全國(guó)卷高考數(shù)學(xué)圓錐曲線大題集大全.doc

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高考二輪復(fù)習(xí)專項(xiàng)：圓錐曲線大題集 1. 如圖，直線l1與l2是同一平面內(nèi)兩條互相垂直的直線，交點(diǎn)是A，點(diǎn)B、D在直線l1上(B、D 位于點(diǎn)A右側(cè))，且|AB|=4，|AD|=1，M是該平面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，M在l1上的射影點(diǎn)是N，且|BN|=2|DM|. (Ⅰ) 建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程． (Ⅱ)過(guò)點(diǎn)D且不與l1、l2垂直的直線l交(Ⅰ)中的軌跡C于E、F兩點(diǎn)；另外平面上的點(diǎn)G、H滿足： A D M B N l2 l1 ??? 求點(diǎn)G的橫坐標(biāo)的取值范圍． 2. 設(shè)橢圓的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率，已知點(diǎn)到這個(gè)橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離是4，求這個(gè)橢圓的方程. 3. 已知橢圓的一條準(zhǔn)線方程是其左、右頂點(diǎn)分別 是A、B；雙曲線的一條漸近線方程為3x－5y=0. （Ⅰ）求橢圓C1的方程及雙曲線C2的離心率； （Ⅱ）在第一象限內(nèi)取雙曲線C2上一點(diǎn)P，連結(jié)AP交橢圓C1于點(diǎn)M，連結(jié)PB并延長(zhǎng)交橢圓C1于點(diǎn)N，若. 求證： 4. 橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O,右焦點(diǎn)F（c,0）到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為1，傾斜角為45°的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn).設(shè)AB中點(diǎn)為M，直線AB與OM的夾角為a. （1）用半焦距c表示橢圓的方程及tan; （2）若20,b>0）的右準(zhǔn)線一條漸近線交于兩點(diǎn)P、Q，F(xiàn)是雙曲線的右焦點(diǎn)。 （I）求證：PF⊥； （II）若△PQF為等邊三角形，且直線y=x+b交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，且，求雙曲線的方程； （III）延長(zhǎng)FP交雙曲線左準(zhǔn)線和左支分別為點(diǎn)M、N，若M為PN的中點(diǎn)，求雙曲線的離心率e。 22. 已知又曲線 在左右頂點(diǎn)分別是A，B，點(diǎn)P是其右準(zhǔn)線上的一點(diǎn)，若點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)是M，點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)是N，且M、N都在此雙曲線上。 （I）求此雙曲線的方程； （II）求直線MN的傾斜角。 23. 如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（-1，0），B（1，0），P（x，y）（）。設(shè)與x軸正方向的夾角分別為α、β、γ，若。 （I）求點(diǎn)P的軌跡G的方程； （II）設(shè)過(guò)點(diǎn)C（0，-1）的直線與軌跡G交于不同兩點(diǎn)M、N。問(wèn)在x軸上是否存在一點(diǎn)，使△MNE為正三角形。若存在求出值；若不存在說(shuō)明理由。 24. 設(shè)橢圓過(guò)點(diǎn)，且焦點(diǎn)為。 （1）求橢圓的方程； （2）當(dāng)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交與兩不同點(diǎn)A、B時(shí)，在線段上取點(diǎn)， 滿足，證明：點(diǎn)總在某定直線上。 25. 平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，給定兩點(diǎn)A（1，0）、B（0，－2），點(diǎn)C滿足、 （1）求點(diǎn)C的軌跡方程； （2）設(shè)點(diǎn)C的軌跡與雙曲線交于兩點(diǎn)M、N，且以MN為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，求證：. 26. 設(shè)，、分別為軸、軸上的點(diǎn)，且，動(dòng)點(diǎn)滿足：. （1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程； （2）過(guò)定點(diǎn)任意作一條直線與曲線交與不同的兩點(diǎn)、，問(wèn)在軸上是否存在一定點(diǎn)，使得直線、的傾斜角互補(bǔ)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 27. 如圖，直角梯形ABCD中，∠，AD∥BC，AB=2，AD=，BC= 橢圓F以A、B為焦點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)D， （Ⅰ）建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，求橢圓F的方程； C B D A （Ⅱ）是否存在直線與兩點(diǎn)，且線段，若存在，求直線的方程；若不存在，說(shuō)明理由. 28. 如圖所示，B（– c，0），C（c，0），AH⊥BC，垂足為H，且． （1）若= 0，求以B、C為焦點(diǎn)并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的橢圓的離心率； （2）D分有向線段的比為，A、D同在以B、C為焦點(diǎn)的橢圓上， 當(dāng) ―5≤≤ 時(shí)，求橢圓的離心率e的取值范圍． 29. 在直角坐標(biāo)平面中，的兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，平面內(nèi)兩點(diǎn)同時(shí)滿足下列條件： ①；②；③∥ （1）求的頂點(diǎn)的軌跡方程； （2）過(guò)點(diǎn)的直線與（1）中軌跡交于兩點(diǎn)，求的取值范圍  答案： 1.解：(Ⅰ) 以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，l1為x軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則D(1，0)，B(4，0)，設(shè)M（x，y）， 則N（x，0）. ∵|BN|=2|DM|， ∴|4－x|=2, 整理得3x2+4y2=12, ∴動(dòng)點(diǎn)M的軌跡 方程為. (Ⅱ)∵ ∴A、D、G三點(diǎn)共線，即點(diǎn)G在x軸上；又∵∴H點(diǎn)為線段EF的中點(diǎn)；又∵∴點(diǎn)G是線段EF的垂直平分線GH與x軸的交點(diǎn)。 設(shè)l：y=k(x－1)(k≠0)，代入3x2+4y2=12得 (3+4k2)x2－8k2x+4k2－12=0，由于l過(guò)點(diǎn)D(1，0)是橢圓的焦點(diǎn)， ∴l(xiāng)與橢圓必有兩個(gè)交點(diǎn)， 設(shè)E(x1，y1)，F(xiàn)(x2，y2)，EF的中點(diǎn)H的坐標(biāo)為（x0，y0）， ∴x1+x2= ，x1x2= ， x0= = ，y0=k(x0－1)= ， ∴線段EF的垂直平分線為 y－ y0 =－ (x－x0)，令y=0得， 點(diǎn)G的橫坐標(biāo)xG = ky0+x0 = + = = －， ∵k≠0，∴k2>0，∴3+4k2>3，0<<，∴－<－<0， ∴xG= －(0，） ∴點(diǎn)G的橫坐標(biāo)的取值范圍為(0，）. 2.解：∵，∴ 由得 ∴設(shè)橢圓的方程為（） 即（） 設(shè)是橢圓上任意一點(diǎn)，則 （） 若即，則當(dāng)時(shí)， 由已知有，得； 若即，則當(dāng)時(shí)， 由已知有，得（舍去）. 綜上所述，，. 所以，橢圓的方程為. 3.解：（I）由已知 ∴橢圓的方程為，雙曲線的方程. 又 ∴雙曲線的離心率 （Ⅱ）由（Ⅰ）A（－5，0），B（5，0） 設(shè)M得M為AP的中點(diǎn) ∴P點(diǎn)坐標(biāo)為 將M、p坐標(biāo)代入c1、c2方程得 消去y0得 解之得 由此可得P（10， 當(dāng)P為（10， 時(shí) PB： 即 代入 MN⊥x軸 即 4.解：（1）由題意可知所以橢圓方程為 設(shè)，將其代入橢圓方程相減，將 代入 可化得 （2）若2|CA|=2，于是點(diǎn) Q的軌跡是以點(diǎn)C，A為焦點(diǎn)，半焦距c=1，長(zhǎng)半軸a=的橢圓，短半軸 點(diǎn)Q的軌跡E方程是：. （2）設(shè)Ｆ（x1，y1）H（x2，y2），則由， 消去y得 又點(diǎn)O到直線FH的距離d=1， 18.解：（1）以直線AB為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系，則A（－c，0），B（c，0） 依題意： ∴點(diǎn)P的軌跡為以A、B為焦點(diǎn)，實(shí)半軸為a，虛半軸為的雙曲線右支 ∴軌跡方程為：。 （2）法一：設(shè)M（，），N（，） 依題意知曲線E的方程為 ，l的方程為 設(shè)直線m的方程為 由方程組，消去y得 ① ∴ ∵直線與雙曲線右支交于不同的兩點(diǎn) ∴及，從而 由①得 解得且 當(dāng)x＝2時(shí)，直線m垂直于x軸，符合條件，∴ 又設(shè)M到l的距離為d，則 ∵ ∴ 設(shè)， 由于函數(shù)與均為區(qū)間的增函數(shù) ∴在單調(diào)遞減 ∴的最大值＝ 又∵ 而M的橫坐標(biāo)，∴ 法二：為一條漸近線 ①m位于時(shí)，m在無(wú)窮遠(yuǎn)，此時(shí) ②m位于時(shí)，，d較大 由 點(diǎn)M ∴ 故 19.解：(1) 曲線表示以為圓心,以3為半徑的圓, 圓上兩點(diǎn)P、Q滿足關(guān)于直線對(duì)稱,則圓心在直線上,代入解得 (2)直線PQ與直線垂直,所以設(shè)PQ方程為 ,. 將直線與圓的方程聯(lián)立得 由解得. . 又以PQ為直徑的圓過(guò)O點(diǎn) 解得 故所求直線方程為 20.解：（1）∵，且， ∴動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離的和為4， ∴軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，方程為 （2）設(shè)，直線的方程為，代入， 消去得 ， 由得 ， 且， ∴ 設(shè)點(diǎn)，由可得 ∵點(diǎn)在上， ∴ ∴， 又因?yàn)榈娜我庑?，∴? ∴，又， 得 ， 代入檢驗(yàn)，滿足條件，故的值是。 21.解：(1) 不妨設(shè). , F.(c,0) 設(shè) k2= ∴k1k2=－1. 即PF⊥. （2）由題 . x2－bx－b2=0, ∴a=1, ∴雙曲線方程為 （3） y=－ M(－ ∴N（－）. 又N在雙曲線上?！? ∴e= 22.解：（I）點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為A（-3，0），B（3，0），設(shè)點(diǎn)P、M、N的坐標(biāo)依次為 　　 則有 　　　　　 　　 ② 4-①得 ，解得c=5 　　 故所求方程是 　　　 （II）由②得， 　　　 　　 所以，M、N的坐標(biāo)為 　　 　　 所以MN的傾斜角是 23.解：（I）由已知，當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，，也滿足方程<1> ∴所求軌跡G方程為 （II）假設(shè)存在點(diǎn)，使為正△ 設(shè)直線方程：代入 得： ∴MN中點(diǎn) 在正△EMN中， 與矛盾 ∴不存在這樣的點(diǎn)使△MNE為正△ 24.解：（1）由題意： ，解得， 所求橢圓方程為 （2）解：設(shè)過(guò)P的直線方程為：， 設(shè)，， 則 ， ∵，∴，即， 化簡(jiǎn)得：， ∴， 去分母展開(kāi)得： 化簡(jiǎn)得：，解得： 又∵Q在直線上， ∴，∴ 即， ∴Q恒在直線上。 25.解：（1）解：設(shè) 即點(diǎn)C的軌跡方程為x+y=1 26.解：（1）設(shè)，則、， 又，，即. （2）設(shè)直線的方程為：，、 假設(shè)存在點(diǎn)滿足題意，則， ，即，， ，又 ， 由于，則 對(duì)不同的值恒成立，即對(duì)不同的值恒成立， 則，即，故存在點(diǎn)符合題意. 27.解：（Ⅰ）以AB中點(diǎn)為原點(diǎn)O，AB所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖 則A（-1,0） B(1,0) D(-1,) 設(shè)橢圓F的方程為 得 得 所求橢圓F方程 （Ⅱ）解：若存在這樣的直線l，依題意，l不垂直x軸 設(shè) l方程 代入 設(shè)、 有 得 又內(nèi)部 故所求直線l方程 （Ⅱ）解法2：若存在這樣的直線l，設(shè)， 有 兩式相減得 有 得 即l斜率為 又，故所求直線l方程 28.解：（1）因?yàn)?，所以H ，又因?yàn)锳H⊥BC，所以設(shè)A，由　得 即　　　　　3分　　 所以|AB| = ，|AC | = 橢圓長(zhǎng)軸2a = |AB| + |AC| = (+ 1)c，　　　　所以，．　 （2）設(shè)D (x1，y1)，因?yàn)镈分有向線段的比為，所以，，　　 　設(shè)橢圓方程為= 1 (a > b > 0)，將A、D點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程得 .① …………………………….. ② 由①得，代入②并整理得，　　　 因?yàn)?– 5≤≤，所以，又0 < e < 1，所以≤e≤． 29.解：（1）設(shè) ， 點(diǎn)在線段的中垂線上 由已知；又∥， 又　 ，頂點(diǎn)的軌跡方程為 . (2)設(shè)直線方程為：，， 由 消去得： ① ， 而 由方程①知 ＞＜ ，＜＜， .