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1、數(shù)學高考總復習：點、線、面的位置關(guān)系
知識網(wǎng)絡(luò)：
目標認知
考試大綱要求
（一）理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義，并了解如下可以作為推理依據(jù)的公理和定理.
公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點在此平面內(nèi).
公理2：過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面.
公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線.
公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.
定理：空間中如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補.
2、（二）以立體幾何的上述定義、公理和定理為出發(fā)點，認識和理解空間中線面平行、垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定.
理解以下判定定理：
如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行.
如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面都平行，那么這兩個平面平行.
如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直.
如果一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，那么這兩個平面互相垂直.
（三）理解以下性質(zhì)定理，并能夠證明.
如果一條直線與一個平面平行，經(jīng)過該直線的任一個平面與此平面相交，那么這條直線就和交線平行.
如果兩個平行平面同時和第三個
3、平面相交，那么它們的交線相互平行.
垂直于同一個平面的兩條直線平行.
如果兩個平面垂直，那么一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線與另一個平面垂直.
?。ㄋ模┠苓\用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡單命題.
重點：
掌握平面的基本性質(zhì)；掌握線線、線面、面面的位置關(guān)系及其判定定理和性質(zhì)定理。
難點：
線線、線面、面面的位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理的應用。
知識要點梳理：
知識點一：平面
1．概念：
平面是沒有厚薄的，可以無限延伸，這是平面最基本的屬性。
2．平面的畫法及其表示方法：
?、俪Ｓ闷叫兴倪呅伪硎酒矫?，
4、通常把平行四邊形的銳角畫成，橫邊畫成鄰邊的兩倍，畫兩個平面相
交時，當一個平面的一部分被另一個平面遮住時，應把被遮住的部分畫成虛線或不畫。
?、谝话阌靡粋€希臘字母、、……來表示，還可用平行四邊形的對角頂點的字母來表示如平面
等。
知識點二：點、線、面的基本位置關(guān)系
1．符號表示如下表所示（引用集合語言表示相互間的關(guān)系）：
圖形
符號語言
文字語言（讀法）
點在直線上
點不在直線上
點在平面內(nèi)
點不在平面內(nèi)
直線、交于點
直線在平面內(nèi)
直線與平面無公共點
直線與平面交于點
5、
平面、相交于直線
注意：（平面外的直線）表示或
2. 空間兩條直線的位置關(guān)系：
3. 直線與平面的位置關(guān)系：
?。?）直線在平面內(nèi)（有無數(shù)個公共點）；
（2）直線與平面相交（有且只有一個公共點）；
（3）直線與平面平行（沒有公共點）.
分別記作：；；.
4. 平面的位置關(guān)系：
（1）平行（沒有公共點），記作；
?。?）相交（有一條公共直線），記作.
知識點三：平面的基本性質(zhì)
借助實物模型，在直觀認識和理解空間點、線、面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，從文字語言、圖形語言、符號語言三個角度，了解可以作為推理依據(jù)的公理和定
6、理. 列表如下：
公理1
公理2
公理3
公理4
等角定理
文文字語言
如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi).
過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面.
如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線.
平行于同一條直線的兩條直線互相平行.
空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補.
符符號語言
圖圖形語言
理理解
判定直線或點在平面內(nèi)的依據(jù)，檢驗水平.
刻畫平面特有性質(zhì)，是確定平面的依據(jù).
判定平面是否相交，點是否在直線上.
平行的傳遞性，判斷直線
7、平行的依據(jù).
由平面圖形推廣到立體圖形.
知識點四：平行位置關(guān)系
1.直線與平面
?。?）直線和平面的位置關(guān)系
①直線在平面內(nèi)（無數(shù)個公共點）；符號表示為:；
②直線和平面相交（有且只有一個公共點）；符號表示為: ；
③直線和平面平行（沒有公共點）；符號表示為: ．
?。?）線面平行的判定定理：
如果不在一個平面內(nèi)的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行．
推理模式：．
?。?）線面平行的性質(zhì)定理：
如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交,那么這條直線和
8、交線平行．
推理模式：．
2.平面與平面
?。?）面面平行的定義：
如果兩個平面沒有公共點，那么這兩個平面互相平行．
?。?）圖形表示：
畫兩個平面平行時，通常把表示這兩個平面的平行四邊形的相鄰兩邊分別畫成平行的．
?。?）平行平面的判定定理：
如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個平面，那么這兩個平面互相平行．
推理模式：．
?。?）平行平面的性質(zhì)定理：
如果兩個平行平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行．
推理模式：．
?。?）面面平行的另一性質(zhì)：
如果兩
9、個平面平行，那么其中一個平面內(nèi)的直線平行于另一個平面．
推理模式：．
知識點五：垂直位置關(guān)系
1.直線與平面
（1）線面垂直定義：
如果一條直線和一個平面相交，并且和這個平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說這條直線和
這個平面互相垂直，其中直線叫做平面的垂線，平面叫做直線的垂面，交點叫做垂足。
直線與平面垂直簡稱線面垂直，記作：a⊥α。
?。?）直線與平面垂直的判定定理：
如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面。
（3）直線和平面垂直的性質(zhì)定理:
如果兩條直線同垂直
10、于一個平面,那麼這兩條直線平行。
2.平面與平面
?。?）兩個平面垂直的定義：
兩個相交成直二面角的兩個平面互相垂直；相交成直二面角的兩個平面叫做互相垂直的平面
?。?）兩平面垂直的判定定理：
如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直
推理模式：．
?。?）兩平面垂直的性質(zhì)定理：
若兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們的交線的直線垂直于另一個平面
推理模式：
規(guī)律方法指導
1．證明三點共線和三線共點的方法
（1）證明空間三點共線問題，通常證明這些點都在兩個平面的交線上，
11、即先確定出某兩點在某兩個平
面的交線上，再證明第三點既在第一個平面內(nèi)，又在第二個平面內(nèi),當然必在兩個平面的交線上．
?。?）證明空間三線共點問題，可把其中一條作為分別過其余兩條的兩個平面的交線，然后再證明另兩
條的交點在此交線上．
2．解決平行問題時，還要注意使用以下結(jié)論
?。?）經(jīng)過平面外一點有且只有一個平面和已知平面平行；
?。?）兩個平面平行，其中一個平面內(nèi)的直線必平行于另一個平面；
?。?）一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，必垂直于另一個平面；
（4）夾在兩個平行平面間的平行線段相等．
3．三垂線定理及其逆定理
三垂
12、線定理及其逆定理所論述的是三個垂直關(guān)系：一是直線與平面垂直（這是前提）；二是平面內(nèi)一條直線與斜線的射影（或斜線）垂直；三是這條直線與斜線（或射影）垂直．構(gòu)成定理的五個元素是“一面四線”．運用三垂線定理及其逆定理的步驟是：確定平面→作出垂線→找到斜線→連成射影→找垂面內(nèi)線，其關(guān)鍵是確定平面及平面的垂線．
4．證明線面垂直的方法
?。?）利用定義，即證垂直于平面內(nèi)任一直線．
（2）利用線面垂直的判定定理．
?。?）利用線面垂直的性質(zhì)，即兩平行線之一垂直于平面，則另一條線必垂直于該平面．
（4）利用面面垂直的性質(zhì)定理，即兩平面互相垂直,在一個平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一平面．
?。?）用面面平行的性質(zhì)，即一直線垂直于兩平行平面之一，則必垂直于另一平面．
?。?）用面面垂直的性質(zhì)，即兩相交平面都垂直于第三個平面，則它們的交線垂直于第三個平面．
5．證明線線垂直的思路
?。?）證明線線垂直要轉(zhuǎn)化為證明一條直線垂直于另一條曲線所在的平面，其關(guān)鍵是尋找一條直線與這兩條直線中的一條垂直，而與另一條相交．
（2）聯(lián)想三垂線定理及其逆定理．
點、線、面的位置關(guān)系 (2)
