傅里葉變換的基本性質(zhì)傅里葉變換性質(zhì).pdf

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1、傅里葉變換的基本性質(zhì)（一）傅里葉變換建立了時(shí)間函數(shù)和頻譜函數(shù)之間轉(zhuǎn)換關(guān)系。在實(shí)際信號(hào)分析中，經(jīng)常需要對(duì)信號(hào)的時(shí)域和頻域之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系及轉(zhuǎn)換規(guī)律有一個(gè)清楚而深入的理解。因此有必要討論傅里葉變換的基本性質(zhì)，并說(shuō)明其應(yīng)用。一、線性傅里葉變換是一種線性運(yùn)算。若 則其中a和b均為常數(shù)，它的證明只需根據(jù)傅里葉變換的定義即可得出。例3-6利用傅里葉變換的線性性質(zhì)求單位階躍信號(hào)的頻譜函數(shù)。 解因由式(3-5)得二、對(duì)稱性 若則證明因?yàn)橛?將上式中變量換為x，積分結(jié)果不變，即 再將t用代之，上述關(guān)系依然成立，即最后再將x用t代替，則得所以 證畢若是一個(gè)偶函數(shù)，即，相應(yīng)有，則式(3-56)成為可見，傅里葉變換之間

2、存在著對(duì)稱關(guān)系，即信號(hào)波形與信號(hào)頻譜函數(shù)的波形有著互相置換的關(guān)系，其 幅度之比為常數(shù)。式中的表示頻譜函數(shù)坐標(biāo)軸必須正負(fù)對(duì)調(diào)。例如：例3-7若信號(hào)的傅里葉變換為 試求。解將中的換成t，并考慮為的實(shí)函數(shù)，有 該信號(hào)的傅里葉變換由式(3-54)可知為 根據(jù)對(duì)稱性故再將中的換成t，則得 為抽樣函數(shù)，其波形和頻譜如圖3-20所示。 三、折疊性若則 四、尺度變換性若則 證明因a0，由 令，則，代入前式，可得函數(shù)表示沿時(shí)間軸壓縮(或時(shí)間尺度擴(kuò)展)a倍，而則表示沿頻率軸擴(kuò) 展(或頻率尺度壓縮)倍。該性質(zhì)反映了信號(hào)的持續(xù)時(shí)間與其占有頻帶成反比，信號(hào)持續(xù)時(shí)間壓縮的倍數(shù)恰好等于占有頻帶的展寬倍數(shù)，反之亦然。例3-8

3、已知,求頻譜函數(shù)。 解前面已討論了的頻譜函數(shù)，且根據(jù)尺度變換性，信號(hào)比的時(shí)間尺度擴(kuò)展一倍，即波形壓縮了一半，因此其頻譜函數(shù) 兩種信號(hào)的波形及頻譜函數(shù)如圖3-21所示。 五、時(shí)移性若則 此性質(zhì)可根據(jù)傅里葉變換定義不難得到證明。它表明若在時(shí)域平移時(shí)間，則其頻譜函數(shù)的振幅并不改變，但其相位卻將改變。例3-9求的頻譜函數(shù)。解:根據(jù)前面所討論的矩形脈沖信號(hào)和傅里葉變換的時(shí)移性，有 六、頻移性若 則證明證畢 頻移性說(shuō)明若信號(hào)乘以，相當(dāng)于信號(hào)所分解的每一指數(shù)分量都乘以，這就使頻譜中的每條譜線都必須平移，亦即整個(gè)頻譜相應(yīng)地搬移了位置。頻譜搬移技術(shù)在通信系統(tǒng)得到了廣泛應(yīng)用，諸如調(diào)幅、同步解調(diào)、變頻等過(guò)程都是在頻

4、譜搬移的基礎(chǔ)上完成的。頻譜搬移實(shí)現(xiàn)原理是將信號(hào)乘以所謂載頻信號(hào)或，即 七、時(shí)域微分性若則 證明：因?yàn)閮蛇厡?duì)t求導(dǎo)數(shù)，得 所以同理，可推出例3-10求的頻譜函數(shù)。 解:因?yàn)橛蓵r(shí)域微分性例3-1圖3-2所示信號(hào)為三角形函數(shù) 求其頻譜函數(shù)。解:將微分兩次后，得到圖3-2(c)所示函數(shù)，其表達(dá)式為 由微分性所以傅里葉變換的基本性質(zhì)（二）八、頻域微分性 若則 例3-12求的頻譜函數(shù)。解:因?yàn)楦鶕?jù)頻域微分性 九、時(shí)域積分性若則 例3-1根據(jù)和積分性求的頻譜函數(shù)。解:因?yàn)?，又，根?jù)時(shí)域積分性 例3-14求圖3-2所示信號(hào)的頻譜函數(shù)。 解:對(duì)求兩次微分后，得且由時(shí)域積分性 十、頻域積分性若則 例3-15已知，

5、求。解:因?yàn)?根據(jù)頻域積分性十一、時(shí)域卷積定理若 則證明： 例3-16圖3-24(a)所示的三角形函數(shù)可看做為兩個(gè)如圖324(b)所示門函數(shù)卷積。試?yán)脮r(shí)域卷積定理求其頻譜函數(shù)。 解：因又所以 例3-17一個(gè)信號(hào)的希伯特變換是和的卷積，即解：因?yàn)?則對(duì)稱性有由時(shí)域卷積定理 傅里葉變換的基本性質(zhì)（三）十二、頻域卷積定理若則 或例3-18利用頻域卷積定理求的傅里葉變換。解：因?yàn)?由對(duì)稱性有所以根據(jù)頻域卷積定理，有 即十三、帕塞瓦爾定理若 則可推廣若為實(shí)函數(shù)，則 若,為實(shí)函數(shù)，則例3-19求。 解：因又，由帕塞瓦爾定理可得十四、奇偶性 若，則 (1)當(dāng)為實(shí)函數(shù)時(shí)，則若為實(shí)偶函數(shù)，即，則 若為實(shí)奇函數(shù)

6、，即，則(2)當(dāng)為虛函數(shù)，即時(shí)，則 傅里葉變換的性質(zhì)表格性質(zhì)名稱時(shí)域頻域1.線性2.對(duì)稱性3.折疊性 4.尺度變換性5.時(shí)移性6.頻移性 周期信號(hào)的傅里葉變換周期信號(hào)雖然不滿足絕對(duì)可積的條件，但其傅里葉變換是存在的。由于周期信號(hào)頻譜是離散的，所以它的傅里葉變換必然也是離散的，而且是由一系列沖激信號(hào)組成。下面先討論幾種常見的周期信號(hào)的傅里葉變換，然后再討論一般周期信號(hào)的傅里葉變換。一、復(fù)指數(shù)信號(hào)的傅里葉變換對(duì)于復(fù)指數(shù)信號(hào) ，因?yàn)椋深l移性復(fù)指數(shù)信號(hào)是表示一個(gè)單位長(zhǎng)度的相量以固定的角頻率0隨時(shí)間旋轉(zhuǎn)，經(jīng)傅里葉變換后，其頻譜為 集中于，強(qiáng)度為的沖激。這說(shuō)明信號(hào)時(shí)間特性的相移對(duì)應(yīng)于頻域中的頻率轉(zhuǎn)移。二

7、、余弦、正弦信號(hào)的傅里葉變換對(duì)于余弦信號(hào) 7.時(shí)域微分8.頻域微分9.時(shí)域積分 10.頻域積分1.時(shí)域卷積12.頻域卷積13.帕塞瓦爾定理 其頻譜函數(shù)對(duì)于正弦信號(hào) 有它們的波形及其頻譜如圖3-25所示。 三、單位沖激序列的傅里葉變換若信號(hào)為單位沖激序列，即 則其傅里葉級(jí)數(shù)展開式為對(duì)其進(jìn)行傅里葉變換，并利用線性和頻移性得 式中?？梢?，時(shí)域周期為的單位沖激序列，其傅里葉變換也是周期沖激序列，而頻域周期為，沖激強(qiáng)度相等，均為。周期單位沖激序列波形、傅里葉系數(shù)與頻譜函數(shù)如圖3-26所示。 四、一般周期信號(hào)的傅里葉變換對(duì)于一般周期為T的周期信號(hào)，其指數(shù)型傅里葉級(jí)數(shù)展開式為 式中, . 對(duì)上式兩邊取傅里葉

8、變換，并利用其線性和頻移性，且考慮到與時(shí)間無(wú)關(guān)，可得式(3-82)表明，一般周期信號(hào)的傅里葉變換(頻譜函數(shù))是由無(wú)窮多個(gè)沖激函數(shù)組成，這些沖激函數(shù)位于信號(hào)的各諧波頻率處，其強(qiáng)度為相應(yīng)傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)的倍。 可見，周期信號(hào)的頻譜是離散的。但由于傅里葉變換是反映頻譜密度的概念，因此周期信號(hào)的傅里葉變換不同于傅里葉系數(shù)，它不是有限值，而是沖激函數(shù)，這表明在無(wú)窮小的頻帶范圍(即諧頻點(diǎn))取得了無(wú)窮大的頻譜值。例3-20圖3-27(a)表示一周期為，脈沖寬度為，幅度為1的周期性矩形脈沖信號(hào)，記為。試求其頻譜函數(shù)。 解由式(3-26)可知，圖3-27(a)所示周期性矩形脈沖信號(hào)的傅里葉系數(shù)為代入式(3-82)

9、，得 （3-8）式中?？梢?，周期矩形脈沖信號(hào)的傅里葉變換由位于處的沖激函數(shù)所組成，其在處的強(qiáng)度為。圖3-27(b)給出了情況下的頻譜圖 周期信號(hào)的頻譜一、周期信號(hào)的頻譜一個(gè)周期信號(hào)，只要滿足狄里赫利條件，則可分解為一系列諧波分量之和。其各次諧波分量可以是正弦函數(shù)或余弦函數(shù)，也可以是指數(shù)函數(shù)。不同的周期信號(hào)，其展開式組成情況也不盡相同。在實(shí)際工作中，為了表征不同信號(hào)的諧波組成情況，時(shí)常畫出周期信號(hào)各次諧波的分布圖形，這種圖形稱為信號(hào)的頻譜，它是信號(hào)頻域表示的一種方式。 描述各次諧波振幅與頻率關(guān)系的圖形稱為振幅頻譜，描述各次諧波相位與頻率關(guān)系的圖形稱為相位頻譜。根據(jù)周期信號(hào)展成傅里葉級(jí)數(shù)的不同形式

10、又分為單邊頻譜和雙邊頻譜。1 單邊頻譜若周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式為式(3-15)，即 則對(duì)應(yīng)的振幅頻譜和相位頻譜稱為單邊頻譜。例3-求圖3-4所示周期矩形信號(hào)的單邊頻譜圖。解由波形可知，為偶函數(shù)，其傅里葉系數(shù) 故因此,即, , , , ,單邊振幅頻譜如圖3-5所示。 2 雙邊頻譜若周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式為式(3-17)，即 則與所描述的振幅頻譜以及的相位與所描述的相位頻譜稱為雙邊頻譜。例3-4畫出圖3-4所示矩形周期信號(hào)的雙邊頻譜圖形。解由式(3-18)和圖3-4可知 , , ,, , 故,的雙邊頻譜圖如圖3-6所示。 從上例頻譜圖上可以看出，單邊振幅頻譜是指與正值的關(guān)系，雙邊振幅頻譜是

11、指與正負(fù)值的關(guān)系。應(yīng)注意，所以將雙邊振幅頻譜圍繞縱軸將負(fù)一邊對(duì)折到一邊，并將振幅相加，便得到單邊振幅頻譜。當(dāng)為實(shí)數(shù)，且各諧波分量的相位為零或，圖形比較簡(jiǎn)單時(shí)，也可將振幅頻譜和相位頻譜 合在一幅圖中。比如，例3-4中的頻譜可用與關(guān)系圖形反映，如圖3-7所示。 3 周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn)圖3-7反映了周期矩形信號(hào)頻譜的一些性質(zhì)，實(shí)際上它也是所有周期信號(hào)頻譜的普遍性質(zhì)，這就是：(1)離散性。指頻譜由頻率離散而不連續(xù)的譜線組成，這種頻譜稱為離散頻譜或線譜。 (2)諧波性。指各次諧波分量的頻率都是基波頻率的整數(shù)倍，而且相鄰諧波的頻率間隔是均勻的，即譜線在頻率軸上的位置是的整數(shù)倍。(3)收斂性。指譜線幅度隨而

12、衰減到零。因此這種頻譜具有收斂性或衰減性.二、周期信號(hào)的有效頻譜寬度在周期信號(hào)的頻譜分析中，周期矩形脈沖信號(hào)的頻譜具有典型的意義，得到廣泛的應(yīng)用。下面以圖3-8所示的周期矩形脈沖信號(hào)為例，進(jìn)一步研究其頻譜寬度與脈沖寬度之間的圖3-8關(guān)系。 圖3-8所示信號(hào)的脈沖寬度為，脈沖幅度為，重復(fù)周期為，重復(fù)角頻率為。若將展開為式(3-17)傅里葉級(jí)數(shù)，則由式(3-18)可得 在這里為實(shí)數(shù)。因此一般把振幅頻譜和相位頻譜合畫在一幅圖中，如圖3-9所示。 由此圖可以看出：(1)周期矩形脈沖信號(hào)的頻譜是離散的，兩譜線間隔為。(2)直流分量、基波及各次諧波分量的大小正比于脈幅和脈寬，反比于周期，其變化受包絡(luò)線的牽

13、制。 (3)當(dāng)時(shí)，譜線的包絡(luò)線過(guò)零點(diǎn)。因此稱為零分量頻率。 (4)周期矩形脈沖信號(hào)包含無(wú)限多條譜線，它可分解為無(wú)限多個(gè)頻率分量，但其主要能量集中在第一個(gè)零分量頻率之內(nèi)。因此通常把這段頻率范圍稱為矩形信號(hào)的有效頻譜寬度或信號(hào)的占有頻帶，記作 或顯然，有效頻譜寬度只與脈沖寬度有關(guān)，而且成反比關(guān)系。有效頻譜寬度是研究信號(hào)與系統(tǒng)頻率特性的重要內(nèi)容，要使信號(hào)通過(guò)線性系統(tǒng)不失真，就要求系統(tǒng)本身所具有的頻率特性必須與信號(hào)的頻寬相適應(yīng)。對(duì)于一般周期信號(hào)，同樣也可得到離散頻譜，也存在零分量頻率和信號(hào)的占有頻帶。三、周期信號(hào)頻譜與周期的關(guān)系 下面仍以圖3-8所示的周期矩形信號(hào)為例進(jìn)行分析。因?yàn)樗栽诿}沖寬度保持不

14、變的情況下，若增大周期，則可以看出：(1)離散譜線的間隔將變小，即譜線變密。 (2)各譜線的幅度將變小，包絡(luò)線變化緩慢，即振幅收斂速度變慢。(3)由于不變，故零分量頻率位置不變，信號(hào)有效頻譜寬度亦不變。圖3-10給出了脈沖寬度相同而周期不同的周期矩形脈沖信號(hào)的頻譜。由圖可見，這時(shí)頻譜包絡(luò)線的零點(diǎn)所在位置不變，而當(dāng)周期增大時(shí)，頻譜線變密，即在信號(hào)占有頻帶內(nèi)諧波分量增多，同時(shí)振幅減小。當(dāng)周期無(wú)限增大時(shí)，變?yōu)榉侵芷谛盘?hào)，相鄰譜線間隔趨近于零。相應(yīng)振幅趨于無(wú)窮小量，從而周期信號(hào)的離散頻譜過(guò)渡到非周期信號(hào)的連續(xù)頻譜，這將在下一節(jié)中討論。 如果保持周期矩形信號(hào)的周期不變，而改變脈沖寬度，則可知此時(shí)譜線間隔

15、不變。若減小，則信號(hào)頻譜中的第一個(gè)零分量頻率增大，即信號(hào)的頻譜寬度增大，同時(shí)出現(xiàn)零分量頻率的次數(shù)減小，相鄰兩個(gè)零分量頻率間所含的諧波分量增大。并且各次諧波的振幅減小，即振幅收斂速度變慢。若增大，則反之。四、周期信號(hào)的功率譜 周期信號(hào)的平均功率可定義為在電阻上消耗的平均功率，即周期信號(hào)的平均功率可以用式(3-28)在時(shí)域進(jìn)行計(jì)算，也可以在頻域進(jìn)行計(jì)算。若的指數(shù)型傅里葉級(jí)數(shù)展開式為 則將此式代入式(3-28)，并利用的有關(guān)性質(zhì)，可得該式稱為帕塞瓦爾(Parseval)定理。它表明周期信號(hào)的平均功率完全可以在頻域用加以確定。實(shí)際 上它反映周期信號(hào)在時(shí)域的平均功率等于頻域中的直流功率分量和各次諧波平均

16、功率分量之和。與的關(guān)系稱為周期信號(hào)的功率頻譜，簡(jiǎn)稱為功率譜。顯然，周期信號(hào)的功率譜也是離散譜。例3-5試求圖3-8所示周期矩形脈沖信號(hào)在有效頻譜寬度內(nèi)，諧波分量所具有的平均功率占整個(gè)信號(hào)平均功率的百分比。設(shè)。 解因?yàn)樽鞒鲱l譜和功率譜圖，如圖3-1所示。第一個(gè)零分量頻率為所以在信號(hào)頻譜寬度內(nèi)，包含一個(gè)直流分量和四個(gè)諧波分量。 圖3-1周期信號(hào)的平均功率為在有效頻譜寬度內(nèi)信號(hào)的平均功率為 故從上式可以看出，在所給出的周期矩形脈沖情況下，包含在有效頻譜寬度內(nèi)的信號(hào)平均功率約占整個(gè)信號(hào)平均功率的90%非周期信號(hào)的頻譜一、非周期信號(hào)的頻譜函數(shù) 對(duì)于周期信號(hào)，已知它可表示為式中 將式(3-1)改寫為當(dāng)信號(hào)

17、的周期趨于無(wú)限大時(shí)，由上節(jié)討論可知譜線間隔趨于無(wú)窮小，譜線密集成為連續(xù)頻譜，離散變量變?yōu)檫B續(xù)變量，即，此時(shí)記 稱為頻譜密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱頻譜函數(shù)，其意義為單位頻率上的諧波幅度。為的復(fù)函數(shù)，可寫作其中代表非周期信號(hào)中各頻率分量幅值的相對(duì)大小，輻角則代表相應(yīng)各頻率分量的相位。 由于可得所以式(3-0)在時(shí)為 該式表明，一個(gè)非周期信號(hào)可以看做是無(wú)限多個(gè)幅度無(wú)限小的復(fù)指數(shù)諧波之和，而其中每一個(gè)分量的復(fù)數(shù)振幅為。二、傅里葉變換式(3-)和式(3-4)是一對(duì)很重要的變換式，現(xiàn)重寫如下： 前者是由信號(hào)的時(shí)間函數(shù)變換成頻率函數(shù)，稱為傅里葉正變換式，有時(shí)記為或后者是由信號(hào)的頻率函數(shù)變換為時(shí)間函數(shù)，稱為傅里葉反變換式

18、。有時(shí)記為或 如果上述變換中的自變量不用角頻率而用頻率，則由于，可寫為 頻譜密度函數(shù)是一復(fù)變函數(shù)，可以寫為式中和分別為的模和相位，和分別為的實(shí)部和虛部。傅里葉反變換式也可寫成 可見一個(gè)非周期信號(hào)也可以分解成許多不同頻率的正、余弦分量，也可以分解為t的復(fù)變函數(shù)。若是實(shí)函數(shù)，則和分別是的偶函數(shù)和奇函數(shù)，并且三、傅里葉變換的存在條件 前面根據(jù)周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)導(dǎo)出了傅里葉變換。而從理論上講，傅里葉變換也應(yīng)滿足一定條件才能存在。傅里葉變換存在的必要和充分條件的證明需要較多的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論，在此僅對(duì)其充分條件加以討論。如果信號(hào)滿足絕對(duì)可積條件，即 則其傅里葉變換存在，并滿足反變換式。所有能量信號(hào)都能滿足

19、上述絕對(duì)可積條件。這一條件是傅里葉變換存在充分條件而不是必要條件。一些不滿足絕對(duì)可積條件的函數(shù)也可有傅里葉變換，例如抽樣函數(shù)，階躍函數(shù)，符號(hào)函數(shù)和周期函數(shù)等。 下面說(shuō)明為什么式(3-9)成立時(shí)，和一定存在。因?yàn)橐勾嬖诒仨殱M足 式(3-40)中的被積函數(shù)是變量的函數(shù)，它可正可負(fù)。但如果取絕對(duì)值再進(jìn)行積分，則必有t又，，故 由式(3-41)可知，如果,則必然存在。四、典型信號(hào)的頻譜函數(shù)1 單邊指數(shù)信號(hào)單邊指數(shù)信號(hào)的表達(dá)式為 代入式(3-)得幅度頻譜為，相位頻譜為。可見幅度頻譜和相位頻譜函 數(shù)分別是頻率的偶函數(shù)和奇函數(shù)。單邊指數(shù)信號(hào)波形，幅度譜和相位譜如圖3-12所示。 2 偶雙邊指數(shù)信號(hào)偶雙邊指

20、數(shù)信號(hào)的表達(dá)式為 其頻譜函數(shù)為故幅度頻譜，相位頻譜。波形和幅度頻譜如圖 3-1所示。 3 奇雙邊指數(shù)信號(hào)對(duì)于奇雙邊指數(shù)信號(hào) 其頻譜函數(shù)故 其波形和幅度頻譜如圖3-14所示。 4 符號(hào)函數(shù)信號(hào)符號(hào)函數(shù)或正負(fù)號(hào)函數(shù)以記，其表示式為 顯然，這種信號(hào)不滿足絕對(duì)可積條件，但它卻存在傅里葉變換。對(duì)奇雙邊指數(shù)信號(hào)當(dāng)時(shí)，有，故符號(hào)函數(shù)的頻譜函數(shù) 并其波形和幅度頻譜如圖3-15所示。5 單位直流信號(hào)對(duì)于單位直流信號(hào)，其表達(dá)式為 可見該信號(hào)也不滿足絕對(duì)可積條件，但可利用上述取極限，可求得其傅里葉變換。即故 且顯然，這表明為一個(gè)沖激強(qiáng)度為，出現(xiàn)在的沖激函數(shù)，即 其波形和頻譜如圖3-16所示。6 單位階躍信號(hào)對(duì)于單位

21、階躍信號(hào)，可利用求其傅里葉變換，即 故利用，有 其波形和頻譜如圖3-17所示。 7 單位沖激信號(hào) 單位沖激信號(hào)的時(shí)域表示式為 其傅里葉變換式為可見，單位沖激信號(hào)的頻譜函數(shù)是常數(shù)1，它均勻分布于整個(gè)頻率范圍。其波形和頻譜如圖3-18所示。 8 矩形脈沖信號(hào)矩形脈沖信號(hào)的表達(dá)式為 其頻譜函數(shù)并有， 其波形和頻譜如圖3-19所示?？梢钥闯?，矩形脈沖信號(hào)在時(shí)域中處于有限范圍內(nèi)，而其頻譜卻以規(guī)律變化，分布于無(wú)限寬的頻率范圍內(nèi)，但其主要能量處于范圍。所以，通常認(rèn)為這種信號(hào)的占有頻帶為或。表3-2列出了常用信號(hào)的傅里葉變換。 表3-2常用信號(hào)的傅里葉變換時(shí)間函數(shù)傅立葉變換單邊指數(shù)信號(hào)偶雙邊指數(shù)信號(hào) 奇雙邊指

22、數(shù)信號(hào)符號(hào)函數(shù) 直流信號(hào)單位階躍信號(hào) 單位沖激信號(hào)1矩形脈沖信號(hào) 三角脈沖信號(hào)非正弦周期函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)周期信號(hào)是定義在(-,)區(qū)間，每隔一定時(shí)間，按相同規(guī)律重復(fù)變化的信號(hào)。一般表示為 式中，為該信號(hào)的重復(fù)周期，其倒數(shù)稱為該信號(hào)的頻率，記為或角頻率 對(duì)于非正弦周期函數(shù)，根據(jù)定理3-1，可以用在區(qū)間內(nèi)完備的正交函數(shù)集來(lái)表示。下面討論幾種不同形式的表示式。一、三角函數(shù)表示式由上節(jié)討論可知，三角函數(shù)集在區(qū)間內(nèi)為完備正交函數(shù)集。根據(jù)定理3-1，對(duì)于周期為的一類信號(hào)(函數(shù))中任一個(gè)信號(hào)都可以精確地表示為 的線性組合，即對(duì)于 有由式(3-10)，得 式(3-1)稱為周期信號(hào)的三角型傅里葉級(jí)數(shù)展開式。從

23、數(shù)學(xué)上講，當(dāng)周期信號(hào)滿足狄里赫利條件時(shí)才可展開為傅里葉級(jí)數(shù)。但在電子、通信、控制等工程技術(shù)中的周期信號(hào)一般都能滿足這個(gè)條件，故以后一般不再特別注明此條件。若將式(3-1)中同頻率項(xiàng)加以合并，還可寫成另一種形式，即 比較式(3-1)和式(3-15)，可看出傅里葉級(jí)數(shù)中各量之間有如下關(guān)系： 式(3-15)稱為周期信號(hào)的余弦型傅里葉級(jí)數(shù)展開式。 式(3-1)和式(3-15)表明，任何周期信號(hào)，只要滿足狄里赫利條件，都可以分解為許多頻率成整數(shù)倍關(guān)系的正(余)弦信號(hào)的線性組合。在式(3-1)中，是直流成分；,稱為基波分量，為基波頻率；,稱n次諧波分量。直流分量的大小，基波分量和各次諧波的振幅、相位取決于

24、周期信號(hào)的波形。從式(3-14)和式(3-16)可知，各分量的振幅,, 和相位都是的函數(shù)，并有：,是的偶函數(shù)，即；，是的奇函數(shù)，即 例3-2圖3-所示鋸齒波，求其三角型傅里葉級(jí)數(shù)展開式。 解由圖3-可知，該信號(hào)在一個(gè)周期區(qū)間(-,)內(nèi)，有周期,。 由式(3-14)，得 故該信號(hào)的三角型傅里葉級(jí)數(shù)展開式為二、指數(shù)形式 因?yàn)閺?fù)指數(shù)函數(shù)集在區(qū)間內(nèi)也是一個(gè)完備的正交函數(shù)集，其中，因此，根據(jù)定理3-1，對(duì)于任意周期為的信號(hào)，可在區(qū)間內(nèi)表示為的線性組合。即 式中由式(3-10)可求得為式(3-17)稱為周期信號(hào)的指數(shù)型傅里葉級(jí)數(shù)展開式。由于通常為復(fù)數(shù)，所以式(3-17)又稱為復(fù)系數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)展開式。同一個(gè)

25、周期信號(hào)，既可以展開成式(3-1)所示的三角型傅里葉級(jí)數(shù)式，也可以展成式(3-17)所示的指數(shù)型傅里葉級(jí)數(shù)式，所以二者之間必有確定的關(guān)系。 因?yàn)榇胧?3-1)，得 所以 在周期信號(hào)展開式(3-17)中，表示成復(fù)頻率為的指數(shù)函數(shù)之和。雖然由于引用而出現(xiàn)了角頻率，但這并不表示實(shí)際上存在負(fù)頻率，而只是將第n項(xiàng)諧波分量寫成了兩個(gè)指數(shù)項(xiàng)而出現(xiàn)的一種數(shù)學(xué)形式。事實(shí)上，和必然成對(duì)出現(xiàn)，且都振蕩在上，它們的和給出了一個(gè)振蕩頻率為的時(shí)間實(shí)函數(shù)，即 三、周期信號(hào)的對(duì)稱性與傅里葉系數(shù)的關(guān)系要把已知周期信號(hào)展開為傅里葉級(jí)數(shù)，如果為實(shí)函數(shù)，且它的波形滿足某種對(duì)稱性，則在其傅里葉級(jí)數(shù)中有些項(xiàng)將不出現(xiàn)，留下的各項(xiàng)系數(shù)的表

26、示式也變得比較簡(jiǎn)單。周期信號(hào)的對(duì)稱關(guān)系主要有兩種：一種是整個(gè)周期相對(duì)于縱坐標(biāo)軸的對(duì)稱關(guān)系，這取決于周期信號(hào)是偶函數(shù)還是奇函數(shù)，也就是展開式中是否含有正弦項(xiàng)或余弦項(xiàng)；另一種是整個(gè)周期前后的對(duì)稱關(guān)系，這將決定傅里葉級(jí)數(shù)展開式中是否含有偶次項(xiàng)或奇次項(xiàng)。下面簡(jiǎn)單說(shuō)明函數(shù)的對(duì)稱性與傅里葉系數(shù)的關(guān)系。 1 偶函數(shù)若周期信號(hào)波形相對(duì)于縱軸是對(duì)稱的，即滿足則是偶函數(shù)，其傅里葉級(jí)數(shù)展開式中只含直流分量和余弦分量，即 2 奇函數(shù)若周期信號(hào)波形相對(duì)于縱坐標(biāo)是反對(duì)稱的，即滿足此時(shí)稱為奇函數(shù)，其傅里葉級(jí)數(shù)展開式中只含有正弦項(xiàng)，即 3 奇諧函數(shù)若周期信號(hào)波形沿時(shí)間軸平移半個(gè)周期后與原波形相對(duì)于時(shí)間軸像對(duì)稱，即滿足 則稱為

27、奇諧函數(shù)或半波對(duì)稱函數(shù)。這類函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式中只含有正弦和余弦項(xiàng)的奇次諧波分量。4 偶諧函數(shù)若周期信號(hào)波形沿時(shí)間軸平移半個(gè)周期后與原波形完全重疊，即滿足 則為偶諧函數(shù)或半周期重疊函數(shù)，其傅里葉級(jí)數(shù)展開式中只含有正弦和余弦波的偶次諧波分量。 熟悉并掌握了周期信號(hào)的奇、偶和奇諧、偶諧等性質(zhì)后，對(duì)于一些波形所包含的諧波分量?？梢宰鞒鲅杆倥袛?，并使傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)的計(jì)算得到一定簡(jiǎn)化。表3-1給出了周期信號(hào)波形的各種對(duì)稱情況、性質(zhì)，以及對(duì)應(yīng)的傅里葉系數(shù)an和bn的計(jì)算公式。表3-1周期信號(hào)的對(duì)稱性與傅里葉系數(shù)的關(guān)系函數(shù)性質(zhì) 偶函數(shù)只有直流分量和余弦項(xiàng)0 奇函數(shù)只有正弦項(xiàng)00奇諧函數(shù)只有奇次 諧波分量

28、0(n為奇數(shù)) (n為奇數(shù))偶諧函數(shù)只有偶次諧波分量(n為偶數(shù)) (n為偶數(shù)) 四、傅里葉級(jí)數(shù)的性質(zhì)若，則的傅里葉級(jí)數(shù)展開式具有以下性質(zhì)(證明略)： 用完備正交函數(shù)集表示信號(hào)一、正交矢量在平面空間中，兩個(gè)矢量正交是指兩個(gè)矢量相互垂直。如圖3-1(a)所示的和是正交的，它們之間的銳夾角為90。顯然，平面空間兩個(gè)矢量正交的條件是 這樣，可將一個(gè)平面中任意矢量A,在直角坐標(biāo)系中分解為兩個(gè)正交矢量的集合同理，對(duì)一個(gè)三維空間中的矢量必須用三維的正交矢量集來(lái)表示，如圖3-1(b)所示。有 其中，，相互正交。在三維空間中是一個(gè)完備的正交矢量集，而二維正交矢量集則在此情況下是不完備的。依次類推，在n維空間中，

29、只有n個(gè)正交矢量，，，，構(gòu)成的正交矢量集才是完備的，也就是說(shuō)，在n維空間中的任一矢量，必須用n維正交矢量集來(lái)表示，即 雖然n維矢量空間并不存在于客觀世界，但是這種概念有許多應(yīng)用。例如，n個(gè)獨(dú)立變量的一個(gè)線性方程，可看做維坐標(biāo)系中n個(gè)分量組成的矢量。二、正交函數(shù)與正交函數(shù)集正交矢量分解的概念，可推廣應(yīng)用于信號(hào)分析，信號(hào)常以時(shí)間函數(shù)來(lái)表示，故信號(hào)的分解，也就是時(shí)間函數(shù)的分解。仿照矢量正交概念，也可定義函數(shù)的正交。設(shè)和是定義在區(qū)間上的兩個(gè)實(shí)變函數(shù)(信號(hào))，若在區(qū)間上有 則稱和在內(nèi)正交。 若,,定義在區(qū)間上，并且在，內(nèi)有則在內(nèi)稱為正交函數(shù)集，其中i,r=1,2,n;為一正數(shù)。如果 則稱為歸一化正交函數(shù)

30、集。對(duì)于在區(qū)間內(nèi)的復(fù)變函數(shù)集，若滿足 則稱此復(fù)變函數(shù)集為正交復(fù)變函數(shù)集。其中為的共軛復(fù)變函數(shù)。三、完備的正交函數(shù)集如果在正交函數(shù)集之外，找不到另外一個(gè)非零函數(shù)與該函數(shù)集中每一個(gè)函數(shù)都正交，則稱該函數(shù)集為完備正交函數(shù)集。否則為不完備正交函數(shù)集。對(duì)于完備正交函數(shù)集，有兩個(gè)重要定理。 定理3-1設(shè)在區(qū)間內(nèi)是某一類信號(hào)(函數(shù))的完備正交函數(shù)集，則這一類信號(hào)中的任何一個(gè)信號(hào)f(t)都可以精確地表示為的線性組合。即式中，為加權(quán)系數(shù)，且有 式(3-9)常稱正交展開式，有時(shí)也稱為歐拉傅里葉公式或廣義傅里葉級(jí)數(shù)，稱為傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)。定理3-2在式(3-9)條件下，有式(3-1)可以理解為：的能量等于各個(gè)分量的能

31、量之和，即反映能量守恒。定理3-2也稱為帕塞瓦爾 定理。例3-1已知余弦函數(shù)集cost,s2t,cosnt(n為整數(shù))(1)證明該函數(shù)集在區(qū)間(0,2)內(nèi)為正交函數(shù)集；(2)該函數(shù)集在區(qū)間(0，2)內(nèi)是完備正交函數(shù)集嗎? (3)該函數(shù)集在區(qū)間(0，)內(nèi)是正交函數(shù)集嗎?解：(1)因?yàn)楫?dāng)ir時(shí) 可見該函數(shù)集在區(qū)間(0，2)內(nèi)滿足式(3-6)，故它在區(qū)間(0，2)內(nèi)是一個(gè)正交函數(shù)集。(2)因?yàn)閷?duì)于非零函數(shù)sint，有 即sint在區(qū)間(0，2)內(nèi)與cosnt正交。故函數(shù)集cosnt在區(qū)間(0，2)內(nèi)不是完備正交函數(shù)集。(3)當(dāng)ir時(shí)，對(duì)于任意整數(shù)，此式并不恒等于零。因此，根據(jù)正交函數(shù)集的定義，該函數(shù)

32、集cosnt在區(qū)間(0，)內(nèi)不是正交函數(shù)集。 由上例可以看到，一個(gè)函數(shù)集是否正交，與它所在區(qū)間有關(guān)，在某一區(qū)間可能正交，而在另一區(qū)間又可能不正交。另外，在判斷函數(shù)集正交時(shí)，是指函數(shù)集中所有函數(shù)應(yīng)兩兩正交，不能從一個(gè)函數(shù)集中的某n個(gè)函數(shù)相互正交，就判斷該函數(shù)集是正交函數(shù)集。四、常見的完備正交函數(shù)集(1)三角函數(shù)集在區(qū)間內(nèi)，有 式中，。 可見在區(qū)間內(nèi)，三角函數(shù)集對(duì)于周期為的信號(hào)組成正交函數(shù)集，而且是完備的正交函數(shù)集(其完備性在此不討論)。而函數(shù)集，也是正交函數(shù)集，但它們均不是完備的。(2)函數(shù)集在區(qū)間內(nèi)，對(duì)于周期為的一類周期信號(hào)來(lái)說(shuō)，也是一個(gè)完備的正交函數(shù)集。 (3)函數(shù)集在區(qū)間(-，)內(nèi)，對(duì)于有

33、限帶寬信號(hào)類來(lái)說(shuō)是一個(gè)完備的正交函數(shù)集。這里稱為抽樣函數(shù)。(4)沃爾什函數(shù)集Wal(k,t)在區(qū)間(0，1)內(nèi)，對(duì)于周期為1的一類信號(hào)來(lái)說(shuō)是一個(gè)完備的正交函數(shù)集。 圖3-2示出了前6個(gè)沃爾什函數(shù)波形。 (5)勒讓德多項(xiàng)式在區(qū)間(-1,+)內(nèi)構(gòu)成一個(gè)完備正交函數(shù)集，即此外，還有一些多項(xiàng)式也可構(gòu)成正交函數(shù)集，例如雅可比多項(xiàng)式、切貝雪夫多項(xiàng)式等。一個(gè)信號(hào)可以是能量信號(hào)同時(shí)又是功率信號(hào)嗎 ? 通常來(lái)講，能量信號(hào)就是功率信號(hào)。信號(hào)線和功率線可以復(fù)用。這個(gè)是可以的，有很多局域網(wǎng)路由器就可以直接把網(wǎng)絡(luò)的信息加到電腦的電源線上，這樣可以省去網(wǎng)線。這個(gè)是可行的，不少場(chǎng)合已經(jīng)在用了。電力線載波通信就是一個(gè)很好的實(shí)

34、例。我們現(xiàn)在廣泛使用的有線電話也是。電話機(jī)從電話線上獲得電能，同時(shí)通過(guò)電話線與交換機(jī)通信。功率譜密度和能量譜密度功率譜密度和能量譜密度一般用于分析那些信號(hào)處理？ 信號(hào)能量可求,相應(yīng)地可以定義能譜密度；信號(hào)能量不可求但功率可求,這時(shí)可以定義功率譜密度。一般來(lái)說(shuō),平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的能量不可求,平均功率可求，這時(shí)可用功率譜密度分析它,其功率譜密度的傅立葉反變換對(duì)應(yīng)的是隨機(jī)過(guò)程的相關(guān)函數(shù).確定性信號(hào)可以是功率信號(hào)(能量不可求但功率可求),也可以是能量信號(hào)(能量可求),這時(shí)可以分別用功率譜密度或者能譜密度分析.各自對(duì)應(yīng)的傅立葉反變換是確定性信號(hào)的相關(guān)函數(shù).能量信號(hào)是能量可求，可以參看ENGRYSINAL的公

35、式，一般為確定信號(hào)detrminsticsignal,而當(dāng)在頻譜中積分所得能量為INFIT時(shí)，我們需要用PSD,即功率譜來(lái)分析，這就是功率信號(hào)的分析角度， 一般為一個(gè)隨機(jī)信號(hào)，可以設(shè)想一個(gè)WHIOIEIGL。給出能譜密度和功率譜密度（PSD）的數(shù)學(xué)表達(dá)，就比較清楚了，求能量譜，必須是能量在無(wú)窮時(shí)間內(nèi)可積，那么單獨(dú)一個(gè)頻譜分量的能量大小作為能譜密度，而對(duì)隨機(jī)信號(hào)，在無(wú)窮時(shí)間內(nèi)能量非可積，不能用能譜密度，那么把能量再除以無(wú)窮時(shí)間，得到它的功率譜，就可以分析這樣的能量不可積的信號(hào)了。一、能譜密度設(shè)x(t)是確定性的復(fù)連續(xù)信號(hào)，若其絕對(duì)可積或其能量有限，即：則x(t)的連續(xù)傅氏變換存在。 根據(jù)Pars

36、eval能量定理，有：由上式可見，信號(hào)能量E等于信號(hào)頻譜模值平方在整個(gè)頻域上的積分，故稱為信號(hào)的能譜密度。當(dāng)x(t)為廣義平穩(wěn)過(guò)程時(shí)，其能量通常是無(wú)限的，則需研究其功率的頻域上的分布，即功率密度。對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，譜分析是采用自相關(guān)函數(shù)：Wienr-Kichine定理將自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度聯(lián)系起來(lái)：離散形式為平穩(wěn)、零均值序列；其自相關(guān)(協(xié)方差)函數(shù)為：若有： 則功率譜密度為：是以0對(duì)稱，周期為2?。反變換為：其自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)由時(shí)間平均函數(shù)給出：功率信號(hào)、能量信號(hào)及其功率譜與能量譜一、功率信號(hào)和能量信號(hào)為了知道信號(hào)能量或功率的特性，常常研究信號(hào)(電流或電壓)在一單位電阻上所消耗的能量或功率。

37、 信號(hào)在一單位電阻上的瞬時(shí)功率為，在區(qū)間內(nèi)能量為在區(qū)間內(nèi)的平均功率為 信號(hào)的能量定義為在時(shí)間區(qū)間內(nèi)信號(hào)的能量，記為信號(hào)的功率定義為在時(shí)間區(qū)間內(nèi)信號(hào)的平均功率，記為 1. 能量信號(hào)若信號(hào)的能量為有限值，即(此時(shí)) 則信號(hào)稱為能量有限信號(hào)，簡(jiǎn)稱為能量信號(hào)。例如非周期脈沖信號(hào)等。2. 功率信號(hào)若信號(hào)的功率為有限值，即(此時(shí)) 則信號(hào)稱為功率有限信號(hào)，簡(jiǎn)稱為功率信號(hào)。所有周期信號(hào)都是功率信號(hào)，在時(shí)仍有數(shù)值的一類非周期信號(hào)也是功率信號(hào)，例如等。此外，還有一些非功率非能量的信號(hào)，例單位斜坡信號(hào)等。二、功率頻譜 對(duì)于周期信號(hào)，因由式(3-29)可知所以對(duì)周期信號(hào)可以用功率振幅頻譜描述其功率的頻率特性。對(duì)于非

38、周期功率信號(hào)，可定義一個(gè)功率密度函數(shù)，即單位頻率的信號(hào)功率。從而信號(hào)的總功 率為若信號(hào)的頻譜函數(shù)為，則由帕塞瓦爾定理 可知比較式(3-86)和式(3-87)，有 所以對(duì)于非周期功率信號(hào)可用功率密度函數(shù)描述其功率的頻率特性，并稱之為功率譜函數(shù)。功率譜是的偶函數(shù)，它僅取決于頻譜函數(shù)的模量，而與相位無(wú)關(guān)，單位為瓦秒()。對(duì)于周期信號(hào)，很容易求得其功率譜:。 三、能量頻譜對(duì)于能量信號(hào)，同樣可用密度的概念表示信號(hào)能量在各頻率點(diǎn)的分布情況，即定義單位頻率內(nèi)的信號(hào)能量為能量密度函數(shù)，記為，從而信號(hào)的總能量為 若信號(hào)f(t)的頻譜函數(shù)為F(j)，由帕塞瓦爾定理，有因此 故對(duì)于能量信號(hào)可用能量密度函數(shù)描述其能量的頻率特性，并稱之為能量譜函數(shù)。能量譜只與信號(hào)的有關(guān)，而與相位無(wú)關(guān)，單位為焦/赫()。由以上討論可知，信號(hào)的功率或能量既可在時(shí)域內(nèi)求得，也可以在頻域內(nèi)求得。它反映能量守恒定理在信號(hào)分析中的體現(xiàn)，也是信號(hào)的時(shí)域特性與頻域特性的一個(gè)重要關(guān)系。 例3-21求信號(hào)的能量。解:由式(3-54)可知，對(duì)于單位矩形脈沖信號(hào)當(dāng)時(shí)，，根據(jù)傅里葉變換對(duì)稱性，有 有，又 所以，利用頻域卷積定理，得 故信號(hào)的能量為