數(shù)學(xué)分析課件PPT之第二章數(shù)列極限.ppt

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1、第二章 數(shù)列極限 2.1 數(shù)列極限的概念 2.2 收斂數(shù)列的性質(zhì) 2.3 數(shù)列極限存在的條件 2.1 數(shù)列極限的概念 一、概念的引入 二、數(shù)列的定義 三、數(shù)列的極限 四 、應(yīng)用數(shù)列極限的定義證明數(shù)列極 限的方法 一、概念的引入 引 例 1 如何用漸近的方法求圓的面積 S？ 用圓內(nèi)接正多邊形的面積近似圓的面積 S. A1 23 A1表示圓內(nèi)接正 6邊形面積 , A2表示圓內(nèi)接正 12邊形面積 , A3表示圓內(nèi)接正 24邊形面積 , An表示圓內(nèi)接正 62n-1邊形面積 , , . 顯然 n越大 , An越接近于

2、S. 因此 , 需要考慮當(dāng) n時 , An的變化趨勢 . 2、截丈問題： “一尺之棰，日截其半，萬世不竭” ;211 X第一天截下的杖長為 ;2 121 22 X為第二天截下的杖長總和 ;2 12 121 2 nnXn 天截下的杖長總和為第 nnX 2 11 1 二、數(shù)列的定義 定義 : 按自然數(shù) ,3,2,1 編號依次排列的一列數(shù) ,,,, 21 n xxx (1 ) 稱為 無窮數(shù)列 , 簡稱 數(shù)列 . 其中的每個數(shù)稱為數(shù) 列的 項 , n x 稱為 通項 ( 一般項 ) . 數(shù)列 (1 ) 記為 n x . 例如 ;,2,,8,4,2

3、 n ;,21,,81,41,21 n 2 n 21 n 注意： 1.數(shù)列對應(yīng)著數(shù)軸上一個點列 .可看作一 動點在數(shù)軸上依次取 .,,,, 21 nxxx 1x 2x3x 4x nx 2.數(shù)列是整標(biāo)函數(shù) ).( nfx n ;,)1(,,1,1,1 1 n 1( 1 ) n ;,)1(,,34,21,2 1 nn n )1( 1 n n n ,333,,33,3 數(shù)列極限來自實踐，它有豐富的實 際背景 .我們的祖 先很早就對數(shù)列 進行了研究，早在戰(zhàn)國時期就有了 極限的概念 例 1 戰(zhàn)國時代哲學(xué)家莊周所著的 莊子 .天下篇 引用 過一句

4、話：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭?！币?就是說一根一尺 長的木棒，每天截去一半，這樣的過 程可以一直無限制的進行下去。將每天截后的木棒排 成一列 , 如圖所示 , 三、數(shù)列的極限 （ c11(k)） 其長度組成的數(shù)列為 n2 1 , 0 2 4 6 8 10 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 隨著 n 無限的增加 , 木棒的長度無限的趨近于零。 例如 當(dāng) n無限增大時 , 如果數(shù)列 xn的一般項 xn無限接近 于常數(shù) a, 則常數(shù) a稱為數(shù)列 xn的極限 , 或稱數(shù)列 xn收 斂 a, 記為 ax nn lim . 數(shù)列極限的通俗定義 11li

5、m nnn , 021lim nn , 1)1(lim 1 nn nn . 11lim nnn , 021lim nn , 1)1(lim 1 nn nn . 問題 : 當(dāng) 無限增大時 , 是否無限接近于某一 確定的數(shù)值 ?如果是 ,如何確定 ? nxn .1)1(1, 1 無限接近于無限增大時當(dāng) nxn n n 問題 : “無限接近”意味著什么 ?如何用數(shù)學(xué)語言 刻劃它 . 1nx nnn 11)1( 1 通過上面演示實驗的觀察 : ,1001給定 ,10011 n由 ,1 00 時只要 n ,10011 nx有 ,10001給定 ,1000 時只要

6、n ,10000 11 nx有,100001給定 ,10 00 0 時只要 n ,100011 nx有 ,0給定 ,)1( 時只要 Nn .1 成立有 nx 當(dāng) n無限增大時 , xn無限接近于 a . 當(dāng) n無限增大時 , |xna|無限接近于 0 . 當(dāng) n無限增大時 , |xna|可以任意小 , 要多小就能有多小 . 當(dāng) n增大到一定程度以后 , |xna|能小于事先給定的任意 小的正數(shù) . 分析 因此 , 如果 n 增大到一定程度以后 , |xna|能小于事先 給定的任意小的正數(shù) , 則當(dāng) n無限增大時 , xn無限接近于常 數(shù) a. 當(dāng) n無限增大時 , 如

7、果數(shù)列 xn的一般項 xn無限接近 于常數(shù) a, 則數(shù)列 xn收斂 a. 下頁 數(shù)列極限的精確定義 設(shè) xn為一數(shù)列 , 如果存在常數(shù) a, 對于任意給定的正 數(shù) , 總存在正整數(shù) N, 使得當(dāng) nN 時 , 不等式 |xna |N A A nx n 目的： AxA NnN Ax n nn ,0l i m 時，有使得自然數(shù) 要找到一個 N A A A 越 來 越 小 ， N越 來 越 大！ nx n 數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法 . 例 1 .1)1(lim 1 n n n n 證明 證 1nx

8、 1 )1( 1 n n n n 1 ,0任給 ,1 nx要 ,1 n只要 ,1n或 所以 , ,1N取 ,時則當(dāng) Nn 1)1( 1 n n n就有 .1)1(lim 1 n n n n 即 注意： 分析 : 例 1 例 1 . 證明 1)1(lim 1 n n n n . 證明 | x n 1| nnn n 1|1)1(| 1 , 所以 1)1(lim 1 nn nn . 下頁 證明 因為 0 , 1 N N , 當(dāng) n N 時 , 有 證明 因為 0 , 1 N N , 當(dāng) n N

9、時 , 有 證明 因為 0 , 1 N N , 當(dāng) n N 時 , 有 ax nn lim 0, NN, 當(dāng) nN時 , 有 |xna| . 對于 0 , 要使 | x n 1| , 只要 n1 , 即 1n . | x n 1| nnn n 1 |1)1(| 1 . 對于 0 , 要使 | x n 1| , 只要 n1 , 即 1n . 利用定義驗證數(shù)列極限，有時遇到的不等式 |xn a| 不易考慮，往往采用把 |xn a|放大的方法。 若能放大到較簡單的式子，就較容易從一個比較簡單 的不等式去尋找項數(shù)指標(biāo) N 放大的原

10、則： 放大后的式子較簡單 放大后的式子以 0為極限 例 2 證明 1lim 22 n ann 證明 1|1| 22 n anx n )( 22 2 nann a n a n 21 )1( 2 2 n aan 則若 0故 ,1m a x 2aN 則當(dāng) n N時，有 n a nn an 222 11 n1 1lim 22 n an n 例 3. 證 明 分析 ， 要使 （ 為簡 化 ， 限定 n 只要 證 . 當(dāng) n N 時有 由定 義

11、 適當(dāng)予先限定 n n。是允 許 的！但最后取 N 時 要保 證 n n。 343l i m 2 2 n n n nnn n 12412343 22 2 12n 3 3,12m ax,0 N取 nnn n 12412343 22 2 343l i m 2 2 n n n . 例 4.證 明 （ K為 正 實 數(shù)） 證 ：由于 所以對任意 0，取 N= , 當(dāng) n N時 , 便有 01lim kn n kk nn 101 k 1 1 0 1 kn 01l i m kn n 例 5 .lim

12、),( CxCCx n nn 證明為常數(shù)設(shè) 證 Cxn CC ,成立 ,0任給 所以 , 0 ,n對于一切自然數(shù) .li m Cx nn 說明 :常數(shù)列的極限等于同一常數(shù) . 小結(jié) : 用定義證數(shù)列極限存在時 ,關(guān)鍵是任意給 定 尋找 N,但不必要求最小的 N. ,0 例 6 .1,0lim qq nn 其中證明 證 ,0任給 ,0 nn qx ,lnln n ,lnln qN 取 ,時則當(dāng) Nn ,0 nq就有 .0lim nn q ,0q若 ;00limlim nnn q則 ,10 q若 ,lnln qn 例 7 .lim ,0lim,0 ax axx

13、nn nnn 求證 且設(shè) 證 ,0任給 .lim ax nn 故 ,lim ax nn ,1 axNnN n時恒有使得當(dāng) ax axax n n n 從而有 a ax n a 1 由上面數(shù)列極限的證明可總結(jié)出數(shù)列 極限證明的步驟： aa n 2 適當(dāng)放大 aa n ，通常放大成 n Maa n 的形式 nM ， 求出需要的 N 1 化簡 3 解 總結(jié) 用定義求極限或證明極限的關(guān)鍵是適當(dāng)放大不等 式，關(guān)鍵的追求有兩點，一是把隱性表達式變成顯性表 達式，在重鎖迷霧中看清廬山真面目，二是抓住主要矛 盾，舍去次要矛盾；要取舍合理，不能放大得過份。 四 收

14、斂的否定 : aa n n l i m 數(shù)列 na 發(fā)散 0 0 0 , 0 , n aN aa 0 n N , 有 0 0 0 0, n N aa 0n N, 有 五 數(shù)列極限的記註 : 1 滿足條件 “ ”的 數(shù)列 : 。 2 axNnNa n ,0 , , , l i mnnna a a 改變或去掉數(shù)列的有限項 , 不影響數(shù)列的 收斂性和極限 . 重排不改變數(shù)列斂散性 :

15、3 數(shù)列極限的等價定 義 : )0( , , , ,0 :1 kkaaNnN n D :2D 對 0 , c 3 :D 對 仸正整數(shù) .1 , , , maaNnNm n , , , nN n N a a 六 無窮小數(shù)列 : 定義 極限為 0的數(shù)列稱為無窮小量（無窮小量是指一個 極限概念，趨向常數(shù) 0） nx nx n 命題 1. 的極限為 n 是無窮小量 . 0 axyax nnn )( nn yax a a 變量有極限 的充要條件為它可分解為 加一個無窮小量。 命題 2 00 nn xx 無窮

16、小量加絕對值仍為無窮小量 。 命題 3 0,0 nnnn yxMyx無窮小量與有界變量的積仍為無窮小量。 命題 4 小結(jié) (1), 數(shù)列極限的定義 ; (2), 數(shù)列極限的幾何意義 ; (3), 應(yīng)用數(shù)列極限的定義證明數(shù)列極限的方法 . 2.2 收斂數(shù)列的性質(zhì) 1、唯一性 2、 有界性 3、保號性 4、保不等式性 5、四則運算 6、迫斂性 7、子數(shù)列的收斂性 1、唯一性 定理 2.2 每個收斂的數(shù)列只有一個極限 . 證 ,lim,lim bxax nnnn 又設(shè) 由定義 , 使得.,,0 21 NN ;1 axNn n時恒有當(dāng) ;2 bxNn

17、 n時恒有當(dāng) ,,m a x 21 NNN 取 時有則當(dāng) Nn )()( axbxba nn axbx nn .2 .時才能成立上式僅當(dāng) ba 故收斂數(shù)列極限唯一 . 2、 有界性 定義 : 對數(shù)列 nx , 若存在正數(shù) M , 使得一切自 然數(shù) n , 恒有 Mx n 成立 , 則稱數(shù)列 nx 有界 , 否則 , 稱為無界 . 例如 , ;1 n nx n數(shù)列 .2 nnx 數(shù)列 數(shù)軸上對應(yīng)于有界數(shù)列的點 nx 都落在閉區(qū)間 , MM 上 . 有界 無界 定理 2.3 收斂的數(shù)列必定有界 . 證 ,li m ax nn 設(shè) 由定義 , ,1取 ,1, axNnN n

18、時恒有使得當(dāng)則 .11 axa n即有 ,1,1,,,m ax 1 aaxxM N記 ,, Mxn n 皆有則對一切自然數(shù) .有界故 nx 注意： 有界性是數(shù)列收斂的必要條件 . 推論 無界數(shù)列必定發(fā)散 . 例 1 .)1( 1 是發(fā)散的證明數(shù)列 nnx 證 ,li m ax nn 設(shè) 由定義 , ,21對于 ,21,, 成立有時使得當(dāng)則 axNnN n ),21,21(, aaxNn n時即當(dāng) 區(qū)間長度為 1. ,1,1 兩個數(shù)無休止地反復(fù)取而 nx 不可能同時位于 長度為 1的 區(qū)間內(nèi) . .,, 但卻發(fā)散是有界的事實上 nx 3保序性 定理 2. 4 給定兩個序

19、列 nx ， ny ，若 n ， nn yx 且 ax nn lim ， by nn lim ，則 ba . 證 反證法，如若不然， ba ，取 20 ba ， 由 ax n n lim ， 0 ax n 20 baax n 又由 by nn lim ， 2N ，使得當(dāng) 2Nn 時，有 0 by n 20 baby n 1N ，使得當(dāng) 1Nn 時，有 定理 2.5 （保序性）設(shè) l im , l im , nnnn a a b b 若 ab ， 則存在 N 使得當(dāng) Nn 時有 nn ba . 證：取 02 ba ，則存在 1N ，當(dāng) 1Nn

20、 時 2|| baaa n 從而 22 babaaa n 又存在 2N ，當(dāng) 2Nn 時 2|| babb n 22 bababb n 當(dāng) ),m ax ( 21 NNn 時 nn abab 2 . 定理 2.6 (收斂數(shù)列的保號性 ) 如果數(shù)列 xn收斂于 a, 且 a0(或 a0), 那么存在正整 數(shù) N, 當(dāng) nN時 , 有 xn0(或 xn0). 證明：由 0l i m ax nn ，取 020 a ， N ， 當(dāng) n N 時， ,2 2 2nn a a ax a x a .有 4 保號性 推論 如果數(shù)

21、列 xn從某項起有 xn0(或 xn0), 且數(shù)列 xn收斂于 a, 那么 a0(或 a0). 這說明若數(shù)列 收斂且極限不為零，則當(dāng) n充分大時， 與 0的距離不能任意小 .這一 事實在后面討論極限的四則運算時會用到 . nx nx nx 定 理 2. 7 如果數(shù)列 nn yx , 及 n z 滿足下列條件 : ,lim,lim)2( )3,2,1()1( azay nzxy n n n n nnn 那末數(shù)列 n x 的極限存在 , 且 ax n n lim . 證 ,, azay nn 使得,0,0,0 21 NN 5 迫斂性 ( 雙逼原理 ) ,1

22、 ayNn n時恒有當(dāng) ,2 azNn n時恒有當(dāng) ,,m a x 21 NNN 取 上兩式同時成立 , , aya n即 , aza n 恒有時當(dāng) ,Nn , azxya nnn ,成立即 ax n .lim ax nn 上述數(shù)列極限存在的準(zhǔn)則可以推廣到函數(shù)的極限 例 2 ).12111(lim 222 nnnnn 求 解 ,1111 2222 n nnnnnn n n nn n nn 1 1 1limlim 2 又 ,1 2 2 1 1 1lim 1 lim n n n nn ,1 由夾逼定理得 .1)12111(lim 222 nnnnn 6

23、絕對值 收 斂 性 : . l i m ,l i m aaaa nnnn ( 注意反之不成立 ). .0 l i m ,0l i m nnnn aa 推論 設(shè) 數(shù)列 na 和 nb 收 斂 , 則 .l i m , l i m m i n , m i n l i m , l i m , l i m m a x , m a x l i m n n n n nn n n n n n nn n baba baba 7數(shù)列極限的四則運算法則 ( 1 ) BAyx nnn )(lim ( 2 ) B

24、Ayx nnn )(lim ( 3 ) 當(dāng) 0ny ( n 1 , 2 , ) 且 B 0 時 , BAyx n n n lim . 定理 2.8 設(shè)有數(shù)列 xn和 yn. 如果 Ax n n lim , By n n l i m , 那么 例 5 求 l im ( 1 ) n n n n l i m 1 n nn a a 例 4 求 解： 分 a=1， |a|1 三種情況 解 ：（分子有理化） 10 10 l im m m kn k a n a n a b n b n b 例 3 求 8、子數(shù)列的收斂性 的子數(shù)列（或子列

25、）的一個數(shù)列稱為原數(shù)列 到中的先后次序，這樣得這些項在原數(shù)列 保持中任意抽取無限多項并定義：在數(shù)列 n n n x x x ,,,,, 21 ni xxxx ,,,, 21 knnn xxx . kk k nn n n k k x x k x x n n k 在 子 數(shù) 列 中 ， 一 般 項 是 第 項 ， 而 在 原 數(shù) 列 中 卻 是 第 項 ， 顯 然 ， 注意： 例如， 定理 7 收斂數(shù)列的任一子數(shù)列也收斂且極限相 同 證 的任一子數(shù)列是數(shù)列設(shè)數(shù)列 nn xx k ,lim ax nn .,,0,0 axNnN n恒有時使 ,NK 取 ,時則當(dāng) Kk

26、 . k K Nn n n N . ax kn .lim ax knk 證 畢 例 6 對于數(shù)列 xn )(2 kax k若 )(12 kax k )( nax n則 證 0 知由 ax kk 2lim 時，有使當(dāng) 11 , KkK || 2 ax k 知再由 ax kk 12lim 時，有使當(dāng) 22 , KkK || 12 ax k 12,2m a x 21 KKN取 時則當(dāng) Nn 11222 KmKmmn 則若 此時有 |||| 2 axax mn 22 121212 KmKmmn 則若 此時有 |||| 12 axax mn 總之： 0 N 時

27、使當(dāng) Nn 恒有 || ax n ax n n lim即 )( ),()( || nax qpaNBA BqxApxx n qpn 則 趨于同一極限值其中 與：若子數(shù)列對數(shù)列 Th ( 數(shù)列收 斂 充要條件 ) na 收 斂 na Th ( 數(shù)列收 斂 充要條件 ) na 收 斂 子列 12 na 和 na2 收 斂 于同一極限 . 的任何子列收斂 于同一極限 . Th ( 數(shù)列收 斂 充要條件 ) na 收 斂 子列 12 ka 、 ka2 3 ka都收 斂 .

28、 和 思考題 指出下列證明 1lim n n n 中的錯誤 證明 要使 ,1 n n 只要使 )1ln(ln1 nn 從而由 2ln )1ln(ln )1ln(1 nn 得 ,0 取 1)1ln( 2ln N 當(dāng) 時，必有 成立 Nn 10 n n 1lim nn n 思考題解答 1n n )1ln(ln1 nn （等價） 證明中所采用的 2ln )1ln(ln )1ln(1 nn 實際上就是不等式 )1ln(ln2ln n nn 即證明中沒有采用“ 適當(dāng)放大 ” 的值 nnln 從而

29、 時， 2ln )1ln( Nn 僅有 成立， )1ln(2ln n 但不是 的充分條件 )1ln(ln n n 反而縮小為 n2ln 小結(jié) (1), 唯一性 ; (2), 有界性 ; (3), 保號性 ; (4), 四則運算法則 ; (5), 不等式性 ; (6), 收斂數(shù)列與其子列的關(guān)系 . 2.3 數(shù)列極限存在的條件 一 數(shù)列收斂的一個充分條件 單調(diào)有界原理 二 數(shù)列收斂的充要條件 Cauchy收斂準(zhǔn)則 三 關(guān)于極限 四 數(shù)列

30、 單調(diào)有界證法欣賞 :11l i m en n n n n 11 一 單調(diào)有界原理 定義 稱為單調(diào)上升的，若 nx nxxxx 321 nx 稱為單調(diào)下降的，若 nxxxx 321 單調(diào)增加和單調(diào)減少數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列 . 提問 : 收斂的數(shù)列是否一定有界 ？ 有界的數(shù)列是否一定收斂 ？ M 定理 1(單調(diào)有界定理 ) 單調(diào)有界數(shù)列必有極限 . 定理 1的幾何解釋 x1 x5 x4 x3 x2 xn A 以單調(diào)增加數(shù)列為例 , 數(shù)列的點只可能向右一個方向

31、移 動 , 或者無限向右移動 , 或者無限趨近于某一定點 A, 而對有界 數(shù)列只可能后者情況發(fā)生 . 數(shù)列極限存在的條件 數(shù)列極限存在的條件 定理 1(單調(diào)有界定理 ) 單調(diào)有界數(shù)列必有極限 . .為有上界的遞增數(shù)列不妨設(shè) na .s u p,, nn aaa 記有上界數(shù)列由確界原理 .的極限就是下證 naa .,,,0 NnN aaaa， 使得按上確界定義事實上 證明 ., nNn aaaNna 時有當(dāng)?shù)倪f增性又由 .,, aaaaaa nnn 都有故的一個上界是而 . aaaNn n時有所以當(dāng) .lim aa n n 即 .數(shù)列必有極限同理

32、可證有下界的遞減 例 1 設(shè) ). 2 ( ,1 3 1 2 11 na n 證明數(shù)列 收斂 . na 例 2 例 3 222 , ,22 ,2 21 naaa (n重根號 ), 證明數(shù)列 na 單調(diào)有界 , 并求極限 . . 2 1 .0 ,0 11 n nn x axxxa 求 .lim nn x ( 計算 a 的逐次逼近法 , 亦即迭代法 ). 解 由均值不等式 , 有 n nn x axx 2 1 1 . n n n xax ax 有下界 ; 注意到對 ,n 有 ,ax n 有 n

33、 nn n x a a x a x x .1 ) ( 1 2 11 2 1 22 1 , .l i m ax n n 例 4 1）證明序列 nnx n ln131211 的極限存在； 2）求極限 1)1(31211l i m 1 nn n 解 1） 因 1x 時有 xxxx )1l n (1 )0( x 所以 kkk 1)11l n ( 1 1 ），， 21( k 即有 n k n k n nnnknkx 11 0ln)1l n (ln)11l n (ln1 011)11l n (11ln)1l n (1 nn

34、nnnxx nn 故序列 nx 下降。因此序列極限存在，記極限 值為 c。于是 n k ncnk 1 ln1 這表明序列 nx 有下界。又 或 n k nnck 1 ln1 )0l i m( nn 2） 因 nn nn n k n k n k k ncnc kkk 2 2 1 2 1 2 1 1 2ln ln)2l n ( 2 1 2 1)1( 所以 2ln)1(l i m 2 1 1 n k k n k 又 2ln)1(l i m 12 1 1 n k k n k 即得 2ln)1(l i m 1 1

35、n k k n k 二 數(shù)列收斂的充要條件 Cauchy收斂準(zhǔn)則 1 Cauchy列： 如果數(shù)列 具有以下特性： 則稱數(shù)列 是一個基本數(shù)列 .（ Cauchy列） 2 Cauchy收斂準(zhǔn)則： 定理 數(shù)列 收斂的充要條件是： 是一個基本數(shù)列 . 數(shù)列 收斂 或 定理 （ 柯西收斂準(zhǔn)則 ） 數(shù)列 nx 收斂的充分必要條件 是 0 ， N ，當(dāng) Nmn , 時，有 mn xx 。 證明 ：必要性。 則 0 ， NN ， Nn ， Nm 時， 若 nx 收斂于 a ，設(shè) ax nn l i m ， 有 2 ax n ， 2 ax m ， 故 2

36、2 axaxxaaxxx mnmnmn 。 充分性的證明從略。 柯西收斂準(zhǔn)則也可敘述為 數(shù)列 nx 收斂 0 ， NN ， Nn 時， Np ，有 npn xx 。 柯西收斂準(zhǔn)則表明，數(shù)列收斂等價于數(shù)列中充分遠 （即 n 充分大）的任意兩項的距離能夠任意小?？挛魇諗?準(zhǔn)則的優(yōu)點在于它不需要借助數(shù)列以外的任何數(shù)，只須根 據(jù)數(shù)列自身各項之間的相互關(guān)系就能判別該數(shù)列的斂散性。 數(shù)列極限存在的條件 定理的幾何解釋 柯西準(zhǔn)則說明收斂數(shù)列各項的值越到后邊 ,彼 此越是接近 ,以至充分后面的任何兩項之差的絕對 值可小于預(yù)先給定的任意小正數(shù) .或形象地說 ,收 斂

37、數(shù)列的各項越到后面越是擠在一起 . x1 x2 x3 x4 x5 例 5 證明 : 任一無限十進小數(shù) 的不足近似值所組成的數(shù)列 收斂 . 其中 是 中的數(shù) . 證 令 na 有 例 6 利用柯西收斂準(zhǔn)則證明數(shù)列 n k kn kx 1 2s i n 收斂。 證明： Npn , ， 有 pnnnnpn pnnn xx 2 )s i n ( 2 )2s i n ( 2 )1s i n ( 21 ) 2 1 2 1 2 11( 2 1 2 1 2 1 2 1 12121 pnpnnn . 2 1 ) 2 1 1( 2 1 2 1

38、1 2 1 1 2 1 1 npn p n 0 ， 1l o g 2N ， Nn 時，有 npn xx 。 數(shù)列 n k kn k x 1 2 s i n 收斂。 例 7 證明：若 nnn cxx 1 ，且 nn cccs 21 ， 而數(shù)列 ns 收斂，則數(shù)列 nx 也收斂。 證明 ：已知數(shù)列 ns 收斂，根據(jù)柯西收斂準(zhǔn)則， 0 ， NN ， Nn 時， Np ，有 1111 pnnnnpn cccss ， npn xx 1121 pnpnnnnn xxxxxx 11 pnnn ccc

39、 ， 數(shù)列 nx 也收斂。 nnnpnpnpn xxxxxx 1111 三 . 關(guān)于極限 （證明留在下段進行 .） 例 8 例 9 例 10 四 數(shù)列 證法一 單調(diào)有界證法欣賞 : Cauchy (1789 1857 ) 最先給出這一極限， Riemann（ 1826 1866）最先給出以下證法一 . 設(shè) 用二項式展開，得 注意到 且 比 多一項 即 . 有界 . 綜上 , 數(shù)列 單調(diào)有界 . 評註 : 該證法樸素而穩(wěn)健 , 不失大師風(fēng)度 . 證法二 ( 利用 Bernoulli不等式 ) 注意到 Bernoulli不等式 ( 1 ) 1

40、, ( 1 , nx n x x n 為正整數(shù) ), 有 n n n n n n x x 1 1 1 1 1 1 1 n n n n 1 1 1 1 1 1 1 1 n nn nn n 12 2 1 1 1 2 2 , )1( 1 1 1 1 1 2 n nn 由 ,1 )1( 1 2 n 利用 Bernoulli 不等式 , 有 .1 133 233 )1( 1 1 1 1 23 23 2 1

41、 nnn nnn n n nx x n n n x . 為證 n x 上方有界 , 考 慮 數(shù)列 . 1 1 1 n n n y 可 類證 n y . 事 實 上 , 1n n y y 2 1 1 1 1 1 1 n n n n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n 1 2 2 2 12 2 1 n nn nn n n nn n n n nnn n n 2 1 1 2

42、1 2 1 1 2 1 2 1 2 n y nnn nnn ,1 44 144 23 23 . 顯 然有 , . nyx nn 有 .4 1 yyx nn 即數(shù)列 n y 有上界 . 評 註 : 該證 法的特點是驚而無 險 ，恰到好 處 . 證 法三 ( 利用均 值 不等式 ) 在均 值 不等式 )0( , 1 1 21 i n i i n n aa n aaa 中 , 令 ,1 , 1 1 1 121 nn a n aaa 就有 , 1 1 1 11 1 1 1)1( 1

43、1 1 1 1 1 1 n n n n n n n n x n nn n nn x , 1 nn xx 即 n x . 令 ,1 , 1 1 1 121 nn a n aaa 可仿上 證 得 3n 時 n n 1 1 。 ( 1n 時 無意 義 , 2n 時諸 i a = 0 , 不能用均 值 不等式 . ) 當(dāng) 2n 時 , 由 . 1 1 11 1 ,1 1 1 1 1 1 1 2 n nnnn

44、 . 1 1 11 1 n n n n 由 n n 1 1 n n 1 1 1 . 2 2 1 1 1 n x 證 法四 ( 仍利用均 值 不等式 ) 個n n nnnn 1 1 1 1 1 1 1 1 , . 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 11 1 nn nn n xx nn n n

45、n n 即 n x . “ 均 值 不等式妙用兩 則 ” . 證 法五 先 證 明： 對 ba 0 和正整數(shù) n ，有不等式 .)1( 11 n nn bn ab ab 事 實 上， ab abaabbab ab ab nnnnnn 1111 )(( nnnn abaabb 11 < .)1( n bn 該 不等式又可 變 形 為 ,)1( 1 nn anbanb ( nba ,0 為 正整數(shù) ) 在此不等式中 , 取 , 1 1 , 1 1 1 n b n a 則 有 ,0 ba 就有 n nn x nn , 1 1 1 1 1 1 . 取 , 2 1 1 ,1 n ba 又有 1 2 1 2 1 1 n n 對 n 成立， ,2 2 1 1 n n .4 2 1 1 2 2 n n n x 小結(jié) (1), 單調(diào)有界定理 ; (2), 單調(diào)有界定理的幾何意義 ; (3), 柯西收斂準(zhǔn)則 ; (4), 柯西收斂準(zhǔn)則的幾何解釋 .