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1、第6章 常微分方程,對自然界的深刻研究,傅里葉,微積分研究的對象是函數(shù)關(guān)系,,但在實際問題中,,往往很難直接得到,所研究的變量之間的函數(shù)關(guān)系,,卻,比較容易建立起,這些變量與它們的導(dǎo)數(shù)或微分之,間的聯(lián)系,,從而得到一個,分的方程,,即微分方程.,通過求解這種方程,,同樣可,以找到指定未知量之間的函數(shù)關(guān)系.,因此,,微分方程是數(shù)學(xué)聯(lián),關(guān)于未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微,是數(shù)學(xué)最富饒的源泉.,系實際,,并應(yīng)用于實際,并應(yīng)用于實際的重要途徑和橋梁,,是各個學(xué)科進行,科學(xué)研究的強有力的工具.,如果說“數(shù)學(xué)是一門理性思維的科學(xué),,是研究、,了,解和知曉現(xiàn)實世界的工具”,,那么微分方程就是,顯示數(shù)學(xué)的這種威力和價值的
2、一種體現(xiàn).,現(xiàn)實世界中的許,多實際問題,都可以抽象為微分,方程問題.例如,,物體,的冷卻、,琴弦的,震動、電磁波的傳播等,,都可以歸結(jié)為微分方程,的問題.,人口的增長、,微分方程是一門獨立的數(shù)學(xué)學(xué)科,,有完整的,理論體系.,本章我們主要介紹微分方程的一些基本概念,,種常用的微分方程的求解方法,,線性微分方程,解的理論.,幾,這時微分方程也稱為,所研究問題的數(shù)學(xué)模型.,解,一、問題的提出,6.1 微分方程的基本概念,解,代入條件后知,故,開始制動到列車完全停住共需,微分方程: 凡含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程叫微分方程.,例,實質(zhì): 聯(lián)系自變量,未知函數(shù)以及未知函數(shù)的某些導(dǎo)數(shù)(或微分)之間的關(guān)系
3、式.,二、微分方程的定義,微分方程的階: 微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最 高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)稱之.,分類1: 常微分方程, 偏常微分方程.,一階微分方程,高階(n)微分方程,分類2:,分類3: 線性與非線性微分方程.,分類4: 單個微分方程與微分方程組.,微分方程的解: 代入微分方程能使方程成為恒等式的函數(shù)稱之.,微分方程的解的分類：,三、主要問題-----求方程的解,(1)通解: 微分方程的解中含有任意常數(shù),且任意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同.,(2)特解: 確定了通解中任意常數(shù)以后的解.,解的圖象: 微分方程的積分曲線.,通解的圖象: 積分曲線族.,初始條件: 用來確定任意常數(shù)的條件.,過定點
4、的積分曲線;,一階:,二階:,過定點且在定點的切線的斜率為定值的積分曲線.,初值問題: 求微分方程滿足初始條件的解的問題.,求所滿足的微分方程 .,例2. 已知曲線上點 P(x, y) 處的法線與 x 軸交點為 Q,,解: 如圖所示,,令 Y = 0 , 得 Q 點的橫坐標,即,,,,點 P(x, y) 處的法線方程為,且線段 PQ 被 y 軸平分,,解,所求特解為,補充:,微分方程的初等解法: 初等積分法.,求解微分方程,,求積分,(通解可用初等函數(shù)或積分表示出來),例5,其中,為任意常數(shù).,解,求曲線族所滿足的方程,,就是求一微分方程,,所給的曲線族正好是該微分方程的積分曲線族.,此所求的微分方程的階數(shù)應(yīng)與,常數(shù)的個數(shù)相等.,這里,,法來得到所求的微分方程.,已知曲線族中的任意,我們通過消去任意常數(shù)的方,得,再從,解出,代入上式得,使,因,化簡即得到所求的微分方程,微分方程;,微分方程的階;,微分方程的解;,通解;,初始條件;,特解;,初值問題;,積分曲線;,四、小結(jié),思考題,思考題解答,中不含任意常數(shù),,故為微分方程的特解.,練 習(xí) 題,練習(xí)題答案,
概念高等數(shù)學(xué)微積分
