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1、七年級數(shù)學 下 新課標 人 第八章 二元一次方程組 學習新知 檢測反饋 8.4 三元一次方程組的解法 小明手頭有 12張面額分別為 1元、 2元、 5元的紙幣 ,共計 22元 ,其中 1元紙幣的數(shù)量 是 2元紙幣數(shù)量的 4倍 ,求 1元、 2元、 5元紙 幣各多少張 . 想一想 學 習 新 知 1.為解決前面的問題 ,如果我們設 1元、 2元、 5元 的紙幣分別為 x張、 y張、 z張 ,可以建立哪些方程呢 ? 想一想 x+y+z=12， x+2y+5z=22， x=4y. 2.怎樣才能保證各個方程中的未知數(shù)取值都一 樣呢 ? 12 2 5 22
2、4 x + y + z = , x + y + z = , x = y . 含有三個未知數(shù) ,每個方程中含未知數(shù)的項的次 數(shù)都是 1,并且一共有三個方程 ,像這樣的方程組叫做三 元一次方程組 . 想一想 3.什么是三元一次方程組 ? 12 2 5 22 4 x + y + z = , x + y + z = , x = y . 知識拓展 本節(jié)常出現(xiàn)的錯誤是對三元一次方程的 概念理解不準確 ,其表現(xiàn)形式有兩種 :一種 是把“含未知數(shù)的項的次數(shù)為 1”理解為 “每個未知數(shù)的次數(shù)都是 1” ,誤認為 xy+z=0也是三元一次方程 ,另一種是遇到 含有字母系數(shù)的方程
3、時 ,容易忽略“未知數(shù) 的系數(shù)不等于零”這個隱含條件 ,如三元一 次方程 ax+y+z=6中 ,a0這個條件 . 三元一次方程組的解法 我們知道 ,二元一次方程組可以利用代入法或加減 法消去一個未知數(shù) ,化成一元一次方程求解 .那么能不能 用同樣的思路 ,用代入法或加減法消去三元一次方程組 的一個未知數(shù) ,把它化成二元一次方程組呢 ? 仿照前面學過的代入法 ,我們可以把 分別代入 , 得到兩個只含 y,z的方程 : 12 2 5 22 4 x + y + z = x + y + z = x = y . ， ， 5 12 6 5 22 y + z = y + z = .
4、 ， 思路總結(jié) : 從上面的分析可以看出 ,解三元一次方程組的基 本思路是 :通過“代入”或“加減”進行消元 ,把 “三元”化為“二元” ,使解三元一次方程組轉(zhuǎn)化為 解二元一次方程組 ,進而再轉(zhuǎn)化為解一元一次方程 . 這與解二元一次方程組的思路是一樣的 . 12 2 5 22 4 x + y + z = x + y + z = x = y . ， ， 5 12 6 5 22 y + z = y + z = . ， 例： 解三元一次方程組 : 解析 方程 只含 x,z,因此 ,可以由 消去 y,得到一個只含 x,z的方程 ,與方程 組成一個二元一次方程組
5、 . 3 4 7 2 3 9 57 .9 =8 x + z = x + y + z = x - y + z ， ， 3 4 7 11 10 35 x + z = x + z = . ， 解 : 3+ ,得 11x+10z=35 ， 與 組成方程組 解這個方程組 ,得 5 2 x= z = - . ， 把 x=5,z=- 2代入 ,得 2 5+3y- 2=9,所以 y= 1. 3 因此 ,這個三元一次方程組的解為 1 3 =- 2. 5x= y= ， ， 知識拓展 解三元一次方程組和解二元一次方程組 的方法一樣 ,都是消元 ,但是有些特殊
6、的三元 一次方程組可以用一些特殊的解法 ,解題時 要根據(jù)各方程的特點尋求比較簡單的解法 . 例： 在等式 y=ax2+bx+c中 ,當 x=- 1時 ,y=0;當 x=2 時 ,y=3;當 x=5時 ,y=60.求 a,b,c的值 . 解析 把 a,b,c看作三個未知數(shù) ,分別把已知的 x,y的 值代入原等式 ,就可以得到一個三元一次方程組 . 4 2 3 2 0 = 60.55 a - b + c = a + b + c = a + b + c ， ， 解 :根據(jù)題意 ,得三元一次方程組 : - ,得 a+b=1. - ,得 4a+b=10. 3 2
7、 a= = - . ， 與 組成二元一次方程組 解 這個方程組，得 1 10.4 a + b = a + b = ， 把 代入 ,得 c=- 5. 因此 即 a,b,c的值分別為 3,- 2,- 5. 3 2 a= b=- 5 3 2 =- . a= b = - c ， ， 知識拓展 (1)一般地 ,使三元一次方 程等號兩邊的值相等的 三個未知數(shù)的值 ,叫做三 元一次方程的解 ; (2)三元一次 方程組的三 個方程的公 共解 ,叫做三 元一次方程 組的解 ; (3)三元一次方程組的解是 三個數(shù) ,要將這三個數(shù)代入 方程組中的每一個方程進
8、行檢驗 ,只有這些數(shù)滿足方 程組中的每一個方程 ,這些 數(shù)才是這個方程組的解 . 課堂小結(jié) 用消元法解三元一次方程組的步驟 : 利用消元法消去一個未知數(shù) ,得到一個二元一 次方程組 ; 解這個二元一次方程組 ,求得兩個未知數(shù)的值 ； 將兩個未知數(shù)的值 ,代入原方程組中比較簡單 的一個方程 ,求得第三個未知數(shù)的值 ,把這三個 未知數(shù)的值寫在一起 ,就是所求三元一次方程 組的解 . 1.以 為解建立一個三元一次方程 ,不正確的 是 ( ) A.3x- 4y+2z=3 B. x- y+z=- 1 C
9、.x+y- z=- 2 D. - y- z=1 2 x13 檢測反饋 C 2 3 3 1 1 x= y= z = - ， ， 解析 :將 分別代入四個選項 ,只有 C選項的方程兩邊不 相等 . 3 1 1 x= y= z - ， ， 2.若方程 x+y+m=4,x- y- 2m=- 1和 x- 2m+2y=2 有公共解 ,則 x+y+m的值為 . 4 解析 :根據(jù)題意 解得 x+y+m=4.故填 4. 4, 2 1 , 2 2 2. x y m x y m x
10、m y 2, 1, 1. x y m 3.如圖 所示 ,在第一個天平上 ,砝碼 A的質(zhì)量等于砝碼 B加上砝 碼 C的質(zhì)量 ;如圖 所示 ,在第二個天平上 ,砝碼 A加上砝碼 B的質(zhì) 量等于 3個砝碼 C的質(zhì)量 .請你判斷 :1個砝碼 A與 個砝碼 C的質(zhì)量相等 . 2 解析 :此題可以分別設砝碼 A,B,C的質(zhì)量是 x,y,z.然后根據(jù)兩個天平平衡列 方程組 ,消去 y,得到 x和 z之間的關(guān)系即可 .設砝碼 A,B,C的質(zhì)量是 x,y,z.根據(jù) 題意 ,得 + ,得 2x=4z,x=2z.即 1個砝碼 A與 2個砝碼 C的 質(zhì)量相等 .故填 2. 3. x y z x y z ， 4.解方程組 3 2 13 27 2 =13 2. x + y + z = x + y + z = x + y - z ， ， 解 : + ,得 5x+5y=25. + 2,得 5x+7y=31. 與 組成方程組 解這個方程組 ,得 把 x=2,y=3代入 ,得 3 2+2 3+z=13,z=1. 5 5 =25 5 7 = 31 x + y x y . ，=2 =3. x y ， =2 =3 =1 x y z. ， ，
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