第75煉 幾何問題的轉(zhuǎn)換

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1、a?=?(x?,?y?),?b?=?(x?,?y?)?，則?a,?b?共線???x?y??=?x?y?；?a?^?b???x?x??+?y?y??=?0 第九章 第?75?煉?幾何問題的轉(zhuǎn)換 解析幾何 第?75?煉?幾何問題的轉(zhuǎn)換 一、基礎(chǔ)知識： 在圓錐曲線問題中，經(jīng)常會遇到幾何條件與代數(shù)條件的相互轉(zhuǎn)化，合理的進行幾何條件 的轉(zhuǎn)化往往可以起到“四兩撥千斤”的作用，極大的簡化運算的復(fù)雜程度，在本節(jié)中，將列 舉常見的一些幾何條件的轉(zhuǎn)化。 1、在幾何問題的轉(zhuǎn)化中，向量是一個重要的橋梁：一方面，幾何圖形中的線段變?yōu)橛邢蚓€ 段后可以承載向量；另一方面，

2、向量在坐標系中能夠坐標化，從而將幾何圖形的要素轉(zhuǎn)化為 坐標的運算，與方程和變量找到聯(lián)系 2、常見幾何問題的轉(zhuǎn)化： （1）角度問題： ①?若與直線傾斜角有關(guān)，則可以考慮轉(zhuǎn)化為斜率k ②?若需要判斷角是銳角還是鈍角，則可將此角作為向量的夾角，從而利用向量數(shù)量積的符 號進行判定 （2）點與圓的位置關(guān)系 ①?可以利用圓的定義，轉(zhuǎn)化為點到圓心距離與半徑的聯(lián)系，但需要解出圓的方程，在有些 題目中計算量較大 ②?若給出圓的一條直徑，則可根據(jù)該點與直徑端點連線的夾角進行判定：若點在圓內(nèi)， u u uur?uur uur?uur DACB?為

3、鈍角（再轉(zhuǎn)為向量：CA?×?CB??0?） （3）三點共線問題 ①?通過斜率：任取兩點求出斜率，若斜率相等，則三點共線 ②?通過向量：任取兩點確定向量，若向量共線，則三點共線 （4）直線的平行垂直關(guān)系：可轉(zhuǎn)化為對應(yīng)向量的平行與垂直問題，從而轉(zhuǎn)為坐標運算： r r r?r r r 1 1 2 2 1 2 2 1 1?2 1 2 （5）平行（共線）線段的比例問題：可轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)乘關(guān)系 （6）平行

4、（共線）線段的乘積問題：可將線段變?yōu)橄蛄?，從而轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積問題（注 意向量的方向是同向還是反向） 第九章 第?75?煉?幾何問題的轉(zhuǎn)換 解析幾何 3、常見幾何圖形問題的轉(zhuǎn)化 （1）三角形的“重心”：設(shè)不共線的三點?A(x?,?y?),?B?(x?,?y?),C?(x?,?y 1 1 2 2 3  3 )?，則?V?ABC?的重 心?G????x??+?x??+?x y??+?y??+?y??? 1 2 3?, 1 2 3 3????????? 3 圖）：?IP?^?AC?,?IQ?^?AQ??????????????

5、??????????????????????????????? Q ÷ è ? ： （2）三角形的“垂心”?伴隨著垂直關(guān)系，即頂點與垂心的連線與底邊垂直，從而可轉(zhuǎn)化為 向量數(shù)量積為零 B ： （3）三角形的“內(nèi)心”?伴隨著角平分線，由角平分線性質(zhì)可知（如 I I?在?DBAC?的角平分線上?T??AP?=??AQ?T?? uuur?? =?? uuur uur?uuur uur?uuur AI?×?AC AI?×?AB AC AB  C  P  A （4）?P?是以?DA,?DB?為鄰邊的平行四邊形的

6、頂點 uuur uuur uuur T?DP?=?DA?+?DB  A  P D （5）?P?是以?DA,?DB?為鄰邊的菱形的頂點：?P?在?AB?垂直平分線上 B A  P D B （6）共線線段長度的乘積：若?A,?B,?C?共線，則線段的乘積 A C???????????B ( 可轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積，從而簡化運算，要注意向量的夾角） uuur?uuur uuur?uuur 例如：?AC?×?AB?=?AC?

7、×?AB?，?AC?×?BC?=?-?AC?×?BC 第九章 第?75?煉?幾何問題的轉(zhuǎn)換 解析幾何 二、典型例題： 例?1：如圖：A,?B?分別是橢圓?C?: x?2??y?2 + a?2?b2 =?1(a?>?b?>?0)的左右頂點，F(xiàn)?為其右焦點，2?是 AF?,?FB?的等差中項， 3?是?AF?,?FB?的等比中項 （1）求橢圓?C?的方程 （2）已知?P?是橢圓?C?上異于?A,?B?的動點，直線?l?過點?A?且垂直 于?x?軸，若過?F?作直線?FQ?^?AP?，并交直線?l?于點?Q?。證明：

8、 Q,?P,?B?三點共線 解：（1）依題意可得：?A(-a,0?),?B?(a,0?),?F?(c,0?) \?AF?=?c?+?a,?BF?=?a?-?c Q?2?是?AF?,?FB?的等差中項 \?4?=?AF?+?FB?=?a?+?c?+?a?-?c?=?2a \?a?=?2 (??3?)?=??AF?×?FB?=?(a?+?c?)(a?-?c?)?=?a Q?3?是?AF?,?FB?的等比中項 \ \?b2?=?3 x?2 y?2 =?1 Q?橢圓方程為： + 4 3 2 2 -?c2?

9、=?b2 （2）由（1）可得：?A(-2,0?),?B?(2,0?),?F?(1,0?) 設(shè)?AP?:?y?=?k?(x?+?2)，設(shè)?P?(x?,?y 1 1 )?，聯(lián)立直線與橢圓方程可得： 4k?2?+?3??????? 4k?2?+?3 í ì?3x?2?+?4?y?2?=?12?T?(4k?2?+?3)x?2?+?16k?2?x?+?16k?2?-?12?=?0 ???y?=?k?(x?+?2?) 16k?2?-?12 6?-?8k?2 \?x?x?= T?x?= A?1 1 \?P?? , 4k?2

10、?+?3????????? 4k?2?+?3??4k?2?+?3?? \?y?=?k?(x?+?2?)?= 1 1 12k???6?-?8k?2??12k?? ÷ è 另一方面，因為?FQ?^?AP \?k k FQ?=-?1 第九章 第?75?煉?幾何問題的轉(zhuǎn)換 解析幾何 ì??y?=?-??(x?-?1) \?FQ?:?y?=?-???(x?-?1)?，聯(lián)立方程：?í??? k ???x?=?-2 T?Q???-2,???÷ Q?B?(2,0?)  1?? k 1  ??3

11、?? è?k?? =-???3? k 4k?2?+?3?=?-12k?=?-??3 k 2?-?(-2?)?? 4k???????? 6?-?8k?2?? 16k?2??? 4k \?k  BQ  = 3??????????????????12k 0?-?0?- = BP 2?- 4k?2?+?3 \?k  BQ =?k  BP \?B,?Q,?P?三點共線 例?2：已知橢圓 x?2??y?2 + 2 a???b?2  =?1(a?>?b?>?

12、0)?的右焦點為?F?，?M?為上頂點，?O?為坐標原點，若 △?OMF?的面積為??1 2 ，且橢圓的離心率為 ． 2 2 （1）求橢圓的方程； （2）是否存在直線?l?交橢圓于?P?，?Q?兩點，?且使點?F?為△?PQM?的垂心？若存在，求出 直線?l?的方程；若不存在，請說明理由． VOMF??=??1 解：（1）?S 1????1 ×?OM?×?OF?=?bc?= 2????????????2????2 e?=??c 2 = T?a?:?b?:?c?= 2?:1:1 a 2 2

13、 \?b?=?c?=?1 \?a?2?=?b2?+?c2?= x?2 \?橢圓方程為： +?y?2?=?1 2 （2）設(shè)?P(?x?,?y?)?，?Q(?x?,?y?),?由（1）可得：?M?(0,1),?F?(1,0) 1 1 2 2 \?k MF?=?-1?Q?F?為△?PQM?的垂心 \?MF?^?PQ \?k  PQ?=-  k 1 MF  =?1 設(shè)?PQ?:?y?=?x?+?m 第九章 第?75?煉?幾何問題的轉(zhuǎn)換 解析幾何 由?F?為△?PQM?的垂心

14、可得：?MP?^?FQ (x?,?y??-?1),?uFQur?=?(x??-?1,?y uuur MP?=  1?1?2 u  2 ) \?MP?×?FQ?=?x?(x??-?1)?+?(?y??-?1)?y??=?0? ① uuur?uuur 1 2 1 2 因為?P,Q?在直線?y?=?x?+?m?上 \í 1 ? 2 ì?y?=?x?+?m 1 y?=?x?+?m 2  ，代入①可得： x?(x?-?1)?+?(x?+?m?-?1)(x?+?m?)?=?0 1 2

15、 1 2 即?2?x?x?+?(?x?+?x?)(m?-?1)?+?m?2?-?m?=?0?② 1 2 1 2 考慮聯(lián)立方程： ??x 2?+?2?y?2?=?2 ì?y?=?x?+?m í  得?3x?2?+?4mx?+?2m?2?-?2?=?0?． 3??????????? 3 D?=?16m?2?-?12?(2m?2?-?2?)>?0?T?m?2?

16、2?-?m?=?0 2?× 2m2?-?2??????????4m?? 3???????????è??3?? 解得：?m?=?-?4?或?m?=?1 3 當?m?=?1時，△?PQM?不存在，故舍去 時，所求直線??l?存在，直線?l?的方程為?y?=?x?- 當?m?=?- 4?4 3????????????????????????????????????3 小?煉?有?話?說?：在高中階段涉及到三角形垂心的性質(zhì)，為垂心與三角形頂點的連線垂直底邊， 所以對垂心的利用通常伴隨著垂直條件，在解析幾何中即可轉(zhuǎn)化為向量的坐標

17、運算（或是斜 率關(guān)系） 例?3?：如圖，橢圓 x?2??y?2 + a?2?b?2  =?1(a?>?b?>?0)?的?一?個?焦?點?是 ) F?(1,?0?，?O?為坐標原點. （1）若橢圓短軸的兩個三等分點與一個焦點構(gòu)成正三角形，求 第九章 第?75?煉?幾何問題的轉(zhuǎn)換 解析幾何 橢圓的方程； （2）設(shè)過點?F?且不垂直?x?軸的直線?l?交橢圓于?A,?B?兩點，若直線?l?繞點?F?任意轉(zhuǎn)動，恒有 OA?2?+?OB?2?

18、可得：??M???0,???b?÷?? 由正三角形性質(zhì)可得：?DMFO?= ? 1?? è 3?? p 6?,?k 3 MF?=-?3 b?-?0 3 \?k  MF 1 3 =???????=- 0?-?1?????3 \?b?=?3 \?a?2?=?b2?+?c2?=?4 x?2 y?2 =?1 \?橢圓方程為： + 4 3 （2）設(shè)?l?:?y?=?k?(x?-?1)?，?A(x?,?y?),?B?(x?,?y 1 1 2 Q?OA?2?+?OB?2?

19、cos?DAOB?=?OA?2?+?OB?2?-?AB?2

20、2?x?+?a?2k?2?-?a?2b2?=?0 a?2k?2?+?b2 a?2k?2?+?b2 \?x?+?x?= 1 2 2a?2k?2????????a?2k?2?-?a?2b2 ,?x?x?= 1?2 \?y?y?=?k?2?(x?-?1)(x?-?1)?=?k?2?x?x?-?k?2?(x?+?x?)?+?k?2 1 2 1 2 1?2 1 2 =?k?2?× a?2k?2?-?a?2b2??????2a?2k?2???????k?2b2?-?a?2b2k?2 -?k?2?×?+?k?2?=??????????

21、???= a?2k?2?+?b2??????a?2k?2?+?b2??????????a?2 a?2k?2?+?b2 a?2k?2?-?a?2b2?+?k?2b2?-?a?2b2k?2 \?x?x?+?y?y?=

22、?-?1 \?2a?2?-?1?-?a?2?(a?2?-?1)?1?+?5 2 ??1?+?5 ? ,?+￥?÷ è 2 ? 例?4：設(shè)?A,?B?分別為橢圓 x?2??y?2 + a?2?b2 =?1(a?>?b?>?0)的左、右頂點，橢圓長半軸的長等于焦距， 且橢圓上的點到右焦點距離的最小值為1  y （1）求橢圓的方程； M??????????P A o B????(4,0)?????x （2）設(shè)?P?為直線?x?=?4?上不同于點?(4,0?)?的任意

23、一點，?若  N 直線?AP,?BP?分別與橢圓相交于異于?A,?B?的點?M?,?N?，證明：點?B?在以?MN?為直徑的圓內(nèi) 解：（1）依題意可得?a?=?2c?，且到 右焦點距離的最小值為?a?-?c?=?1 可解得：?a?=?2,?c?=?1 \?b?=?3 x?2 y?2 \?橢圓方程為 + 4 3  =?1 （2）思路：若要證?B?在以?MN?為直徑的圓內(nèi)，只需證明?DMBN?為鈍角，即?DMBP?為銳 u u uuur?uur 角，從而只需證明?BM?×?BP?>?0?，因為?A,?B?坐標可求，

24、所以只要設(shè)出?AM?直線（斜率為?k?）?， u uuur?uuur 聯(lián)立方程利用韋達定理即可用?k?表示出?M?的坐標，從而?BM?×?BP?可用?k?表示。即可判斷 1 u uuur?uuur BM?×?BP?的符號，進而完成證明 解：由（1）可得?A(-2,0?),?B?(2,0?)?，設(shè)直線?AM?,?BN?的斜率分別為?k?，?M?(x?,?y 1 1 AM?:?y?=?k?(x?+?2) 聯(lián)立?AM?與橢圓方程可得： )?，則 ì??y?=?k?(x?+?2?) í ??3x?2?+?4?y?2?=?12 ，消去?y

25、?可得：?(4k?2?+?3)x?2?+?16k?2?x?+?16k?2?-?12?=?0 4k?2?+?3??????? 4k?2?+?3 16k?2?-?12 6?-?8k?2 \?x?x?= T?x?= A?1 1 第九章 第?75?煉?幾何問題的轉(zhuǎn)換 解析幾何 ，即?M?? , 4k?2?+?3??????? 4k?2?+?3??4k?2?+?3?? \?y?=?kx?+?2k?= 1 1 12k???6?-?8k?2??12k?? ÷ è 設(shè)?P?(4,?y  0 )?，因為?P?在直線?AM

26、?上，所以?y 0 =?k?(4?+?2)?=?6k?，即?P?(4,6k?) (2,6k?),?uBMuru?=????-16k?2?,???12k ?÷ u uur \?BP?= u  è?4k?2?+?3?4k?2?+?3?? u u uur?uuur \?BP?×?BM?= -32k?2???????12k????40k?2 +?6k?×?=???????>?0 4k?2?+?3?????4k?2?+?3??4k?2?+?3 線相交于?A,?B?兩點，與橢圓??3 \D?MBP?為銳角，?\D?MBN

27、?為鈍角 \?M?在以?MN?為直徑的圓內(nèi) 例?5：如圖所示，已知過拋物線?x2?=?4?y?的焦點?F?的直線?l?與拋物 3 y?2?+ x?2?=?1?的交點為?C?,?D?，是否 4 2 存在直線?l?使得?AF?×?CF?=?BF?×?DF?？若存在，求出直線?l?的方 程，若不存在，請說明理由 解：依題意可知拋物線焦點?F?(0,1)，設(shè)?l?:?y?=?kx?+?1 Q?AF?×?CF?=?BF?×?DF \??AF CF???，不妨設(shè)???AF BF?= DF  BF?= DF

28、 CF?=?l (-?x?,1?-?y?),?uFBru?=?(x?,?y??-?1) (-?x?,1?-?y?),?uFDur?=?(x?,?y??-?1) u uuur uur?uuur uuur 則?AF?=?l?FB,?DF?=?l?FC 設(shè)?A(x?,?y?),?B?(x?,?y?),?C?(x?,?y?),?D?(x?,?y 1 1 2 2 3 3 4 uuur u \?AF?= 1 1 2 2 uuur u CF?= 3 3 4 4  4  ) \í????????? 考慮聯(lián)立

29、直線與拋物線方程：?í ì-?x?=?l?x ì?y?=?kx?+?1 1 2 ?-?x3?=?l?x4 ??x2?=?4?y  T?x2?-?4kx?-?4?=?0 \í??????????????????? ，消去?x??可得： ???x?x??=?-l?x?2?=?-4 ? ì?x?+?x?=?(1?-?l?)?x?=?-4k 1 2 2 1?2 2  2 (1?-?l?)2 -l  =?-4k?2  ① ?6x2?+?3?y?2?=?4??T?6x2?-?3(kx?+?1)2?=?4?，整理可得：

30、第九章 第?75?煉?幾何問題的轉(zhuǎn)換 解析幾何 ì 聯(lián)立直線與橢圓方程：?í?y?=?kx?+?1 (3k  2 +?6?)x?2?+?6kx?-?1?=?0 ì??x??+?x??=?(1?-?l?)?x??=?- ?????3????????????? 3k?2?+?6 \í ??x?x??=?-l?x?2?=?- ?????3???4????????? 3k?2?+?6 6k 4 4 1 4 \?(1?-?l?)2 -l  =- 36k?2 3k?2?+?6  ②

31、 由①②可得： -4k?2?=?- 36k?2 3k?2?+?6  ，解得：?k?2?=?1?T?k?=?±1 所以存在滿足條件的直線，其方程為：?y?=?±?x?+?1 例?6：在平面直角坐標系?xOy?中，已知拋物線?x2?=?2?py?(?p?>?0)的準線方程為?y?=?- 點?M?(4,0?)作拋物線的切線?MA?，切點為?A（異于點?O?），直線?l?過 點?M?與拋物線交于兩點?P,Q?，與直線?OA?交于點?N （1）求拋物線的方程  1 2  ，過

32、 （2）試問 MN MP?+ MN MQ?的值是否為定值？若是，求出定值；若不 解：（1）由準線方程可得：?-??p 是，請說明理由 1 =- T?p?=?1 2 2 \拋物線方程：?x2?=?2?y （2）設(shè)切點?A(x?,?y 0 0 )?，拋物線為?y?=?1?x?2 2 \?y?'?=?x \?切線斜率為?k?=?x 0 \?切線方程為：?y?-?y?=?x?(x?-?x?)，代入?M?(4,0?)及?y?= 0 0 0 0  1 x?2 2?0 x?2?=?

33、x?(4?-?x?)?，解得：?x??=?0?（舍）或?x??=?8 2 0 可得：?- 1  0?0?0?0 第九章 第?75?煉?幾何問題的轉(zhuǎn)換 解析幾何 \?A(8,32?) OA?:?y?=?4?x 設(shè)?PQ?:?x?=?my?+?4 Q?M?,?P,?N?,Q?共線且?M?在?x?軸上 \??MN MQ???= N?+ N??=?y???? ÷?=?y???× P + è P?? y???? y y N???y y??y MP?+  P?Q?Q?P?Q  N MN?y?y

34、???1?1???y?+?y Q \?y???+?y???=??2?-?8m m2?????????? m2 ì?x?2?=?2?y 聯(lián)立?PQ?和拋物線方程：?í ??x?=?my?+?4 m2?y?2?+?(8m?-?2)?y?+?16?=?0 16 ,?y?×?y?= P Q P Q T?(my?+?4?)2?=?2?y?，整理可得： ì 再聯(lián)立?OA,?PQ?直線方程：?í?y?=?4?x ??x?=?my?+?4  T?y?= N 16 1?-?4m MN??? MN??????????????

35、?? 16 \????? +????? =?y???× P ×??????? =?2 m2 16 MP??? MQ??????? y??y 1?-?4m m2 G?????, ÷??? 由??y?軸上一點?M?滿足平行關(guān)系，可得?M???0,???÷ 2?-?8m Q?= N P Q ??? , 例?7：在V?ABC?中，?A,?B?的坐標分別是?(-?2,0?)?(?2,0?)，點G?是?V?ABC?的重心，?y?軸上 一點?M?滿足?GM?∥?AB?，且?MC?=?MB （1）求?V?ABC?的頂點?C?的軌跡?E?的方程 （2）直線?l

36、?:?y?=?kx?+?m?與軌跡?E?相交于?P,Q?兩點，若在軌跡?E?上存在點?R?，使得四邊形 OPRQ?為平行四邊形（其中?O?為坐標原點），求?m?的取值范圍 解：（1）設(shè)?C?(x,?y?) 由?G?是?V?ABC?的重心可得： ??x?y?? ? y?? è?3?3?? è 3?? 由?MC?=?MB?可得：???x??+???y?-? y?÷???= (0?-???2?)?+?y +??? =?1(?y?1?0) 化簡可得：  x?2??y?2 2???6  2 ??

37、1??2 è?3?? 2  2 \?C?的軌跡?E?的方程為：?? +??? =?1(?y?1?0) 第九章 第?75?煉?幾何問題的轉(zhuǎn)換 解析幾何 x?2 y?2 2 6 （2） Q?四邊形?OPRQ?為平行四邊形 uuur uuur uuur \OR?=?OP?+?OQ 設(shè)?P?(x?,?y?),Q?(x?,?y 1 1 2  2 )??\?R?(x?+?x?,?y?+?y 1?2?1  2 ) Q?R?在橢圓上 \?3(x?+?x 1  2 )2?+?(?

38、y 1 +?y  2 )2?=?6 (3x?2 1 +?y?2?)+?(3x?2?+?y?2?)+?6?x?x?+?2?y?y?=?6 1?2?2?1?2?1?2  ① 因為?P,Q?在橢圓上，所以?í ???3x?2?+?y?2?=?6 ì?3x?2?+?y?2?=?6 1 1 2 2  ，代入①可得： 6?x?x?+?2?y?y?+?12?=?6?T?3x?x?+?y?y?=?-3 ② 1?2 1 2 1?2 1 2 聯(lián)立方程可得： ?3x2?+?y?2?=?6 ì?y?=?k

39、x?+?m í T?(k?2?+?3)x2?+?2kmx?+?m2?-?6?=?0 3?+?k?2 k?2?+?3 2km m2?-?6 \?x?+?x?=?- ,?x?x?= 1 2 1?2 \?y?y?=?(kx?+?m?)(kx?+?m?)?=?k?2?x?x?+?km?(x?+?x?)?+?m?2?= 1 2 1 2 1?2 1 2 代入②可得：  3m2?-?6k?2 k?2?+?3 3?× m2?-?6??3m2?-?6k?2 +??????????=?-3?T?2m2?=?

40、k?2?+?3 k?2?+?3?k?2?+?3 (k  2 +?3)x?2?+?2kmx?+?m?2?-?6?=?0?有兩不等實根可得： D?=?4k?2m?2?-?4?(k?2?+?3)(m?2?-?6?)>?0?，即?-3m2?+?6k?2?+?18?>?0?，代入?k?2?=?2m2?-?3 \-?3m?2?+?6?(2m?2?-?3)+?18?>?0?T?m?2?>?0 另一方面：?2m2?-?3?=?k?2?3?0 \?m2?3 3???????6????????6 T?m?3???或?m?￡?- 2????

41、???2????????2 第九章 第?75?煉?幾何問題的轉(zhuǎn)換 解析幾何 ? 6?ù é?6 ? \?m?????-￥,?- ú?U?ê ,?+￥?÷ 2??? ???2 è ? =?1(a?>?b?>?0)?的離心率為? ，直線?l?過點?A(4,0?),?B?(0,2?)?， 例?8：已知橢圓?C?: x2??y?2 + a?2?b2 1 2 且與橢圓?C?相切于點?P （1）求橢圓?C?的方程 （?2?）?是?否?存?在?過?點?A(4,0?)?的?直?線?m?與?橢?圓?交?于?不?同?的?兩?點?

42、M?,?N?，?使?得 36?AP?2?=?35?AM?×?AN?？若存在，求出直線?m?的方程；若不存在，請說明理由 解（1）?e?= c??1 =??????\?a?:?b?:?c?=?2?:?3?:1 a??2 \?橢圓方程化為： x2???y?2 + 4c2?3c2  =?1?T?3x2?+?4?y?2?=?12c2 \設(shè)直線?l?:??x 消去?y?可得：?3x2?+?4???-????x?+?2?÷??=?12c2 =?1?，且可解得?P??1,???÷ Q?l?過?A(4,0?),?B?(0,

43、2?) y 1 + =?1?T?y?=?- x?+?2 4 2 2 ì3x2?+?4?y?2?=?12c2 ? ??1 ?2 聯(lián)立直線與橢圓方程：?í 1 ??y?=?-?x?+?2 è?2 ? ? 2 整理可得：?x2?-?2?x?+?4?-?3c2?=?0 Q?l?與橢圓相切于?P \D?=?4?-?4?(4?-?3c?2?)=?0?T?c?=?1 x2 y?2 ??3?? \橢圓方程為： + 4 3 è?2?? )?，由（1）可得：?P???1,?3??÷?， （2）思路：設(shè)直線?m?為?y?=?k?(x?-?4

44、)，?M?(x?,?y?),?N?(x?,?y 1 1 2 2  è?2?? 再由?A(4,0?)?可知?AP?2?= 45 4  ，若要求得?k?（或證明不存在滿足條件的?k?），則可通過等式 36?AP?2?=?35?AM?×?AN?列出關(guān)于?k?的方程。對于?AM?×?AN?，盡管可以用兩點間距離公 式表示出?AM?,?AN?，但運算較為復(fù)雜。觀察圖形特點可知?A,?M?,?N?共線，從而可想到利 u u uuur?uuur uuur?uuur 用向量數(shù)量積表示線段的乘積。因為?AM?,?AN?同向，所以?AM?×?AN

45、?=?AM?×?AN?。寫出 第九章 第?75?煉?幾何問題的轉(zhuǎn)換 解析幾何 u uuur?uuur AM?,?AN?的坐標即可進行坐標運算，然后再聯(lián)立m?與橢圓方程，運用韋達定理整體代入即 可得到關(guān)于?k?的方程，求解即可 由（1）可得：?P??1,???÷????3?? 解：由題意可知直線?m?斜率存在，所以設(shè)直線?m?:?y?=?k?(x?-?4),?M?(x?,?y?),?N?(x?,?y 1 1 2 è?2??  2 ) =?(1?-?4)2?+?? -?0?÷ \?AP  2 ??

46、3??? è?2??? 2  = 45 4 u u uuur?uuur uuur?uuur Q?A,?M?,?N?共線且?AM?,?AN?同向 \?AM?×?AN?=?AM?×?AN (x?-?4,?y?),?uANur?=?(x??-?4,?y u uuur AM?=  1?1?2 u  2 ) \?AM?×?AN?=?(x?-?4)(x??-?4)?+?y?y??=?x?x??+?y?y??-?4?(x?+?x?)?+?16 u uuur?uuur 1 2 1?2 1?2 1?2 1

47、 2 聯(lián)立直線?m?與橢圓方程： ???y?=?k?(x?-?4?) ì?3x2?+?4?y?2?=?12 í 消去?y?并整理可得：?(4k?2?+?3)x?2?-?32k?2?x?+?64k?2?-?12?=?0 \?x?+?x?= 1 2 32k?2???????64k?2?-?12 ,?x?x?= 4k?2?+?3?1?2?4k?2?+?3 \?y?×?y?=?k?2?(x?-?4)(x?-?4)?= 1 2 1 2 36k?2 4k?2?+?3 u uuur?uuur 64k?2?-

48、?12 36k?2 32k?2 36?(k?2?+?1) \?AM?×?AN?= + -?4?× +?16?= 4k?2?+?3 4k?2?+?3 4k?2?+?3 4k?2?+?3 Q?36?AP  2?=?35?AM?×?AN  ，代入?AP ??u uuur?uuur?36?(k?2?+?1) 2?=?45?，?AM?×?AN?= 4??????????????4k?2?+?3  可得： 45 36?(k?2?+?1) 36?× =?35?× 4 4k?2?+?3 可解得：?k?2?

49、= 1????????2 T?k?=±???，另一方面， 8????????4 若方程?(4k?2?+?3)x?2?-?32k?2?x?+?64k?2?-?12?=?0?有兩不等實根 )?-?4?(4k 則?D?=?(32k?2 2  2 +?3)(64k?2?-?12?)>?0 解得:?-??1 y?=? 2 第九章 第?75?煉?幾何問題的轉(zhuǎn)換 解析幾何 1 2

50、?-?2?或?y?=- x?+?2 4 4 例?9：設(shè)橢圓C?: x?2??y?2 + a?2?b2 =?1(a?>?b?>?0)的左，右焦點分別為?F?,?F?，上頂點為?A?，過點?A 1?2 uuuur uuuur r 與?AF?垂直的直線交?x?軸負半軸與點?Q ，且?2F?F?+?F?Q?=?0 2 1 2 2 （1）求橢圓?C?的離心率 （2）若過?A,Q,?F?三點的圓恰好與直線?l?:?x?-?3?y?-?3?=?0?相切，求橢圓?C?的方程 2 （3）在（2）的條件下，過右焦點?F?作斜率為?k?的直

51、 2 線?l?與橢圓?C?交于?M?,?N?兩點，在?x?軸上是否存在點 P?(m,0?)?使得以?PM?,?PN?為鄰邊的平行四邊形是菱 形？如果存在，求出?m?的取值范圍；如果不存在，請 說明理由 解：（1）依題意設(shè)?A(0,b),?F?(-c,0?),?F?(c,0?),Q?(x?,0?) 1 2 0 uuuur \?F?F?= 1 2 uuuur (2c,0?),?F?Q?=?(x?-?c,0?) 2?0 uuuur?uuuur??r Q?2F?F?+?F?Q?=?0 1?2?2 \?4c?+?x?-?c

52、?=?0?T?x?=?-3c 0 0 \Q?(-3c,0?) AQ??=???b AF2??=- \?k b ,?k 3c???????c  由?AQ?^?AF?可得： 2 k  AQ  ×?k  AF2  =- b2 3c2  =?-1?T?b2?=?3c2 \?a?2?-?c2?=?3c2?T?a?2?=?4c2 \?e?=?1 2 （2）由（1）可得：?a?:?b?:?c?=?2?:?3?:1 2 第九章 第?75?煉?幾何問題的

53、轉(zhuǎn)換 解析幾何 AQ?^?AF 2 \?A,Q,?F?的外接圓的直徑為?QF?，半徑設(shè)為?r 2 2 \Q?(-3c,0?),?F?(c,0?) 2 \?r?=?1?QF?=?2c?，圓心?(-c,0?) 2 由圓與直線相切可得：?d?=?-c?-?3 2  =?2c?T?c?+?3?=?4c , 解得：?c?=?1 \?a?=?2?b?= 3 x?2 y?2 \?橢圓方程為 + 4 3  =?1 （3）由（2）得?F?(-1,0?),?F?(1,0?)：設(shè)直線?l?:?

54、y?=?k?(x?-?1) 1 2 設(shè)?M?(x?,?y?),?N?(x?,?y 1 1 2  2 )，若?PM?,?PN?為鄰邊的平行四邊形是菱形 則?P?為?MN?垂直平分線上的點 í 1 ??3x?2?+?4?y?2?=?12 ì?3x?2?+?4?y?2?=?12 1 2 2 T?3(x?2?-?x?2?)+?4?(y?2?-?y?2?)=?0 1?????2??????????1??????2 \3(x?+?x 1 2 )(x 1 -?x?)?+?4?(?y?+?y 2?1 

55、2 )(y 1 -?y  2 )?=?0 設(shè)?M?,?N?中點?(x?,?y 0 0 ) 4k k \?3x?+?4ky?=?0?T?y?=?-?3x0 0 0 0 \?MN?的中垂線方程為：?y?-?y?=?- 0  1?(?x?-?x?)，即?x?+?ky?-?ky?-?x?=?0 0?0?0 代入?P?(m,0?)?可得：?m?-?ky??-?x??=?0?T?m?=? x??= 1 4 0 8 0 0 1????x?+?x  2 í 聯(lián)立方程：?ì?3

56、x?2?+?4?y?2?=?12?T?(4k?2?+?3)x?2?-?8k?2?x?+?4k?2?-?12?=?0 ???y?=?k?(x?-?1) \?x?+?x?= 1 2 8k?2 4k?2?+?3 =?????? ????0,???÷ 4?+???3 \?m?= k?2??????1??????1?? 4k?2?+?3?è??4?? k?2 所以存在滿足題意的?P?，且?m?的取值范圍是???0,???÷ 第九章 第?75?煉?幾何問題的轉(zhuǎn)換 解析幾何 ? 1?? è 4?? 例?10：已知拋物

57、線?C?：?y2?=?2?px?(?p?>?0)?的焦點為?F?，直線?y?=?4?與?y?軸的交點為?P?，與 拋物線的交點為?Q?，且?QF?= 5 4  PQ （1）求拋物線?C?的方程 （2）過?F?的直線?l?與拋物線?C?相交于?A,?B?兩點，若?AB?垂直平分線?l?'?與?C?相交于?M?,?N?兩 點，且?A,?M?,?B,?N?四點在同一個圓上，求?l?的方程 解：（1）設(shè)?Q?(x?,4?)，可的?42?=?2?px?T?x?= 0 0 0 8 p \?Q??? ,4

58、?÷?? P?(0?,?4) p?????????????? 2?? p?? 2 ??8 ? è?p ? 8??????????????p??8??p \?PQ?=???????QF?=?x?+??=??+ 0  且 5 QF?=??PQ 4 \??8 p 5?8 + = × 解得?p?=?2 p 2 4?p \?拋物線?C?:?y?2?=?4x （2）由（1）可得?F?(1,0) 可設(shè)直線?l?:?x?=?my?+?1 ì?y?2?=?4?x 聯(lián)立方程?í T?y?2?-?4my?-?4?=?0 ??x?=?my?

59、+?1 設(shè)?A(x?,?y?),?B?(x?,?y 1 1 2  2 )，則有?y 1 +?y?=?4m,?y?y?=?-4 2?1?2 設(shè)?l?'?:?(?y?-?2m?)?=?-m?é??x?-??2m2?+?1?ù????整理可得：?x?=?- \?x?+?x?=?m?(?y?+?y?)?+?2?=?4m2?+?2 1 2 1 2 ?????? \?AB?的中點?D?(2m2?+?1,2?m?) m2?+?1?y?-?y?=?4?(m2?+?1) 且?AB?= 1 2 由直線?l?:?x?=?my?+?1?可得?l?

60、'?的斜率為?-m ( )  1 m  y?+?2m2?+?3 與?y?2?=?4x?聯(lián)立消去?x?可得：?y?2?+ 設(shè)?M?(x?,?y?),?N?(x?,?y ) 3 3 4 4 4 m y?-?4?(2m2?+?3)=?0 第九章 第?75?煉?幾何問題的轉(zhuǎn)換 解析幾何 \?y?+?y?=- 3 4 4 m ,?y?y?=?-4?(2m2?+?3) 3?4

61、 1?(??y??+?y?)?+?4m2?+?6?= m?????????????????? m2 \?x?+?x?=?- 3 4  3?4 4  +?4m2?+?6 \?MN?的中點?E?? m?? ??2 è?m2  +?2m2?+?3,?- 2?? ÷ MN?=?4?(m2?+?1)?2m2?+?1 m2  ，因為?A,?M?,?B,?N?共圓， 所以?DE??2?+??AD????=?r?2?=??ME 2 2 T?DE?2?+ 1??????1 AB?2?=??MN 4??????4  2 ( ) T???2m?+? ÷??+?? 2?+?2?÷??+?4??m2?+?1 = 2??2 ???2 m?? è?m ? ?2 è ? 整理后可得：?m2?-?1?=?0?T?m?=?±1 \?l?的方程為：?x?-?y?-?1?=?0?或?x?+?y?-?1?=?0 2 4?(m2?+?1)?(2m2?+?1) m4