高中數(shù)學(xué)必修一《集合與函數(shù)》.doc

集合的概念與集合的表示 集合概 念把研究對象的總體稱為集合，把研究對象統(tǒng)稱為元素。元素的性質(zhì)（1）確定性；（2）互異性；（3）無序性表示方法列舉法元素不重復(fù)元素?zé)o順序元素間用“，”隔開描述法寫清楚集合中元素的代號，如xR|x>0，不能寫成x>2；說明該集合中元素的性質(zhì)；所有描述的內(nèi)容都寫在大括號內(nèi)。元素與集合的關(guān)系一般地，用大寫拉丁字母如A、B、C表示集合，用小寫拉丁字母a、b、c表示集合中的元素，如果a是集合A中的元素就說a屬于集合A，記作aA；如果a不是集合A的元素，就說a不屬于A，記作aA。常用數(shù)集及其記法N為零和正整數(shù)組成的集合，即自然數(shù)集，N*或N+為正整數(shù)組成的集合；Z為整數(shù)組成的集合；Q為有理數(shù)組成的集合，R為實數(shù)組成的集合。例題1 判斷下列命題是否正確，并說明理由。（1）R=R；（2）方程組的解集為x=1，y=2；（3）x|y=x21=y|y=x21=（x，y）|y=x21；（4）平面內(nèi)線段MN的垂直平分線可表示為P|PM=PN。答案：（1）R=R是不正確的，R通常為R=x|x為實數(shù)，即R本身可表示為全體實數(shù)的集合，而R則表示含有一個字母R的集合，它不能為實數(shù)的集合。（2）方程組的解集為x=1，y=2是不對的，因為解集的元素是有序?qū)崝?shù)對（x，y），正確答案應(yīng)為（x，y）|=（1，2）。（3）x|y=x21=y|y=x21=（x，y）|y=x21是不正確的。 x|y=x21表示的是函數(shù)自變量的集合，它可以為x|y=x21=x|xR=R。 y|y=x21表示的是函數(shù)因變量的集合，它可以為y|y=x21=y|y1。 （x，y）|y=x21表示點的集合，這些點在二次函數(shù)y=x21的圖象上。（4）平面上線段MN的垂直平分線可表示為P|PM=PN，該命題是正確的。知識點撥：正確理解集合的表示方法對以后的學(xué)習(xí)有極大幫助。特殊數(shù)集用特定字母表示有特別規(guī)定，不能亂用；二元一次方程組的解集必須為（x，y）|的形式；對描述法表示的集合一定要認清豎杠前面的元素是誰，豎杠后其特征又是什么。例題2 已知a1，1，a2，則a的值為_。答案：a1，1，a2， a可以等于1，1，a2。 （1）當(dāng)a=1時，集合則為1，1，1，不符合集合元素的互異性。故a1。 （2）同上，a=1時也不成立。 （3）a=a2時，得a=0或1，a=1不滿足，舍去，a=0時集合為1，1，0。 綜上，a=0。知識點撥：集合元素的互異性指集合中的元素必須互不相同，無序性指集合中的元素與順序無關(guān)。因此在處理元素為字母的集合問題時，既要注意對字母進行討論，又要自覺注意集合元素的互異性、確定性。隨堂練習(xí)：下列各組對象中不能構(gòu)成集合的是（ ）A. 高一（1）班全體女生 B. 高一（1）班全體學(xué)生的家長C. 高一（1）班開設(shè)的所有課程 D. 高一（1）班身高較高的男同學(xué)知識點撥：根據(jù)集合的概念進行判斷。因為A、B、C中所給對象都是確定的，從而可以構(gòu)成集合；而D中所給對象不確定，原因是找不到衡量學(xué)生身高較高的標(biāo)準(zhǔn)，故不能構(gòu)成集合。若將D中“身高較高的男同學(xué)”改為“身高175 cm以上的男同學(xué)”，則能構(gòu)成集合。答案：D 判斷某組對象是否為集合必須同時滿足三個特征：（1）確定性，（2）互異性，（3）無序性，特別是確定性比較難理解，是指元素和集合的關(guān)系是非常明確的，要么該元素屬于集合，要么該元素不屬于集合，而不是模棱兩可。例題 判斷以下對象能否組成集合。（1）高一（1）班的身高大于1.75 m的學(xué)生；（2）高一（1）班的高個子學(xué)生。答案：（1）高一（1）班中身高大于1.75 m的學(xué)生是確定的，因此身高大于1.75 m的學(xué)生可以組成集合。 （2）高一（1）班中的高個子學(xué)生沒有具體身高標(biāo)準(zhǔn)，因此高個子學(xué)生不能組成集合。（答題時間：15分鐘）1. 下列集合表示法正確的是（ ）A. 1，2，3，3B. 全體有理數(shù)C. 00D. 不等式x3>2的解集是x|x>52. 下列語句集合x|0<x<1可以用列舉法表示；集合1，2，1含有三個元素；正整數(shù)集可以表示為1，2，3，4，；由1，2，3組成的集合可表示為1，2，3或3，2，1。正確的是（ ）A. 只有和 B. 只有和C. 只有 D. 只有和3. 集合1，3，5，7，9用描述法表示應(yīng)是（ ）A. x|x是不大于9的非負奇數(shù)B. x|x9，xNC. x|1x9，xND. x|0x9，xZ4. 下列集合中，不同于另外三個集合的是（ ）A. x|x1 B. y|（y1）20C. x1 D. 15. 集合M（x，y）|xy<0，xR，yR是指（ ）A. 第一象限內(nèi)的點集B. 第三象限內(nèi)的點集C. 第一、三象限內(nèi)的點集D. 第二、四象限內(nèi)的點集6. （x，y）|xy6，x，yN用列舉法表示為_。1. D2. D 解析：表示無限集，不能一一列舉，故不正確；含有相同的元素，不正確；、正確。3. A4. C 解析：A、B、D三項表示的集合都是1，而C選項表示含有一個方程的集合。5. D 解析：xy<0表示x>0且y<0或x<0且y>0。因此集合M表示第二、四象限內(nèi)的點集。6. （0，6），（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1），（6，0）集合的運算子 集真 子 集定 義對于兩個集合A、B，如果集合A中的任意一個元素都是集合B中的元素，稱集合A為集合B的子集若集合AB，但存在元素xB，且xA，稱集合A是集合B的真子集符號語言若任意xA，有xB，則AB。若集合AB，但存在元素xB，且xA，則AB表示方法A為集合B的子集，記作AB或BA。A不是B的子集時，記作AB或BA。若集合A是集合B的真子集，記作AB或BA。性 質(zhì)AA AAB，BCACAB，且BCAC子集個數(shù)含n個元素的集合A的子集個數(shù)為含n個元素的集合A的真子集個數(shù)為1空 集不含任何元素的集合，記為。空集是任何集合的子集，用符號語言表示為A；若A非空（即A），則有A。集合的運算：1. 并集的概念（1）自然語言表示：由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，稱為集合A與B的并集。（2）符號語言表示：AB=x|xA，或xB。（3）圖形語言（Venn圖）表示：。2. 交集的概念（1）自然語言表示：由屬于集合A且屬于集合B的所有元素所組成的集合，稱為集合A與B的交集。（2）符號語言表示：AB=x|xA，且xB。（3）圖形語言表示（Venn圖）：。3. 補集的概念（1）自然語言表示：對于集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素所組成的集合，稱為集合A相對于全集U的補集，簡稱為集合A的補集。（2）符號語言表示：A=x|xU，且xA。（3）圖形語言表示（Venn圖）：，陰影部分表示A。例題1 判斷下列說法是否正確，如果不正確，請加以改正。（1）表示空集；（2）空集是任何集合的真子集；（3）1，2，3不是3，2，1；（4）0，1的所有子集是0，1，0，1；（5）如果AB且AB，那么B必是A的真子集；（6）AB與BA不能同時成立。思路導(dǎo)航：對每個說法按照相關(guān)的定義進行分析，認真地與定義中的要素進行對比，即答案：（1）不正確。應(yīng)該改為：，表示這個集合的元素是。（2）不正確?？占侨魏畏强占系恼孀蛹?，也就是說空集不能是它自身的真子集。這是因為空集與空集相等，而兩個相等的集合不能說其中一個是另一個的真子集。由此也發(fā)現(xiàn)了，如果一個集合是另一個集合的真子集，那么這兩個集合必不相等。（3）不正確。1，2，3與3，2，1表示同一集合。（4）不正確。0，1的所有子集是0，1，0，1，。（5）正確。（6）不正確。A=B時，AB與BA能同時成立知識點撥：結(jié)合本題，要注意以下幾點：（1）不表示空集，它表示以空集為元素的集合，所以（1）不正確。空集有專用的符號“”，不能寫成，也不能寫成 。（2）分析空集、子集、真子集的區(qū)別與聯(lián)系。（3）不正確。兩個集合是不是相同，要看其中一個集合的每個元素在另一個集合中是不是都有相同的元素與之對應(yīng)，而不必考慮各元素的順序。（4）不正確。注意到是每個集合的子集。所以這個說法不正確。（5）正確。AB包括兩種情形：AB和A=B。（6）不正確。A=B時，AB與BA能同時成立。例題2 已知集合A=x|ax23x+2=0，aR，若A中元素至多只有一個，求a的取值范圍。知識點撥：對于方程ax23x+2=0，aR的解，要看這個方程左邊的二次項的系數(shù)，a=0或a0時，方程的根的情況是不一樣的。則集合A的元素也不相同，所以首先要分類討論。答案：（1）a=0時，原方程為3x+2=0x=，符合題意；（2）a0時，方程ax23x+2=0為一元二次方程，=98a0a。當(dāng)a時，方程ax23x+2=0無實根或有兩個相等實數(shù)根，這都符合題意。綜合（1）（2），知a=0或a。例題3 設(shè)集合Ax|xa|<1，xR，Bx|1<x<5，xR。若AB，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）A. a|0a6 B. a|a2或a4C. a|a0或a6 D. a|2a4知識點撥：本題主要考查絕對值不等式的基本解法與集合交集的運算，屬于中等題。由|xa|<1得1<xa<1，即a1<x<a1。AB可以分兩種情況來討論，一種是A集合在B集合的左邊，一種是A集合在B集合的右邊。如圖，由圖可知a11或a15，所以a0或a6。答案：C隨堂練習(xí)：滿足1，3A=1，3，5的所有集合A的個數(shù)是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4知識點撥：根據(jù)AB的定義可知，集合1，3，5應(yīng)該是集合1，3和A的元素并在一起構(gòu)成的集合，所以A中必有元素5，且其他元素只能從1，3中選出一個或兩個或不選，因此A有四種可能：5，1，5，3，5，1，3，5。答案：D（答題時間：15分鐘）1. 集合A2，3，5，當(dāng)xA時，若x1A，x1A，則稱x為A的一個“孤立元”，則A中孤立元的個數(shù)為_個。2. 設(shè)5x|x2ax50，則集合x|x24xa0中所有元素之和為_。3. 用另一種方法表示下列集合。（1）絕對值小于2的整數(shù)；（2）能被3整除，且小于10的正數(shù)；（3）x|x|x|，x<5且xZ；（4）3，1，1，3，5。4. 下面三個集合x|yx21；y|yx21；（x，y）|yx21。（1）它們是不是相同的集合？（2）它們各自的含義是什么？5. 已知M1，2，3，9，若aM且10aM，則集合M的個數(shù)為（ ）A. 29 B.30 C.32 D.316. 設(shè)集合SA0，A1，A2，A3，在S上定義運算為:AiAjAk，其中k為i+j被4除的余數(shù)，i，j0，1，2，3，則滿足關(guān)系式（xx）A2A0的x（xS）的個數(shù)為（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 47. 設(shè)全集I1，2，3，9，A，B是I的子集，若AB1，2，3，就稱集對（A，B）為“好集”，那么所有“好集”的個數(shù)為（ ）A. 6！ B. 62 C. 26 D. 361. 1解析：當(dāng)x2時，x11A，x13A，2不是孤立元；當(dāng)x3時，x12A，x14A，3不是孤立元；當(dāng)x5時，x14A，x16A，5是孤立元。2. 2解析：5x|x2ax50，5是方程x2ax50的根。（5）25a50，a4。x24xa0即x24x40，x1x22。又集合中的元素是互異的，x|x24xa02。3. 解：（1）列舉法表示為1，0，1。（2）列舉法表示為3，6，9。（3）列舉法表示為0，1，2，3，4。（4）描述法表示為x|x2n1，1n3，nZ。4. 解：（1）是互不相同的集合。（2）集合x|yx21的代表元素是x，滿足條件yx21中的xR，x|yx21R；集合y|yx21的代表元素是y，滿足條件yx21的y的取值范圍是y1。y|yx21y|y1；集合（x，y）|yx21的代表元素是（x，y），是滿足yx21的數(shù)對（x，y）的集合；也可以認為是坐標(biāo)平面內(nèi)的點（x，y），由于這些點的坐標(biāo)滿足yx21，（x，y）|yx21拋物線yx21上的點。 5. D解析：由題意，知M且1與9，2與8，3與7，4與6這4組數(shù)都要滿足：每組數(shù)的某一個數(shù)在集合M中，這組數(shù)的另一個也必定在集合M中，所以集合M的個數(shù)為。6. B解析：本題考查學(xué)生閱讀理解能力與根據(jù)信息解決問題的能力。xA0時，（xx）A2A2A0；xA1時，（xx）A2A2A2A0；xA2時，（xx）A2A0A2A2A0；xA3時，（xx）A2A2A2A0；所以選B。7. D 解析：要使AB1，2，3，必須滿足集合A，B中都含有元素1，2，3，且對全集中的其他6個元素中的每一個，要么在集合A中，要么在集合B中，或既不在A中也不在B中，于是這6個元素所在集合的不同情況有3×3×3×3×3×336種。而這6個元素所在集合的不同情況種數(shù)即為“好集”的個數(shù)。故選D。集合的應(yīng)用有關(guān)集合運算的性質(zhì)（1）AB=BA；AA=A；A=A。（2）AB=BA；AA=A；A=。（3）（A）A=R；（A）A=；（A）=A。（4）AB=AAB；AB=BAB；AB=AAB=B。（5）（AB）=（A）（B），（AB）=（A）（B）。例題1 設(shè)A、B、I均為非空集合，且滿足ABI，則下列各式中錯誤的是（ ） A. （A）B=I B. （A）（B）=I C. A（B）= D. （A）（B）=B答案：對A選項，（A）B=（A（B）=I； 對B選項，（A）（B）=（AB）=A； 對C選項，A（B）=（AB）=； 對D選項，（A）（B）=（AB）=B。 綜上所述，應(yīng)選B。知識點撥：（1）可根據(jù)題意畫出韋恩圖，借助于圖形的直觀性，對照選項A、B、C、D即可求解。（2）根據(jù)題意ABI構(gòu)造集合A、B、I，不妨設(shè)A=1，B=1，2，I=1，2，3，利用特殊值代入法可求解。（3）根據(jù)集合的反演律求解，即（AB）=（A）（B）；（AB）=（A）（B）。例題2 已知集合A=a，b，B=x|xA，C=x|xA，試判斷A、B、C之間的關(guān)系。知識點撥：B中元素x的取值來源于A，C中元素是A的子集。集合B中的代表元素是x，x滿足的條件是xA，因此x=a或x=b，即B=a，b=A，而集合C則不然，集合C的代表元素雖然也是x，但x代表的是集合，xA，因此，x=a或x=b或x=a，b或x=，即C=，a，b，a，b，此時集合C中的元素是集合，故BC，AC。A=B，BC，AC。答案：A=B，BC，AC。知識點撥：對于元素與集合、集合與集合之間的、關(guān)系要理解透徹，“”用于描述元素與集合之間的關(guān)系，即只要元素a是構(gòu)成集合A的一個元素，則aA，如1與1，2，盡管1是一個集合，但1是構(gòu)成集合1，2的一個元素，故11，2，“”用于描述集合與集合之間的關(guān)系，如1，2，31，2，3，4。例題3 某班舉行數(shù)理化競賽，每人至少參加一科，已知參加數(shù)學(xué)競賽的有27人，參加物理競賽的有25人，參加化學(xué)競賽的有27人，其中參加數(shù)學(xué)、物理兩科的有10人，參加物理、化學(xué)兩科的有7人，參加數(shù)學(xué)、化學(xué)兩科的有11人，而參加數(shù)、理、化三科的有4人，畫出集合關(guān)系圖，并求出全班人數(shù)。思路導(dǎo)航：本題考查集合的運算，解題的關(guān)鍵是把文字語言轉(zhuǎn)化成符號語言，借助于韋恩圖的直觀性把它表示出來，再根據(jù)集合中元素的互異性求出問題的解。設(shè)參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)三科競賽的同學(xué)組成的集合分別為A、B、C，由題意可知A、B、C三集合中元素的個數(shù)分別為27、25、27，AB、BC、AC、ABC的元素個數(shù)分別為10、7、11、4。畫出韋恩圖：可知全班人數(shù)為10+13+12+6+4+7+3=55（人）。答案： 全班人數(shù)55人。 點評：能正確使用一些集合符號把文字語言轉(zhuǎn)化成符號語言、圖形語言，是我們把實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵，它實現(xiàn)了實際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化。 1. 解有關(guān)集合的交、并、補集時，可根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)造出一些新的數(shù)學(xué)形式（韋恩圖或符合題設(shè)條件的集合A、B、I），并借助它認識和解決原問題，這種構(gòu)造法對解好選擇題有很大的幫助。2. 一般來說，元素與集合之間應(yīng)該用“”或“”；而“，”應(yīng)該出現(xiàn)于集合與集合之間；作為特殊集合應(yīng)遵從A，A（非空）。但這不是絕對的，選擇的關(guān)鍵在于具體分析二者的關(guān)系。例1，21，2，1，而，1，1都是對的。（答題時間：15分鐘）1. 若A、B、C為三個集合，ABBC，則一定有（ ）A. AC B. CA C. AC D. A2. 若集合A1，2，x，4，Bx2，1，AB1，4，則滿足條件的實數(shù)x的值為（ ）A. 4 B. 2或2 C. 2 D. 23. 設(shè)集合S2，1，0，1，2，TxR|x+12，則（ST）等于（ ）A. B. 2 C. 1，2 D. 0，1，24. 設(shè)U為全集，M、P是U的兩個子集，且（M）PP，則MP等于（ ）A. M B. P C. P D. 5. 設(shè)集合Mx|xR且1x2，Nx|xR且|x|a，a0，若MN，那么實數(shù)a的取值范圍是（ ）A. a1 B. a1 C. a2 D. a26. 設(shè)滿足y|x1|的點（x，y）的集合為A，滿足y|x|+2的點（x，y）的集合為B，則AB所表示圖形的面積是_。7. 設(shè)Ax|x2+4x0，Bx|x2+2（a+1）x+a210，若ABB，求a的值。1. A 解析：由ABBC，知ABB，ABC，ABC。故選A。2. C 解析：由AB1，4，Bx2，1，得x24，得x±2，又由于集合元素互異，x2。3. B 解析：由題意，知Tx|x1，ST2，1，0，1，（ST）2。4. D 解析：由（M）PP，知PM，于是PM。故選D。5. D 解析：Mx|1x2，Nx|xa或xa。若MN，則a1且a2，即a1且a2，綜上a2。6. 解析：畫出y|x1|及y|x|+2的圖象，則AB表示的圖形為矩形；由交點坐標(biāo)及圖象與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)簡單計算即得。7. a1或a1。解：Ax|x2+4x00，4。（1）由ABB，得BA。B或B0或B4或B0，4。若B，則4（a+1）24（a21）0，則a1。若B0，則a1。若B4，則無解。若B0，4，則解得a1。所求a的范圍是a1或a1。函數(shù)概念及函數(shù)的表示函數(shù)的定義設(shè)A、B是兩個非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f（x）和它對應(yīng)，那么就稱f：AB為集合A到集合B的一個函數(shù)，記作y=f（x）函數(shù)的三要素函數(shù)的定義域、值域、對應(yīng)關(guān)系，符號表示為f：AB，A為定義域，B為值域C的一個擴集，（即C為B的子集）f為對應(yīng)關(guān)系y=f（x）的內(nèi)涵當(dāng)自變量為x時，經(jīng)過f對應(yīng)的函數(shù)值為f（x），即y=f（x）不一定有具體解析式兩個函數(shù)相等兩個函數(shù)的三要素相同定義域、對應(yīng)關(guān)系、值域相同定義域、對應(yīng)關(guān)系相同例題1 下列對應(yīng)是從集合M到集合N的函數(shù)的是（ ）A. M=R，N=R，f：xy= B. M=R，N=R+（正實數(shù)組成的集合），f：xy=C. M=x|x0，N=R，f：xy2=xD. M=R，N=y|y0，f：xy=x2思路導(dǎo)航：本題主要考查函數(shù)的定義。A. 對于M中的元素1，N中沒有元素與之對應(yīng)，故該對應(yīng)不是從M到N的函數(shù)。B. 對于M中任意值為負數(shù)的元素，N中沒有元素與之對應(yīng)，該對應(yīng)f：MN不是函數(shù)。C. 對于M中的任一元素，如x=4，通過對應(yīng)法則f：xy2=x得到N中有兩個元素±2與之對應(yīng)，故f：xy2=x不是從M到N的函數(shù)。答案：D點評：判斷一個對應(yīng)法則是否構(gòu)成函數(shù)，關(guān)鍵是看給出定義域內(nèi)的任意一個值，通過給出的對應(yīng)法則，看是否有且只有一個元素與之對應(yīng)。例題2 下列四組函數(shù)中，有相同圖象的一組是（ ）A. y=x1，y= B. y=，y=C. y=2，y= D. y=1，y=x0思路導(dǎo)航：A. y=x1與y=|x1|的對應(yīng)法則不同；B. y=的定義域為1，+），y=的定義域為（1，+），兩函數(shù)的定義域不同；D. y=1的定義域為R，y=x0的定義域為（，0）（0，+），兩函數(shù)定義域不同；C. y=2與y=是兩相等的函數(shù)，所以圖象相同。選C。答案：C點評：1. 定義域、對應(yīng)關(guān)系、值域分別相同的函數(shù)有相同的圖象，三要素中只要有一項不同，兩個函數(shù)就不相等。由于值域由定義域與對應(yīng)關(guān)系所確定，所以判斷函數(shù)是否相等，只要判斷定義域與對應(yīng)關(guān)系是否相同即可。2. 判斷對應(yīng)法則是否相同，可以化簡以后再判斷，但是必須通過原函數(shù)解析式求函數(shù)的定義域。例題3 如圖，有一塊半徑為R的半圓形鋼板，計劃剪裁成等腰梯形ABCD的形狀，其下底AB是O的直徑，上底CD的端點在圓周上，梯形周長y是否是腰長x的函數(shù)？如果是，寫出函數(shù)關(guān)系式，并求出定義域。思路導(dǎo)航：判定兩個變量是否構(gòu)成函數(shù)，關(guān)鍵看兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系是否滿足函數(shù)定義。該題中的每一個腰長都能對應(yīng)唯一的周長值，因此周長y是腰長x的函數(shù)。若要用腰長表示周長的關(guān)系式，應(yīng)知等腰梯形各邊長，已知下底長為2R，兩腰長為2x，因此只需用已知量（半徑R）和腰長x把上底表示出來，即可寫出周長與腰長的函數(shù)關(guān)系式。 如上圖，AB=2R，C、D在O的半圓周上，設(shè)腰長AD=BC=x，作DEAE，垂足為E，連結(jié)BD，那么ADB是直角，由此RtADERtABD。 AD2=AE·AB，即AE=。 CD=AB2AE=2R。 周長y滿足關(guān)系式 y=2R+2x+（2R）=+2x+4R， 即周長y和腰長x間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=+2x+4R。 ABCD是圓內(nèi)接梯形，AD>0，AE>0，CD>0，即解不等式組，得函數(shù)y的定義域為x|0<x<R。答案：函數(shù)關(guān)系式為y=，y的定義域為x|0<x<R。點評：該題是實際應(yīng)用問題，解題過程是從實際問題出發(fā)，利用函數(shù)概念的內(nèi)涵，判斷是否構(gòu)成函數(shù)關(guān)系，進而引進數(shù)學(xué)符號，建立函數(shù)關(guān)系式，再研究函數(shù)關(guān)系式的定義域，并結(jié)合問題的實際意義作出回答。這個過程實際上就是建立數(shù)學(xué)模型的最簡單的情形。（答題時間：15分鐘）1. 下列四組中f（x），g（x）表示相等函數(shù)的是（）A. f（x）x，g（x）（）2B. f（x）x，g（x）C. f（x）1，g（x） D. f（x）x，g（x）|x|2. 下列函數(shù)中，定義域不是R的是（）A. ykxb B. yC. yx2c D. y3. 已知函數(shù)f（x）2x3，x1，2，3，則f（x）的值域為_。4. 已知函數(shù)f（x）x2x1.（1）求f（2），f（），f（a）。（2）若f（x）5，求x.5. 下列式子中不能表示函數(shù)yf（x）的是（）A. xy21 B. y2x21C. x2y6 D. x1. B 解析：對于A、C，函數(shù)定義域不同；對D，兩函數(shù)對應(yīng)關(guān)系不同。2. B 解析：選項A、C都是整式函數(shù)，符合題意，選項D中，對任意實數(shù)x都成立。3. 1，1，3 解析：當(dāng)x1時，f（1）2×131，當(dāng)x2時，f（2）2×231，當(dāng)x3時，f（3）2×333，f（x）的值域為1，1，3。4. 解：（1）f（2）22215，f（）1，f（a）a2a1.（2）f（x）x2x15，x2x60，x2或x3.5. A 解析：對于A，由xy21得y2x1.當(dāng)x5時，y±2，故y不是x的函數(shù)；對B，y2x21是二次函數(shù)；對C，x2y6yx3是一次函數(shù)；對D，由x得yx2（x0）是二次函數(shù)。故選A.函數(shù)的單調(diào)性性 質(zhì)圖 象定 義增函數(shù)設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為I。如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1、x2，當(dāng)x1x2時，都有f（x1）f（x2），那么就說函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是增函數(shù)。減函數(shù)設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為I。如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1、x2，當(dāng)x1x2時，都有f（x1）f（x2），那么就說函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是減函數(shù)。單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間如果一個函數(shù)在某個區(qū)間M上是增函數(shù)或是減函數(shù)，就說這個函數(shù)在這個區(qū)間M上具有單調(diào)性，區(qū)間M稱為單調(diào)區(qū)間。例題1 利用單調(diào)性定義證明：函數(shù)f（x）=在其定義域內(nèi)是增函數(shù)。思路導(dǎo)航：本題是利用單調(diào)性定義證明函數(shù)單調(diào)性的一個典型例子，由于函數(shù)的定義域沒有給出，證明前要先求出定義域，然后證明。答案：證明：證法一：函數(shù)f（x）=的定義域是x1，+），任取x1、x21，+）且x1x2，則f（x2）f（x1）=。x1、x21，+），且x1x2，+0，x2x10。f（x1）f（x2），即函數(shù)f（x）=在其定義域上是增函數(shù)。證法二：函數(shù)f（x）=的定義域是x1，+，任取x1、x21，+）且x1x2，則，x1、x21，+），且x1x2，0x11x21。01。1。f（x2）=0，f（x1）f（x2）。函數(shù)f（x）=在其定義域1，+）上是增函數(shù)。點評：函數(shù)的單調(diào)性是在某指定區(qū)間上而言的，自變量x的取值必須是連續(xù)的。用定義證明函數(shù)的單調(diào)性的基本步驟是“取值作差（或作商）變形定號判斷”。當(dāng)函數(shù)在給定區(qū)間上恒正或恒負時，也常用“作商判1”的方法來解決，特別是函數(shù)中含有指數(shù)式時常用此法。解決帶根號的問題，常用的方法就是將分子、分母有理化。從形式上看是由“”變成“+”。例題2 f（x）是定義在（ 0，）上的增函數(shù)，且f（）= f（x）f（y） （1）求f（1）的值。 （2）若f（6）= 1，解不等式 f（ x3 ）f（）2。思路導(dǎo)航：（1）利用賦值法，在等式中令x=y=1，則f（1）=0。（2）在等式中令x=36，y=6，則。故原不等式為：即fx（x3）f（36），又f（x）在（0，）上為增函數(shù)，故不等式等價于。答案：（1）0 （2）點評：對于這種抽象函數(shù)問題，常利用賦值法解題。例題3 作出函數(shù)f（x）=的圖象，并指出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間。思路導(dǎo)航：由于所給的函數(shù)是兩個被開方數(shù)和的形式，而被開方數(shù)恰能寫成完全平方的形式，因此可先去掉根號，轉(zhuǎn)化成分段函數(shù)的形式，再作圖寫出單調(diào)區(qū)間。原函數(shù)可化為f（x）=|x+1|+|x1|=答案：函數(shù)的圖象如圖所示：所以函數(shù)的遞減區(qū)間是（，1，函數(shù)的遞增區(qū)間是1，+）。 點評：若所給的函數(shù)解析式較為復(fù)雜，可先化簡函數(shù)解析式，作出草圖，再根據(jù)函數(shù)的定義域和圖象的直觀性寫出單調(diào)區(qū)間。去絕對值的關(guān)鍵是令每一個絕對值等于0，找到分界點，再討論去絕對值。（答題時間：15分鐘）1. 設(shè)f（x）、g（x）都是單調(diào)函數(shù)，有如下四個命題，其中正確的命題為（ ）若f（x）單調(diào)遞增，g（x）單調(diào)遞增，則f（x）g（x）單調(diào)遞增 若f（x）單調(diào)遞增，g（x）單調(diào)遞減，則f（x）g（x）單調(diào)遞增 若f（x）單調(diào)遞減，g（x）單調(diào)遞增，則f（x）g（x）單調(diào)遞減 若f（x）單調(diào)遞減，g（x）單調(diào)遞減，則f（x）g（x）單調(diào)遞減A. B. C. D. 2. 已知函數(shù)f（x）在2，3上單調(diào)，且f（2）·f（3）<0，則方程f（x）=0在2，3內(nèi)（ ）A. 至少有一實根 B. 至多有一實根 C. 沒有實根 D. 必有唯一實根3. 設(shè)函數(shù)f（x）是（，+）上的減函數(shù)，則（ ）A. f（a）>f（2a） B. f（a2）<f（a）C. f（a2+a）<f（a） D. f（a2+1）<f（a）4. f（x）是定義在R上的增函數(shù)，有下列函數(shù)：y=f（x）2是增函數(shù)；y=是減函數(shù)；y=f（x）是減函數(shù)；y=|f（x）|是增函數(shù)。其中錯誤的結(jié)論是_。5. 已知函數(shù)f（x）=x2+mx在（，1）上遞減，在1，+上遞增，則f（x）在2，2上的值域為_。6. 函數(shù)y=的單調(diào)遞減區(qū)間是_。7. 用定義證明y=x3+1在（，+）是遞減函數(shù)。8. 求函數(shù)y=2x1的最大值。1. C 解析：由函數(shù)單調(diào)性定義可得：正確，也可舉反例否定命題。2. D 解析：由于f（x）在2，3上單調(diào)，又f（2）·f（3）<0，y=f（x）在2，3上必與x軸有一交點，如下圖。故選D。3. D 解析：a2+1a=（a）2+>0， a2+1>a。 f（x）在（，+）上為減函數(shù)， f（a2+1）<f（a），選D。4. 解析：利用函數(shù)的單調(diào)性定義判斷。5. 1，8解析：由條件知：=1，m=2。 f（x）=x2+2x，ymin=1，ymax=f（2）=8。6. （，1）和（1，+）解析：解y=1+，可得單調(diào)遞減區(qū)間是（，1）和（1，+）。7. 證明：設(shè)x1<x2R，則x=x2x1>0， y=f（x2）f（x1）=（x23+1）（x13+1） =x13x23=（x1x2）（x12+x1x2+x22） =（x1x2）（x1+）2+x22。 x1x2=x<0， （x1+）20，x220且x1x2， （x1+）2+x22>0， y<0，即函數(shù)f（x）=x3+1在（，+）上是遞減函數(shù)。8. 解法一：令t=（t0），則x=，y=1t=t+=（t+1）2+6。 t0，y=（t+1）2+6在0，+上為減函數(shù)， 當(dāng)t=0時，y有最大值。解法二：函數(shù)的定義域為（，）。 2x1在（，）上遞增，在（，）上遞減， y=2x1在（，）上為增函數(shù)。當(dāng)x=時，y有最大值。函數(shù)的奇偶性性 質(zhì)定 義偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱；定義域關(guān)于原點對稱。如果對于函數(shù)f（x）的定義域內(nèi)任意一個x，都有f（x）=f（x），那么函數(shù)f（x）就叫偶函數(shù)奇函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱；定義域關(guān)于原點對稱；定義域中有零，則其圖象必過原點，即f（0）=0。如果對于函數(shù)f（x）的定義域內(nèi)任意一個x，都有f（x）=f（x），那么函數(shù)f（x）就叫奇函數(shù)注意：在公共定義域內(nèi)，（1）奇函數(shù)與奇函數(shù)之積是偶函數(shù)；（2）奇函數(shù)與偶函數(shù)之積是奇函數(shù)；（3）偶函數(shù)與偶函數(shù)之積是偶函數(shù)；（4）奇函數(shù)與奇函數(shù)的和（差）是奇函數(shù)；（5）偶函數(shù)與偶函數(shù)的和（差）是偶函數(shù)。例題1 已知f（x）是偶函數(shù)，且在（0，+）上是減函數(shù)，判斷f（x）在（，0）上是增函數(shù)還是減函數(shù)，并加以證明。思路導(dǎo)航：利用函數(shù)奇偶性及圖象特征比較容易對函數(shù)單調(diào)性進行判斷，但是證明單調(diào)性必須用定義證明。答案：f（x）在（，0）上是增函數(shù)。證明如下：設(shè)x1<x2<0，x1>x2>0，f（x1）<f（x2）。由于f（x）是偶函數(shù)，因此f（x1）=f（x1），f（x2）=f（x2）。f（x1）<f（x2），即f（x）在（，0）上是增函數(shù)。點評：利用函數(shù)的奇偶性研究關(guān)于原點對稱區(qū)間上的問題，需特別注意求解哪個區(qū)間的問題，就設(shè)哪個區(qū)間的變量，然后利用函數(shù)的奇偶性轉(zhuǎn)到已知區(qū)間上去，進而利用已知去解決問題。例題2 若f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x0時，f（x）=x（1x），求當(dāng)x0時，函數(shù)f（x）的解析式。思路導(dǎo)航：將x0時f（x）的解析式轉(zhuǎn)化到x0的區(qū)間上，這是解決本題的關(guān)鍵。由于f（x）是奇函數(shù)，當(dāng)x0時，f（x）=f（x）=（x）1（x）=x（1+x）； 當(dāng)x=0時，f（0）=f（0），即f（0）=0。當(dāng)x0時，f（x）=x（1+x）。答案：當(dāng)x0時，f（x）=x（1+x）點評：判斷分段函數(shù)的奇偶性時，應(yīng)對x在各個區(qū)間上分別討論，由x的取值范圍確定相應(yīng)的函數(shù)表達式，最后要綜合得出在定義域內(nèi)總有f（x）=f（x）或f（x）=f（x），從而判定其奇偶性。例題3 設(shè)f（x）在R上是偶函數(shù)，在區(qū)間（，0）上遞增，且有f（2a2+a+1）f（3a22a+1），求a的取值范圍。思路導(dǎo)航：要求a的取值范圍，就要列關(guān)于a的不等式（組），因而利用函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性化“抽象的不等式”為“具體的代數(shù)式”是關(guān)鍵。答案：由f（x）在R上是偶函數(shù)，在區(qū)間（，0）上遞增知f（x）在（0，+）上遞減。2a2+a+1=2（a+）2+0，3a22a+1=3（a）2+0， 且f（2a22a+1）f（3a22a+1），2a2+a+13a22a+1， 即a23a0。 解得0a3。點評：該例題在求解過程中，要注意利用偶函數(shù)的對稱性，一側(cè)遞增，一側(cè)遞減。復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)與構(gòu)成它的函數(shù)的性質(zhì)密切相關(guān)，其規(guī)律可列表如下：（1）若函數(shù)f（x）、g（x）、fg（x）的定義域都是關(guān)于原點對稱的，那么由u=g（x），y=f（u）的奇偶性得到y(tǒng)=fg（x）的奇偶性的規(guī)律如下：函數(shù)奇偶性u=g（x）奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)y=f（u）奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)y=fg（x）奇函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)即當(dāng)且僅當(dāng)u=g（x）和y=f（u）都是奇函數(shù)時，復(fù)合函數(shù)y=fg（x）是奇函數(shù)。（2）若函數(shù)u=g（x）在區(qū)間a，b上是單調(diào)函數(shù)，函數(shù)y=f（u）在g（a），g（b）或g（b），g（a）上也是單調(diào)函數(shù)，那么復(fù)合函數(shù)y=fg（x）在區(qū)間a，b上是單調(diào)函數(shù)，其單調(diào)性規(guī)律如下：函數(shù)單調(diào)性u=g（x）增函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)y=f（u）增函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)y=fg（x）增函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)即當(dāng)u=g（x），y=f（u）增減性相同時，y=fg（x）為增函數(shù)；增減性相反時，y=fg（x）為減函數(shù)。（答題時間：15分鐘）1. 下列命題中錯誤的是（）圖象關(guān)于原點成中心對稱的函數(shù)一定為奇函數(shù)奇函數(shù)的圖象一定過原點偶函數(shù)的圖象與y軸一定相交圖象關(guān)于y軸對稱的函數(shù)一定為偶函數(shù)A. B. C. D. 2. 已知f（x）x7ax5bx5，且f（3）5，則f（3）（）A. 15 B. 15C. 10 D. 103. 已知偶函數(shù)f（x）在區(qū)間0，）單調(diào)遞增，則滿足f（2x1）<f的x取值范圍是（）A. B. C. D. 4. 若f（x）ax2bxc（a0）為偶函數(shù)，則g（x）ax3bx2cx的奇偶性為_。5. 已知f（x）是偶函數(shù)，g（x）是奇函數(shù)，且f（x）g（x）x2x2，求f（x），g（x）的表達式。6. 函數(shù)f（x）是定義在（1，1）上的奇函數(shù)，且f，求函數(shù)f（x）的解析式。7. 定義在（1，1）上的奇函數(shù)f（x）是減函數(shù)，且f（1a）f（1a2）<0，求實數(shù)a的取值范圍。1. D解析：f（x）為奇函數(shù)，其圖象不過原點，故錯；y為偶函數(shù)，其圖象與y軸不相交，故錯。2. A解析：解法1：f（3）（3）7a（3）5（3）b5（37a·353b5）10f（3）105，f（3）15.解法2：設(shè)g（x）x7ax5bx，則g（x）為奇函數(shù)，f（3）g（3）5g（3）55，g（3）10，f（3）g（3）515.3. A解析：由題意得|2x1|<，<2x1<<2x<，<x<，選A.4. 奇函數(shù)解析：由f（x）ax2bxc（a0）為偶函數(shù)得b0，因此g（x）ax3cx，g（x）g（x），g（x）是奇函數(shù)。5. f（x）x22，g（x）x.解析：f（x）g（x）x2x2，由f（x）是偶函數(shù)，g（x）是奇函數(shù)得，f（x）g（x）x2x2又f（x）g（x）x2x2，兩式聯(lián)立得：f（x）x22，g（x）x。6. f（x）。解析：因為f（x）是奇函數(shù)且定義域為（1，1），所以f（0）0，即b0.又f，所以，所以a1，所以f（x）。7. a|0<a<1 解析：由f（1a）f（1a2）<0及f（x）為奇函數(shù)得，f（1a）<f（a21），f（x）在（1，1）上單調(diào)減，解得0<a<1.故a的取值范圍是a|0<a<1。