一階線性方程與常數(shù)變易法習(xí)題及解答

2.2 一階線性方程與常數(shù)變易法習(xí)題及解答 求下列方程的解 1．= 解： y=e (e) =e[-e()+c] =c e- ()是原方程的解。 2．+3x=e 解：原方程可化為：=-3x+e 所以：x=e (e e) =e (e+c) =c e+e 是原方程的解。 3．=-s+ 解：s=e(e ) =e() = e() = 是原方程的解。 4． ， n為常數(shù). 解：原方程可化為： 是原方程的解. 5．+= 解：原方程可化為：=- () = 是原方程的解. 6． 解： =+ 令 則 =u 因此：= （*） 將帶入 （*）中 得：是原方程的解. 13 這是n=-1時的伯努利方程。 兩邊同除以， 令 P(x)= Q(x)=-1 由一階線性方程的求解公式 = 14 兩邊同乘以 令 這是n=2時的伯努利方程。 兩邊同除以 令 P（x）= Q(x)= 由一階線性方程的求解公式 = = 15 這是n=3時的伯努利方程。 兩邊同除以 令 = P(y)=-2y Q(y)= 由一階線性方程的求解公式 = = 16 y=+ P(x)=1 Q(x)= 由一階線性方程的求解公式 = = c=1 y= 17 設(shè)函數(shù)(t)于∞<t<∞上連續(xù)，(0)存在且滿足關(guān)系式(t+s)=(t)(s) 試求此函數(shù)。 令t=s=0 得(0+0)=(0)(0) 即(0)= 故或 （1） 當(dāng)時 即 ∞,∞) (2) 當(dāng)時 = == = 于是 變量分離得 積分 由于，即t=0時 1=c=1 故 20.試證： （1）一階非齊線性方程（2 .28）的任兩解之差必為相應(yīng)的齊線性方程（2.3）之解； （2）若是（2.3）的非零解，而是（2.28）的解，則方程（2.28）的通解可表為，其中為任意常數(shù). （3）方程（2.3）任一解的常數(shù)倍或任兩解之和（或差）仍是方程（2.3）的解. 證明： （2.28） （2.3） （1） 設(shè)，是（2.28）的任意兩個解 則 （1） （2） （1）-（2）得 即是滿足方程（2.3） 所以，命題成立。 （2） 由題意得： （3） （4） 1）先證是（2.28）的一個解。 于是 得 故是（2.28）的一個解。 2）現(xiàn)證方程（4）的任一解都可寫成的形式 設(shè)是(2.28)的一個解 則 （4’） 于是 （4’）-（4）得 從而 即 所以，命題成立。 （3） 設(shè)，是（2.3）的任意兩個解 則 （5） （6） 于是（5）得 即 其中為任意常數(shù) 也就是滿足方程（2.3） （5）（6）得 即 也就是滿足方程（2.3） 所以命題成立。 21.試建立分別具有下列性質(zhì)的曲線所滿足的微分方程并求解。 （5） 曲線上任一點(diǎn)的切線的縱截距等于切點(diǎn)橫坐標(biāo)的平方； （6） 曲線上任一點(diǎn)的切線的縱截距是切點(diǎn)橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的等差中項； 解：設(shè)為曲線上的任一點(diǎn)，則過點(diǎn)曲線的切線方程為 從而此切線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為 即 橫截距為 ， 縱截距為 。 由題意得： （5） 方程變形為 于是 所以，方程的通解為。 （6） 方程變形為 于是 所以，方程的通解為。 22．求解下列方程。 （1） 解： = = = （2） P(x)= Q(x)= 由一階線性方程的求解公式 = = =