線性離散系統的數學描述與Z傳遞函數分析法.ppt

第 4 章 線性離散系統的數學描述 及Z傳遞函數分析法,本章主要教學內容,1. 線性離散系統的數學描述與差分方程的解,2. Z傳遞函數,3. 離散系統的誤差特性,4. 離散系統的穩(wěn)定性,5. 離散系統的動態(tài)特性,4.1 線性離散系統的數學描述與差分方程的解,4.1.1 線性連續(xù)系統與線性離散系統,1 連續(xù)系統,輸入r(t)，輸出y(t). 微分方程:,2 離散系統,或,3 微分方程轉化為差分方程,離散化用差分代替微分,一階導數（微分）,（后向差分）,二階微分（導數）,三階微分（導數）,積分,，T為采樣周期,4.1.2 差分方程的解法,1 迭代法,2 古典法,3 Z變換法,仿照連續(xù)系統引入拉氏變換，可使求解微分方程的,微積分運算變?yōu)榇鷶捣匠踢M行求解。對離散系統用Z,變換求解差分方程，使得求解運算變成了代數運算，,簡化了計算方法。其步驟如下：,（1）對差分方程作Z變換（主要用到平移定理）；,（2）利用輸出初始條件或求出初值y(0)，y(T)，,代入Z變換式；,（3）整理Z變換式求出,（4）由 利用長除法、部分分式法,或留數法作Z反變換，可求出差分方程的解y(kT)。,例4.1-1 某二階離散系統的差分方程為,，輸入為單位階躍序列,初始條件為0，求y(k).,【解】,Z變換：,Z反變換,例4.1-2 已知差分方程 y(k+2)+3y(k+1)+2y(k)=0，,初始條件為y(0)=0，y(1)=1，求y(k).,【解】Z變換：根據超前定理，上式變?yōu)?Z反變換：,4.2 Z傳遞函數,4.2.1 Z傳遞函數的定義,Z傳遞函數也稱為脈沖傳遞函數（pulse transfer,Function），,（零初始條件下）,若已知R(z)和G(z)，則,4.1.2 Z傳遞函數的求法,1 由差分方程求Z傳遞函數,在零初始條件下，取Z變換,系統的特征方程,例4.2.1 設線性離散系統的Z傳遞函數為,，求差分方程。,【解】,2 積分環(huán)節(jié)的Z傳遞函數,傳遞函數,輸入輸出關系,y(t)采樣后為y(kT),（前向矩形積分）,（后向矩形積分）,（梯形積分）,對上式分別作Z變換，整理后得Z傳遞函數為,！ 連續(xù)系統的積分環(huán)節(jié)G(s)中的s可以用不同的近似方法代替，即用不同的離散實現，但 z=1的極點相同。,3 由連續(xù)系統的傳遞函數G(s)求G(z),在連續(xù)系統中，輸入是單位脈沖 ，輸出是單位,脈沖響應函數 h(t)，則有,在離散系統中，按定義有,步驟：G(s) h(kT) ,例4.2-2 已知 ，求G(z)。,【解】,相當于將采樣時間延長了T，根據Z變換的,線性定理和滯后定理，通過查表可得,4 開環(huán)串、并聯的Z傳遞函數,（1）兩個離散環(huán)節(jié)串聯,（2）兩個連續(xù)的串聯環(huán)節(jié)之間有理想采樣開關,（3）兩個串聯環(huán)節(jié)之間沒有采樣開關,n個環(huán)節(jié)串聯：,一般地，,圖4.2-1 環(huán)節(jié)串聯,（4）環(huán)節(jié)并聯,（a）,（b）（c）,5 帶有零階保持器的開環(huán)Z傳遞函數,零階保持器可分解成兩個單位階躍函數之差，,傳遞函數,Z傳遞函數,圖4.2-3 帶有零階保持器的Z傳遞函數,例4.2-3 如上圖所示，已知 ，求 .,【解】,6 閉環(huán)Z傳遞函數,設閉環(huán)系統輸出信號的Z變換為Y(z)，輸入信號的,Z變換為R(z)，誤差信號的Z變換為E(z)，則定義,閉環(huán)Z傳遞函數,閉環(huán)偏差Z傳遞函數,（1）簡單閉環(huán)Z傳遞函數,+,-,（2）復雜閉環(huán)Z傳遞函數（與采樣開關的配置有關）,a. 與 之間沒有采樣開關,+,-,b. 與 之間有采樣開關,+,-,c. 與 、 與 之間沒有采樣開關隔開,+,-,! 閉環(huán)傳遞函數求不出來,因 中分離不出 .,4.3 用Z傳遞函數分析線性離散系統的誤差特性,穩(wěn)態(tài)誤差反映了系統的精度及抗干擾能力.,引起穩(wěn)態(tài)誤差的原因：,（1）系統的結構、參數,（2）輸入信號的形式,（3）外來的干擾,（4）系統中的各種非確定性因素：如零件參數,離散，摩擦，不靈敏,在連續(xù)系統中，穩(wěn)態(tài)誤差的計算方法有兩種：,（1）用拉氏變換終值定理,（2）從系統誤差傳遞函數出發(fā)的動態(tài)誤差系數法,由于離散系統沒有唯一的典型結構形式，所以誤差,脈沖傳遞函數也給不出一般的計算公式，離散系統的,穩(wěn)態(tài)誤差需要針對不同形式的離散系統來求取。,4.3.1 系統的結構、參數和輸入形式與誤差的關系,+,-,穩(wěn)態(tài)誤差,（終值定理）,系統的開環(huán)Z傳遞函數可寫成,系統也分別稱為0型，型，型，,系統。,1 單位階躍輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差,其中,當 具有一個以上的極點(z=1)時，則,（3）若 具有2個z=1的極點，則,（1）若 具有0個z=1的極點，則,（2）若 具有1個z=1的極點，則,2 單位速度（斜坡）輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差,（3） 當 具有3個以上極點時，,（2） 當 具有2個極點時，,（1） 當 具有 0,1個極點時，,3 單位加速度輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差,三種信號輸入時各類系統的穩(wěn)態(tài)誤差,4.3.2 擾動作用下的系統穩(wěn)態(tài)誤差,+,-,由擾動引起的誤差,其穩(wěn)態(tài)誤差,由輸入引起的誤差,由輸入和干擾引起的總誤差,4.4 用Z傳遞函數分析線性離散系統的穩(wěn)定性, 連續(xù)線性定常系統穩(wěn)定的充要條件是：閉環(huán)系統系,統的特征值具有負實部，即閉環(huán)系統的極點均分布,在S平面的左半平面。, 線性離散系統是否穩(wěn)定，要看閉環(huán)系統的Z傳遞函,數的極點分布情況。,令 ，則有,4.4.1 S平面與Z平面的映射關系,Z變換的定義：,（4）當 每變化一個 ，則對應地在Z平面上重復,（3）當 0 時， 1，右半平面單位圓外部；,（2）當 0 時， 1，左半平面單位圓內部；,（1）當 時， ，虛軸 單位圓；,畫出一個單位圓。 主頻區(qū)。,（5）左半平面無窮遠處對應Z平,面的圓心。,設 ，則,對應于Z平面：從原點出發(fā)，幅角 的,（6）S平面上平行與實軸的直線,一條射線。,（7）S平面的一條射線，又稱為等阻尼線。,即：z的模,z的相角,！對數螺旋線,都分布在Z平面上以原點為圓心的單位圓內： 1.,4.4.2 線性離散系統的穩(wěn)定條件,線性離散系統穩(wěn)定的充要條件：特征方程的全部,根，或者說閉環(huán)Z傳遞函數的全部極點 ，,+,-,! 可用解析的方法說明,上圖所示閉環(huán)系統的Z傳遞函數為,系統的特征方程,系統的輸出為,設輸入為 ，即 ，當 無重極點,時， 可分解為部分分式,若系統穩(wěn)定，則隨著時間增長，即 時，,若 1 （i=1,2,n），則上式滿足。若有一個根,大于1，系統不穩(wěn)定；若有一個根的模等于1，則系,統處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。,4.4.3 系統穩(wěn)定性判別方法（準則）,1 （修正）勞斯-霍爾維茨穩(wěn)定判據,S域：基于傳遞函數的連續(xù)系統穩(wěn)定條件是特征根,的實部為負數可直接用勞斯判據,Z域：基于Z傳遞函數的離散系統穩(wěn)定條件是特征,根的模小于1 不能直接用勞斯判據 ？,作一種ZW變換，變換后W平面的左半平面對應,Z平面的單位圓內，于是在W域內可使用勞斯判據。,這種坐標變換稱為W變換，或稱為雙線性變換。,若令 ，代入上式，則有,復變函數雙線性變換,則有,Im,Z,Re,+1,-1,0,jv,W,0,u,Z-W映射關系,（1）r1，在Z平面的單位圓內，則u0，W平面的,左半平面；,（2）r1，在Z平面的單位圓內，則u0，W平面的,右半平面；,（2）作 變換，經整理后得到 ；,系統的特征多項式 經 變換變成 ，,（3）r=1，在Z平面的單位圓上，則 u=0， ，,表示為W平面上的虛軸。,勞斯判據,對 使用勞斯判據，其步驟為,（1）求出離散系統的特征方程 ；,（3）對 列寫勞斯表，判別系統的穩(wěn)定性。,例4.4-1 利用勞斯判據，討論圖示系統的穩(wěn)定性，其中,K=1，T=1s.,+,-,【解】,系統的特征方程為,采用雙線性變換，即令 可得W平面的特征方程,建立勞斯表,由勞斯判據可知系統穩(wěn)定。,例4.4-2 某離散系統如圖所示。試用勞斯準則確定使,該系統穩(wěn)定的k值范圍，設T=0.25s.,【解】,Z特征方程,W特征方程,Routh表：,由Routh穩(wěn)定判據，使系統穩(wěn)定的k值范圍為,0k17.3,另外，采樣周期T對系統穩(wěn)定性有影響，縮短采樣周,期，會改善系統的穩(wěn)定性。對于本例，若T=0.1s，,則 0k40.5 .,【結論】,（1）使用勞斯判據，可確定系統穩(wěn)定極點的個數；,（2）可分析系統各參數（如放大系數K、采樣周期T、,對象特征參數等）對系統穩(wěn)定性的影響。,（3）控制系統中加入零階保持器后，會使系統的穩(wěn)定,性變差。,（4）開環(huán)放大系數K對離散系統穩(wěn)定性的影響與連續(xù),系統類似，K加大，系統穩(wěn)定性變差。,2 舒爾-科恩（Schour-Cohn）判據適用于高階系統,線性離散系統的特征方程為,以三階特征方程為例,當特征方程高于三階時，可按上表的規(guī)則推出。,舒爾-科恩判據：若行列表中第一列單數行的各元素,均為正，則系統穩(wěn)定。,3 二階系統的穩(wěn)定性判據 Z域直接判別法,設系統的特征方程為,當滿足下列三個條件：,（1） 1,（2） 0,（3） 0,則系統是穩(wěn)定的。,例4.4-3 在例4.4-2中，試用Z域直接判別法確定滿足,系統穩(wěn)定的K值范圍。,【解】,特征方程,根據Z域直接判別法,1,0,0,可得滿足系統穩(wěn)定的條件為 0k17.3. 此結果與上,例用勞斯判據給出的結果相同。,（即超調量 與過渡過程時間 ）。即,進行Z反變換，就可獲得動態(tài)響應采樣值 y(kT) 。將,設單位階躍輸入的輸出的Z變換為Y(z)，那么對Y(z),4.5 離散系統的動態(tài)特性,線性離散系統的動態(tài)特性是指系統在單位階躍信,號輸入下的過渡過程特性（或系統的動態(tài)響應特性）.,Y(kT)連成光滑曲線，就可獲得系統的動態(tài)性能指標,一般地，采樣系統的閉環(huán)脈沖傳遞函數可寫成,輸入：,輸出：,對應的暫態(tài)響應分量 是等幅的。,（2）極點在單位圓與正實周的交點，例如 ，,的暫態(tài)響應分量 單調發(fā)散。,1 閉環(huán)實極點對系統動態(tài)性能的影響,對上式取逆Z變換，得采樣系統的輸出響應，其中包,含穩(wěn)態(tài)響應，及由實極點和復極點所引起的暫態(tài)響應.,（1）極點在單位圓外的實軸上，例如 ，對應,對應的暫態(tài)響應分量 是正負交替的衰減,應的暫態(tài)響應分量 單調衰減。,（3）極點在單位圓內的正實軸上，例如 ，對,（4）極點在單位圓內的負實軸上，例如 ，,振蕩（周期為2T）。,（5）極點在單位圓與負實軸的交點，例如 ，對,應的暫態(tài)響應分量 是正負交替的等幅振蕩,（周期為2T）。,（6）極點在單位圓外的復實軸上，例如 ，對,應的暫態(tài)響應分量 是正負交替的發(fā)散振,蕩（周期為2T）。,2 閉環(huán)復極點對系統動態(tài)性能的影響,（1）復極點在Z平面單位圓外，對應的暫態(tài)響應分量,是振蕩發(fā)散的。,（2）復極點在Z平面單位圓上，對應的暫態(tài)響應是等,幅振蕩。,（3）復極點在Z平面單位圓內，對應的暫態(tài)分量是,振蕩衰減的。,綜上所述，對離散系統極點分布作如下討論：,（1）為使離散系統具有滿意的瞬態(tài)特性，其閉環(huán)極,應盡量避免分布在Z平面單位圓的左半部，尤其不,要靠近負實軸。閉環(huán)極點最好分布在Z平面單位圓的,右半部，尤為理想的是分布在靠近原點的地方，由,于這時 值較小，所以響應的瞬態(tài)過程較快，即離,散系統對輸入具有快速響應的性能。,（2）通過分析可知，極點越接近Z平面的單位圓，瞬,態(tài)響應衰減越慢。假如有一對極點最靠近單位圓，,而其他極點均在原點附近，離這一對極點相當遠，則,系統響應主要由這一對極點決定，稱為主導極點對。,這時可忽略原點附近極點相對應的瞬態(tài)分量，而主,考慮主導極點引起的瞬態(tài)分量。,本章作業(yè)：3.3，3.4（3），3.6（2），3.8,