《一階線性方程與常數(shù)變易法習(xí)題及解答》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《一階線性方程與常數(shù)變易法習(xí)題及解答(14頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、2.2 一階線性方程與常數(shù)變易法習(xí)題及解答求下列方程的解1=解: y=e (e)=e-e()+c=c e- ()是原方程的解。2+3x=e解:原方程可化為:=-3x+e所以:x=e (e e) =e (e+c) =c e+e 是原方程的解。3=-s+解:s=e(e )=e()= e()= 是原方程的解。4 , n為常數(shù).解:原方程可化為: 是原方程的解.5+=解:原方程可化為:=- ()= 是原方程的解.6 解: =+令 則 =u因此:= (*) 將帶入 (*)中 得:是原方程的解.13這是n=-1時(shí)的伯努利方程。兩邊同除以,令 P(x)= Q(x)=-1由一階線性方程的求解公式 =14 兩邊
2、同乘以 令 這是n=2時(shí)的伯努利方程。兩邊同除以 令 P(x)= Q(x)=由一階線性方程的求解公式 = =15 這是n=3時(shí)的伯努利方程。兩邊同除以 令 = P(y)=-2y Q(y)= 由一階線性方程的求解公式 =16 y=+P(x)=1 Q(x)= 由一階線性方程的求解公式 = =c=1y=17 設(shè)函數(shù)(t)于t上連續(xù),(0)存在且滿足關(guān)系式(t+s)=(t)(s)試求此函數(shù)。令t=s=0 得(0+0)=(0)(0) 即(0)= 故或(1) 當(dāng)時(shí) 即 ,) (2) 當(dāng)時(shí) = = =于是 變量分離得 積分 由于,即t=0時(shí) 1=c=1故 20.試證: (1)一階非齊線性方程(2 .28)的
3、任兩解之差必為相應(yīng)的齊線性方程(2.3)之解; (2)若是(2.3)的非零解,而是(2.28)的解,則方程(2.28)的通解可表為,其中為任意常數(shù).(3)方程(2.3)任一解的常數(shù)倍或任兩解之和(或差)仍是方程(2.3)的解.證明: (2.28) (2.3)(1) 設(shè),是(2.28)的任意兩個(gè)解則 (1) (2)(1)-(2)得 即是滿足方程(2.3)所以,命題成立。(2) 由題意得: (3) (4)1)先證是(2.28)的一個(gè)解。于是 得故是(2.28)的一個(gè)解。2)現(xiàn)證方程(4)的任一解都可寫(xiě)成的形式設(shè)是(2.28)的一個(gè)解則 (4)于是 (4)-(4)得從而 即 所以,命題成立。(3)
4、設(shè),是(2.3)的任意兩個(gè)解則 (5) (6)于是(5)得 即 其中為任意常數(shù)也就是滿足方程(2.3)(5)(6)得 即 也就是滿足方程(2.3)所以命題成立。21.試建立分別具有下列性質(zhì)的曲線所滿足的微分方程并求解。(5) 曲線上任一點(diǎn)的切線的縱截距等于切點(diǎn)橫坐標(biāo)的平方;(6) 曲線上任一點(diǎn)的切線的縱截距是切點(diǎn)橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的等差中項(xiàng);解:設(shè)為曲線上的任一點(diǎn),則過(guò)點(diǎn)曲線的切線方程為從而此切線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為即 橫截距為 , 縱截距為 。由題意得:(5) 方程變形為 于是 所以,方程的通解為。(6)方程變形為 于是 所以,方程的通解為。22求解下列方程。(1)解: = = = (2) P(x)= Q(x)=由一階線性方程的求解公式 = = =