高中數(shù)學(xué) 4.1.2利用二分法求方程的近似解課件 北師大版必修1.ppt

成才之路 · 數(shù)學(xué),路漫漫其修遠(yuǎn)兮 吾將上下而求索,北師大版 · 必修1,函數(shù)應(yīng)用,第四章,第四章,§1 函數(shù)與方程,1.2 利用二分法求方程的近似解,在一檔娛樂節(jié)目中，主持人讓選手在規(guī)定時(shí)間內(nèi)猜某物品的價(jià)格，若猜中了，就把物品獎給選手某次競猜的物品為價(jià)格在800元1200元之間的一款手機(jī)，選手開始報(bào)價(jià)： 選手：1000. 主持人：低了 選手：1100. 主持人：高了,選手：1050. 主持人：祝賀你，答對了 問題1：主持人說“低了”隱含著手機(jī)價(jià)格在哪個范圍內(nèi)？ 問題2：選手每次的報(bào)價(jià)值同競猜前手機(jī)價(jià)格所在范圍有何關(guān)系？,1.二分法 每次取區(qū)間的中點(diǎn)，將區(qū)間_，再經(jīng)比較，按需要留下其中一個小區(qū)間的方法稱為二分法 2函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì) 對于圖像是連續(xù)不間斷的函數(shù)，其函數(shù)零點(diǎn)具有下列性質(zhì)： (1)當(dāng)函數(shù)圖像通過零點(diǎn)(不是二重零點(diǎn))時(shí)，其函數(shù)值的符號_(填“改變”或“不改變”) (2)在相鄰的兩個零點(diǎn)之間所有的函數(shù)值保持_(填“同號”或“異號”),一分為二,改變,同號,1.已知函數(shù)yf(x)的圖像是連續(xù)不斷的，有如下的對應(yīng)值表： 則函數(shù)yf(x)在區(qū)間1,6上的零點(diǎn)至少有( ) A2個 B3個 C4個 D5個,答案 B 解析 f(2)·f(3)0，f(3)·f(4)0， f(4)·f(5)0， 至少有3個零點(diǎn)，分別在2,3，(3,4，(4,5上，故選B.,2函數(shù)yx2bx1有二重零點(diǎn)，則b的值為( ) A2 B2 C±2 D不存在 答案 C 解析 yx2bx1有二重零點(diǎn)， b240，即b±2，故選C.,3下列函數(shù)中能用二分法求零點(diǎn)的是( ) 答案 C 解析 從圖像上看，A的函數(shù)無零點(diǎn)；B、D中的函數(shù)都是不變號零點(diǎn)，不能運(yùn)用二分法故選C.,4用二分法求方程x32x50在區(qū)間2,3內(nèi)的實(shí)根，取區(qū)間中點(diǎn)2.5，那么下一個有根區(qū)間是_ 答案 2,2.5 解析 由計(jì)算器可算得f(2)1，f(3)16，f(2.5)5.625，f(2)·f(2.5)0，所以下一個有根區(qū)間是2,2.5,5函數(shù)f(x)x2axb有零點(diǎn)，但不能用二分法求出，則a、b的關(guān)系是_ 答案 a24b0 解析 二次函數(shù)有零點(diǎn)，但不能用二分法求出，則有a24×1×b0，即a24b0.,判斷下列函數(shù)是否有變號零點(diǎn)： (1)yx25x14； (2)yx2x1； (3)yx4x310x2x5； (4)yx418x281.,函數(shù)零點(diǎn)類型的判斷,f(5)545310·52552500并不一定代表f(x)在a，b上沒有零點(diǎn) 2若給出函數(shù)圖像，主要去看圖像是否與x軸有交點(diǎn)，圖像是否穿過了x軸來判定零點(diǎn)類型,下列圖像與x軸均有交點(diǎn)，其中不能用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的是( ) 答案 A 解析 A、B、C、D四個選項(xiàng)中只有A的圖像沒有穿過x軸，此零點(diǎn)屬不變號零點(diǎn)，不能用二分法求解.,二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值,試判斷方程x33x50在區(qū)間(0,3)內(nèi)是否有實(shí)數(shù)解？若有，求出該解的近似值(精確到0.01) 思路分析 可利用函數(shù)零點(diǎn)存在性的判定方法判斷方程在(0,3)內(nèi)有實(shí)數(shù)解，然后再利用二分法求出其近似值,規(guī)范解答 設(shè)函數(shù)f(x)x33x5，由于f(0)50，因此f(0)·f(3)0，所以方程的解又必在區(qū)間(1,2)內(nèi)，故可取區(qū)間(1,2)為計(jì)算的初始區(qū)間用二分法逐次計(jì)算，將方程的解所在的區(qū)間依次求出，列表如下：,由上表可知，區(qū)間1.15234375,1.154296875中的每一個數(shù)都精確到0.01，都等于1.15，所以1.15就是方程精確到0.01的近似解,規(guī)律總結(jié) 二分法求解步驟 (1)確定區(qū)間a，b驗(yàn)證f(a)·f(b)0，初始區(qū)間的選擇不宜過大，否則將增加運(yùn)算的次數(shù)； (2)求區(qū)間a，b的中點(diǎn)c. (3)計(jì)算f(c)： 若f(c)0，則c就是函數(shù)的零點(diǎn) 若f(a)·f(c)0，則令bc(此時(shí)零點(diǎn)x0a，c) 若f(c)·f(b)0，則令ac(此時(shí)零點(diǎn)x0c，b) (4)判斷a，b的兩端的近似值是否相等且滿足要求的精確度，若是，得零點(diǎn)的近似解；否則，重復(fù)(2)(4)步特別注意要運(yùn)算徹底,用二分法求函數(shù)yx33的一個正零點(diǎn)(精確到0.01) 分析 選定區(qū)間1,2用二分法逐次計(jì)算驗(yàn)證區(qū)間兩端點(diǎn)值精確到0.01后相等取正零點(diǎn) 解析 記f(x)yx33，由于f(1)20，因此可取區(qū)間1,2作為計(jì)算的初始區(qū)間，用二分法逐次計(jì)算，見表如下,因?yàn)閰^(qū)間1,44140625,1.443359375內(nèi)的所有值，若精確到0.01都是1.44，所以1.44就是所求函數(shù)一個精確到0.01的正零點(diǎn)的近似值.,函數(shù)零點(diǎn)的綜合應(yīng)用,(1)指出方程x32x10的正根所在的大致區(qū)間； (2)求證：方程x33x10的根一個在區(qū)間(2，1)內(nèi)，一個在區(qū)間(0,1)內(nèi)，另一個在區(qū)間(1,2) 思路分析 解答本題的關(guān)鍵是尋找合適的a、b使得f(a)·f(b)0.,規(guī)范解答 (1)方程x32x10，即x32x1，令F(x)x32x1，f(x)x3，g(x)2x1在同一平面直角坐標(biāo)系中，作出函數(shù)f(x)和g(x)的圖像如圖，顯然它們 在第一象限只有1個交點(diǎn)，兩函數(shù)圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程的解 又F(1)20， 方程的正根在區(qū)間(1,2)內(nèi),(2)證明：令G(x)x33x1，它的圖像一定是連續(xù)的， 又G(2)86110， 方程x33x10的一根在區(qū)間(2，1)內(nèi) 同理可以驗(yàn)證G(0)·G(1)1×(1)10， G(1)·G(2)(1)×330， 方程的另兩根分別在(0,1)和(1,2)內(nèi),規(guī)律總結(jié) 1.求函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間時(shí)，若F(x)0對應(yīng)函數(shù)yF(x)比較簡單，其圖像容易畫出，就可以觀察圖像與x軸相交的點(diǎn)的位置，交點(diǎn)橫坐標(biāo)就是方程F(x)0的解，從而得到F(x)0的根所在大致區(qū)間；若函數(shù)yF(x)的圖像不容易畫出，則將F(x)分解為f(x)g(x)的形式，且yf(x)與yg(x)較容易畫出圖像，它們交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是F(x)0的解，這種方法要求作圖要準(zhǔn)確，否則得不出正確答案 2對于連續(xù)函數(shù)，可以多次驗(yàn)證某些點(diǎn)處的函數(shù)值的符號是否異號若異號，則方程的解在以這兩個數(shù)為端點(diǎn)的區(qū)間內(nèi)若同號，再需要利用二分法多次嘗試,將(1)中的方程改為“x5x10”時(shí)，求其一個正根所在的大致區(qū)間 解析 f(1)1，f(2)29，f(1)·f(2)0， 即x5x10的一個正根所在的區(qū)間為(1,2),用二分法求方程x250的一個非負(fù)近似解(精確到0.1) 誤解 令f(x)x25， 因?yàn)閒(2.2)2.2250.160， 所以f(2.2)·f(2.4)0，,因?yàn)閒(2.2)·f(2.3)0， 因?yàn)閒(2.2)·f(2.25)0，所以x02.2,2.25， 所以原方程的非負(fù)近似解為2.2. 辨析 本題產(chǎn)生錯解的原因是對精確度的理解不正確，2.25取近似值為2.3.,正解 令f(x)x25， 因?yàn)閒(2.2)0.160， 所以f(2.2)·f(2.4)0， 因?yàn)閒(2.2)·f(2.3)0， 因?yàn)閒(2.2)·f(2.25)0，所以x02.2,2.25，,同理可得x02.225,2.25，x02.225,2.2375， 因?yàn)?.23752.2250.01250.1，區(qū)間2.225，2.2375的左、右端點(diǎn)精確到0.1所取的近似值2.2，所以2.2就是所給方程的一個非負(fù)近似解 規(guī)律總結(jié) 用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)，首先是大致區(qū)間的確定，使區(qū)間長度盡量小，否則會增加運(yùn)算量雖然此類問題要求用計(jì)算器運(yùn)算，但也應(yīng)注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性另外，在計(jì)算到第n步時(shí)，區(qū)間an，bn的長度應(yīng)小于精確度,