《線性離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述與Z傳遞函數(shù)分析法.ppt》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《線性離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述與Z傳遞函數(shù)分析法.ppt（61頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第 4 章 線性離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述 及Z傳遞函數(shù)分析法,本章主要教學(xué)內(nèi)容,1. 線性離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述與差分方程的解,2. Z傳遞函數(shù),3. 離散系統(tǒng)的誤差特性,4. 離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性,5. 離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性,4.1 線性離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述與差分方程的解,4.1.1 線性連續(xù)系統(tǒng)與線性離散系統(tǒng),1 連續(xù)系統(tǒng),輸入r(t)，輸出y(t). 微分方程:,2 離散系統(tǒng),或,3 微分方程轉(zhuǎn)化為差分方程,離散化用差分代替微分,一階導(dǎo)數(shù)（微分）,（后向差分）,二階微分（導(dǎo)數(shù)）,三階微分（導(dǎo)數(shù)）,積分,，T為采樣周期,4.1.2 差分方程的解法,1 迭代法,2 古典法,3 Z變換法,仿照連續(xù)系統(tǒng)引入拉氏變
2、換，可使求解微分方程的,微積分運(yùn)算變?yōu)榇鷶?shù)方程進(jìn)行求解。對(duì)離散系統(tǒng)用Z,變換求解差分方程，使得求解運(yùn)算變成了代數(shù)運(yùn)算，,簡(jiǎn)化了計(jì)算方法。其步驟如下：,（1）對(duì)差分方程作Z變換（主要用到平移定理）；,（2）利用輸出初始條件或求出初值y(0)，y(T)，,代入Z變換式；,（3）整理Z變換式求出,（4）由 利用長(zhǎng)除法、部分分式法,或留數(shù)法作Z反變換，可求出差分方程的解y(kT)。,例4.1-1 某二階離散系統(tǒng)的差分方程為,，輸入為單位階躍序列,初始條件為0，求y(k).,【解】,Z變換：,Z反變換,例4.1-2 已知差分方程 y(k+2)+3y(k+1)+2y(k)=0，,初始條件為y(0)=0，y
3、(1)=1，求y(k).,【解】Z變換：根據(jù)超前定理，上式變?yōu)?Z反變換：,4.2 Z傳遞函數(shù),4.2.1 Z傳遞函數(shù)的定義,Z傳遞函數(shù)也稱(chēng)為脈沖傳遞函數(shù)（pulse transfer,Function），,（零初始條件下）,若已知R(z)和G(z)，則,4.1.2 Z傳遞函數(shù)的求法,1 由差分方程求Z傳遞函數(shù),在零初始條件下，取Z變換,系統(tǒng)的特征方程,例4.2.1 設(shè)線性離散系統(tǒng)的Z傳遞函數(shù)為,，求差分方程。,【解】,2 積分環(huán)節(jié)的Z傳遞函數(shù),傳遞函數(shù),輸入輸出關(guān)系,y(t)采樣后為y(kT),（前向矩形積分）,（后向矩形積分）,（梯形積分）,對(duì)上式分別作Z變換，整理后得Z傳遞函數(shù)為,！ 連
4、續(xù)系統(tǒng)的積分環(huán)節(jié)G(s)中的s可以用不同的近似方法代替，即用不同的離散實(shí)現(xiàn)，但 z=1的極點(diǎn)相同。,3 由連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(s)求G(z),在連續(xù)系統(tǒng)中，輸入是單位脈沖 ，輸出是單位,脈沖響應(yīng)函數(shù) h(t)，則有,在離散系統(tǒng)中，按定義有,步驟：G(s) h(kT) ,例4.2-2 已知 ，求G(z)。,【解】,相當(dāng)于將采樣時(shí)間延長(zhǎng)了T，根據(jù)Z變換的,線性定理和滯后定理，通過(guò)查表可得,4 開(kāi)環(huán)串、并聯(lián)的Z傳遞函數(shù),（1）兩個(gè)離散環(huán)節(jié)串聯(lián),（2）兩個(gè)連續(xù)的串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有理想采樣開(kāi)關(guān),（3）兩個(gè)串聯(lián)環(huán)節(jié)之間沒(méi)有采樣開(kāi)關(guān),n個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)：,一般地，,圖4.2-1 環(huán)節(jié)串聯(lián),（4）環(huán)節(jié)并聯(lián),（a）,（
5、b）（c）,5 帶有零階保持器的開(kāi)環(huán)Z傳遞函數(shù),零階保持器可分解成兩個(gè)單位階躍函數(shù)之差，,傳遞函數(shù),Z傳遞函數(shù),圖4.2-3 帶有零階保持器的Z傳遞函數(shù),例4.2-3 如上圖所示，已知 ，求 .,【解】,6 閉環(huán)Z傳遞函數(shù),設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)輸出信號(hào)的Z變換為Y(z)，輸入信號(hào)的,Z變換為R(z)，誤差信號(hào)的Z變換為E(z)，則定義,閉環(huán)Z傳遞函數(shù),閉環(huán)偏差Z傳遞函數(shù),（1）簡(jiǎn)單閉環(huán)Z傳遞函數(shù),+,-,（2）復(fù)雜閉環(huán)Z傳遞函數(shù)（與采樣開(kāi)關(guān)的配置有關(guān)）,a. 與 之間沒(méi)有采樣開(kāi)關(guān),+,-,b. 與 之間有采樣開(kāi)關(guān),+,-,c. 與 、 與 之間沒(méi)有采樣開(kāi)關(guān)隔開(kāi),+,-,! 閉環(huán)傳遞函數(shù)求不出來(lái),因 中分
6、離不出 .,4.3 用Z傳遞函數(shù)分析線性離散系統(tǒng)的誤差特性,穩(wěn)態(tài)誤差反映了系統(tǒng)的精度及抗干擾能力.,引起穩(wěn)態(tài)誤差的原因：,（1）系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù),（2）輸入信號(hào)的形式,（3）外來(lái)的干擾,（4）系統(tǒng)中的各種非確定性因素：如零件參數(shù),離散，摩擦，不靈敏,在連續(xù)系統(tǒng)中，穩(wěn)態(tài)誤差的計(jì)算方法有兩種：,（1）用拉氏變換終值定理,（2）從系統(tǒng)誤差傳遞函數(shù)出發(fā)的動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)法,由于離散系統(tǒng)沒(méi)有唯一的典型結(jié)構(gòu)形式，所以誤差,脈沖傳遞函數(shù)也給不出一般的計(jì)算公式，離散系統(tǒng)的,穩(wěn)態(tài)誤差需要針對(duì)不同形式的離散系統(tǒng)來(lái)求取。,4.3.1 系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)和輸入形式與誤差的關(guān)系,+,-,穩(wěn)態(tài)誤差,（終值定理）,系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)Z傳
7、遞函數(shù)可寫(xiě)成,系統(tǒng)也分別稱(chēng)為0型，型，型，,系統(tǒng)。,1 單位階躍輸入時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差,其中,當(dāng) 具有一個(gè)以上的極點(diǎn)(z=1)時(shí)，則,（3）若 具有2個(gè)z=1的極點(diǎn)，則,（1）若 具有0個(gè)z=1的極點(diǎn)，則,（2）若 具有1個(gè)z=1的極點(diǎn)，則,2 單位速度（斜坡）輸入時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差,（3） 當(dāng) 具有3個(gè)以上極點(diǎn)時(shí)，,（2） 當(dāng) 具有2個(gè)極點(diǎn)時(shí)，,（1） 當(dāng) 具有 0,1個(gè)極點(diǎn)時(shí)，,3 單位加速度輸入時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差,三種信號(hào)輸入時(shí)各類(lèi)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差,4.3.2 擾動(dòng)作用下的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差,+,-,由擾動(dòng)引起的誤差,其穩(wěn)態(tài)誤差,由輸入引起的誤差,由輸入和干擾引起的總誤差,4.4 用Z傳遞函數(shù)分析線性離散系統(tǒng)的穩(wěn)
8、定性, 連續(xù)線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：閉環(huán)系統(tǒng)系,統(tǒng)的特征值具有負(fù)實(shí)部，即閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)均分布,在S平面的左半平面。, 線性離散系統(tǒng)是否穩(wěn)定，要看閉環(huán)系統(tǒng)的Z傳遞函,數(shù)的極點(diǎn)分布情況。,令 ，則有,4.4.1 S平面與Z平面的映射關(guān)系,Z變換的定義：,（4）當(dāng) 每變化一個(gè) ，則對(duì)應(yīng)地在Z平面上重復(fù),（3）當(dāng) 0 時(shí)， 1，右半平面單位圓外部；,（2）當(dāng) 0 時(shí)， 1，左半平面單位圓內(nèi)部；,（1）當(dāng) 時(shí)， ，虛軸 單位圓；,畫(huà)出一個(gè)單位圓。 主頻區(qū)。,（5）左半平面無(wú)窮遠(yuǎn)處對(duì)應(yīng)Z平,面的圓心。,設(shè) ，則,對(duì)應(yīng)于Z平面：從原點(diǎn)出發(fā)，幅角 的,（6）S平面上平行與實(shí)軸的直線,一條射線。,（7）S
9、平面的一條射線，又稱(chēng)為等阻尼線。,即：z的模,z的相角,！對(duì)數(shù)螺旋線,都分布在Z平面上以原點(diǎn)為圓心的單位圓內(nèi)： 1.,4.4.2 線性離散系統(tǒng)的穩(wěn)定條件,線性離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：特征方程的全部,根，或者說(shuō)閉環(huán)Z傳遞函數(shù)的全部極點(diǎn) ，,+,-,! 可用解析的方法說(shuō)明,上圖所示閉環(huán)系統(tǒng)的Z傳遞函數(shù)為,系統(tǒng)的特征方程,系統(tǒng)的輸出為,設(shè)輸入為 ，即 ，當(dāng) 無(wú)重極點(diǎn),時(shí)， 可分解為部分分式,若系統(tǒng)穩(wěn)定，則隨著時(shí)間增長(zhǎng)，即 時(shí)，,若 1 （i=1,2,n），則上式滿(mǎn)足。若有一個(gè)根,大于1，系統(tǒng)不穩(wěn)定；若有一個(gè)根的模等于1，則系,統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。,4.4.3 系統(tǒng)穩(wěn)定性判別方法（準(zhǔn)則）,1 （修正）
10、勞斯-霍爾維茨穩(wěn)定判據(jù),S域：基于傳遞函數(shù)的連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定條件是特征根,的實(shí)部為負(fù)數(shù)可直接用勞斯判據(jù),Z域：基于Z傳遞函數(shù)的離散系統(tǒng)穩(wěn)定條件是特征,根的模小于1 不能直接用勞斯判據(jù) ？,作一種ZW變換，變換后W平面的左半平面對(duì)應(yīng),Z平面的單位圓內(nèi)，于是在W域內(nèi)可使用勞斯判據(jù)。,這種坐標(biāo)變換稱(chēng)為W變換，或稱(chēng)為雙線性變換。,若令 ，代入上式，則有,復(fù)變函數(shù)雙線性變換,則有,Im,Z,Re,+1,-1,0,jv,W,0,u,Z-W映射關(guān)系,（1）r1，在Z平面的單位圓內(nèi)，則u0，W平面的,左半平面；,（2）r1，在Z平面的單位圓內(nèi)，則u0，W平面的,右半平面；,（2）作 變換，經(jīng)整理后得到 ；,系統(tǒng)的
11、特征多項(xiàng)式 經(jīng) 變換變成 ，,（3）r=1，在Z平面的單位圓上，則 u=0， ，,表示為W平面上的虛軸。,勞斯判據(jù),對(duì) 使用勞斯判據(jù)，其步驟為,（1）求出離散系統(tǒng)的特征方程 ；,（3）對(duì) 列寫(xiě)勞斯表，判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,例4.4-1 利用勞斯判據(jù)，討論圖示系統(tǒng)的穩(wěn)定性，其中,K=1，T=1s.,+,-,【解】,系統(tǒng)的特征方程為,采用雙線性變換，即令 可得W平面的特征方程,建立勞斯表,由勞斯判據(jù)可知系統(tǒng)穩(wěn)定。,例4.4-2 某離散系統(tǒng)如圖所示。試用勞斯準(zhǔn)則確定使,該系統(tǒng)穩(wěn)定的k值范圍，設(shè)T=0.25s.,【解】,Z特征方程,W特征方程,Routh表：,由Routh穩(wěn)定判據(jù)，使系統(tǒng)穩(wěn)定的k值范圍為
12、,0k17.3,另外，采樣周期T對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性有影響，縮短采樣周,期，會(huì)改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性。對(duì)于本例，若T=0.1s，,則 0k40.5 .,【結(jié)論】,（1）使用勞斯判據(jù)，可確定系統(tǒng)穩(wěn)定極點(diǎn)的個(gè)數(shù)；,（2）可分析系統(tǒng)各參數(shù)（如放大系數(shù)K、采樣周期T、,對(duì)象特征參數(shù)等）對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。,（3）控制系統(tǒng)中加入零階保持器后，會(huì)使系統(tǒng)的穩(wěn)定,性變差。,（4）開(kāi)環(huán)放大系數(shù)K對(duì)離散系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響與連續(xù),系統(tǒng)類(lèi)似，K加大，系統(tǒng)穩(wěn)定性變差。,2 舒爾-科恩（Schour-Cohn）判據(jù)適用于高階系統(tǒng),線性離散系統(tǒng)的特征方程為,以三階特征方程為例,當(dāng)特征方程高于三階時(shí)，可按上表的規(guī)則推出。,舒爾-科恩判據(jù)：若
13、行列表中第一列單數(shù)行的各元素,均為正，則系統(tǒng)穩(wěn)定。,3 二階系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù) Z域直接判別法,設(shè)系統(tǒng)的特征方程為,當(dāng)滿(mǎn)足下列三個(gè)條件：,（1） 1,（2） 0,（3） 0,則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。,例4.4-3 在例4.4-2中，試用Z域直接判別法確定滿(mǎn)足,系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍。,【解】,特征方程,根據(jù)Z域直接判別法,1,0,0,可得滿(mǎn)足系統(tǒng)穩(wěn)定的條件為 0k17.3. 此結(jié)果與上,例用勞斯判據(jù)給出的結(jié)果相同。,（即超調(diào)量 與過(guò)渡過(guò)程時(shí)間 ）。即,進(jìn)行Z反變換，就可獲得動(dòng)態(tài)響應(yīng)采樣值 y(kT) 。將,設(shè)單位階躍輸入的輸出的Z變換為Y(z)，那么對(duì)Y(z),4.5 離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性,線性離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)
14、特性是指系統(tǒng)在單位階躍信,號(hào)輸入下的過(guò)渡過(guò)程特性（或系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性）.,Y(kT)連成光滑曲線，就可獲得系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo),一般地，采樣系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)可寫(xiě)成,輸入：,輸出：,對(duì)應(yīng)的暫態(tài)響應(yīng)分量 是等幅的。,（2）極點(diǎn)在單位圓與正實(shí)周的交點(diǎn)，例如 ，,的暫態(tài)響應(yīng)分量 單調(diào)發(fā)散。,1 閉環(huán)實(shí)極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的影響,對(duì)上式取逆Z變換，得采樣系統(tǒng)的輸出響應(yīng)，其中包,含穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，及由實(shí)極點(diǎn)和復(fù)極點(diǎn)所引起的暫態(tài)響應(yīng).,（1）極點(diǎn)在單位圓外的實(shí)軸上，例如 ，對(duì)應(yīng),對(duì)應(yīng)的暫態(tài)響應(yīng)分量 是正負(fù)交替的衰減,應(yīng)的暫態(tài)響應(yīng)分量 單調(diào)衰減。,（3）極點(diǎn)在單位圓內(nèi)的正實(shí)軸上，例如 ，對(duì),（4）極點(diǎn)在單位圓內(nèi)
15、的負(fù)實(shí)軸上，例如 ，,振蕩（周期為2T）。,（5）極點(diǎn)在單位圓與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)，例如 ，對(duì),應(yīng)的暫態(tài)響應(yīng)分量 是正負(fù)交替的等幅振蕩,（周期為2T）。,（6）極點(diǎn)在單位圓外的復(fù)實(shí)軸上，例如 ，對(duì),應(yīng)的暫態(tài)響應(yīng)分量 是正負(fù)交替的發(fā)散振,蕩（周期為2T）。,2 閉環(huán)復(fù)極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的影響,（1）復(fù)極點(diǎn)在Z平面單位圓外，對(duì)應(yīng)的暫態(tài)響應(yīng)分量,是振蕩發(fā)散的。,（2）復(fù)極點(diǎn)在Z平面單位圓上，對(duì)應(yīng)的暫態(tài)響應(yīng)是等,幅振蕩。,（3）復(fù)極點(diǎn)在Z平面單位圓內(nèi)，對(duì)應(yīng)的暫態(tài)分量是,振蕩衰減的。,綜上所述，對(duì)離散系統(tǒng)極點(diǎn)分布作如下討論：,（1）為使離散系統(tǒng)具有滿(mǎn)意的瞬態(tài)特性，其閉環(huán)極,應(yīng)盡量避免分布在Z平面單位圓的左半部，尤其不,要靠近負(fù)實(shí)軸。閉環(huán)極點(diǎn)最好分布在Z平面單位圓的,右半部，尤為理想的是分布在靠近原點(diǎn)的地方，由,于這時(shí) 值較小，所以響應(yīng)的瞬態(tài)過(guò)程較快，即離,散系統(tǒng)對(duì)輸入具有快速響應(yīng)的性能。,（2）通過(guò)分析可知，極點(diǎn)越接近Z平面的單位圓，瞬,態(tài)響應(yīng)衰減越慢。假如有一對(duì)極點(diǎn)最靠近單位圓，,而其他極點(diǎn)均在原點(diǎn)附近，離這一對(duì)極點(diǎn)相當(dāng)遠(yuǎn)，則,系統(tǒng)響應(yīng)主要由這一對(duì)極點(diǎn)決定，稱(chēng)為主導(dǎo)極點(diǎn)對(duì)。,這時(shí)可忽略原點(diǎn)附近極點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的瞬態(tài)分量，而主,考慮主導(dǎo)極點(diǎn)引起的瞬態(tài)分量。,本章作業(yè)：3.3，3.4（3），3.6（2），3.8,
線性離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述與Z傳遞函數(shù)分析法.ppt
