(dāng)圓錐面與橢球體上的一條緯圈相切時，稱切圓錐投影，見圖（a）；當(dāng)圓錐面相割于橢球面兩條緯圈時，稱割圓錐投影，見圖（b）。,相切或相割緯圈稱為標(biāo)準緯圈，顯然，標(biāo)準緯圈在圓錐展開后不變。兩條緯線間的經(jīng)線長度處處相等。投影的不同變形性質(zhì)，只是反映在緯線間隔的變化上。也就是說，圓錐投影的各種變形都是緯度的的函數(shù)，而與經(jīng)度無關(guān)。對某一個具體的變形性質(zhì)而言，在同一條緯線上，其變形值相等。在同一條經(jīng)線上，標(biāo)準緯線外側(cè)為正變形，兩條標(biāo)準緯線之間為負變形。因此切圓錐投影只有正變形，割圓錐投影既有正變形又有負變形。 由于圓錐投影具有上述的變形分布規(guī)律，因此該投影適于編制處于中緯地區(qū)沿緯線方向東西延伸地域的地圖。由于地球上廣大陸地均位于中緯地區(qū)，同時圓錐投影的經(jīng)緯網(wǎng)又比較簡單，該投影得到了廣泛應(yīng)用。尤其是正軸割圓錐投影，使用非常普遍。 我國新編1:100萬地形圖，使用的便是邊緯與中緯變形絕對值相等的等角割圓錐投影。等角割圓錐投影還廣泛應(yīng)用于我國編制出版的全國1:400萬、1:600萬掛圖，以及全國性的普通地圖和專題地圖等。,
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