高中數(shù)學(xué) 4.1.2利用二分法求方程的近似解課件 北師大版必修1.ppt

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成才之路 · 數(shù)學(xué),路漫漫其修遠(yuǎn)兮 吾將上下而求索,北師大版 · 必修1,函數(shù)應(yīng)用,第四章,第四章,§1 函數(shù)與方程,1.2 利用二分法求方程的近似解,在一檔娛樂節(jié)目中，主持人讓選手在規(guī)定時(shí)間內(nèi)猜某物品的價(jià)格，若猜中了，就把物品獎(jiǎng)給選手．某次競(jìng)猜的物品為價(jià)格在800元～1200元之間的一款手機(jī)，選手開始報(bào)價(jià)： 選手：1000. 主持人：低了． 選手：1100. 主持人：高了．,選手：1050. 主持人：祝賀你，答對(duì)了． 問題1：主持人說“低了”隱含著手機(jī)價(jià)格在哪個(gè)范圍內(nèi)？ 問題2：選手每次的報(bào)價(jià)值同競(jìng)猜前手機(jī)價(jià)格所在范圍有何關(guān)系？,1.二分法 每次取區(qū)間的中點(diǎn)，將區(qū)間________，再經(jīng)比較，按需要留下其中一個(gè)小區(qū)間的方法稱為二分法． 2．函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì) 對(duì)于圖像是連續(xù)不間斷的函數(shù)，其函數(shù)零點(diǎn)具有下列性質(zhì)： (1)當(dāng)函數(shù)圖像通過零點(diǎn)(不是二重零點(diǎn))時(shí)，其函數(shù)值的符號(hào)_____．(填“改變”或“不改變”) (2)在相鄰的兩個(gè)零點(diǎn)之間所有的函數(shù)值保持_______．(填“同號(hào)”或“異號(hào)”),一分為二,改變,同號(hào),1.已知函數(shù)y＝f(x)的圖像是連續(xù)不斷的，有如下的對(duì)應(yīng)值表： 則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[1,6]上的零點(diǎn)至少有( ) A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè),[答案] B [解析] ∵f(2)·f(3)0，f(3)·f(4)0， f(4)·f(5)0， ∴至少有3個(gè)零點(diǎn)，分別在[2,3]，(3,4]，(4,5]上，故選B.,2．函數(shù)y＝x2－bx＋1有二重零點(diǎn)，則b的值為( ) A．2 B．－2 C．±2 D．不存在 [答案] C [解析] ∵y＝x2－bx＋1有二重零點(diǎn)， ∴Δ＝b2－4＝0，即b＝±2，故選C.,3．下列函數(shù)中能用二分法求零點(diǎn)的是( ) [答案] C [解析] 從圖像上看，A的函數(shù)無零點(diǎn)；B、D中的函數(shù)都是不變號(hào)零點(diǎn)，不能運(yùn)用二分法．故選C.,4．用二分法求方程x3－2x－5＝0在區(qū)間[2,3]內(nèi)的實(shí)根，取區(qū)間中點(diǎn)2.5，那么下一個(gè)有根區(qū)間是__________． [答案] [2,2.5] [解析] 由計(jì)算器可算得f(2)＝－1，f(3)＝16，f(2.5)＝5.625，f(2)·f(2.5)0，所以下一個(gè)有根區(qū)間是[2,2.5]．,5．函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b有零點(diǎn)，但不能用二分法求出，則a、b的關(guān)系是__________． [答案] a2－4b＝0 [解析] 二次函數(shù)有零點(diǎn)，但不能用二分法求出，則有Δ＝a2－4×1×b＝0，即a2－4b＝0.,判斷下列函數(shù)是否有變號(hào)零點(diǎn)： (1)y＝x2－5x－14； (2)y＝x2＋x＋1； (3)y＝－x4＋x3＋10x2－x＋5； (4)y＝x4－18x2＋81.,函數(shù)零點(diǎn)類型的判斷,f(5)＝－54＋53＋10·52－5＋5＝－2500并不一定代表f(x)在[a，b]上沒有零點(diǎn)． 2．若給出函數(shù)圖像，主要去看圖像是否與x軸有交點(diǎn)，圖像是否穿過了x軸來判定零點(diǎn)類型．,下列圖像與x軸均有交點(diǎn)，其中不能用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的是( ) [答案] A [解析] A、B、C、D四個(gè)選項(xiàng)中只有A的圖像沒有穿過x軸，此零點(diǎn)屬不變號(hào)零點(diǎn)，不能用二分法求解.,,二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值,試判斷方程x3＋3x－5＝0在區(qū)間(0,3)內(nèi)是否有實(shí)數(shù)解？若有，求出該解的近似值(精確到0.01)． [思路分析] 可利用函數(shù)零點(diǎn)存在性的判定方法判斷方程在(0,3)內(nèi)有實(shí)數(shù)解，然后再利用二分法求出其近似值．,[規(guī)范解答] 設(shè)函數(shù)f(x)＝x3＋3x－5，由于f(0)＝－50，因此f(0)·f(3)0，所以方程的解又必在區(qū)間(1,2)內(nèi)，故可取區(qū)間(1,2)為計(jì)算的初始區(qū)間．用二分法逐次計(jì)算，將方程的解所在的區(qū)間依次求出，列表如下：,由上表可知，區(qū)間[1.15234375,1.154296875]中的每一個(gè)數(shù)都精確到0.01，都等于1.15，所以1.15就是方程精確到0.01的近似解．,[規(guī)律總結(jié)] 二分法求解步驟 (1)確定區(qū)間[a，b]．驗(yàn)證f(a)·f(b)0，初始區(qū)間的選擇不宜過大，否則將增加運(yùn)算的次數(shù)； (2)求區(qū)間[a，b]的中點(diǎn)c. (3)計(jì)算f(c)： ①若f(c)＝0，則c就是函數(shù)的零點(diǎn)． ②若f(a)·f(c)0，則令b＝c(此時(shí)零點(diǎn)x0∈[a，c])． ③若f(c)·f(b)0，則令a＝c(此時(shí)零點(diǎn)x0∈[c，b])． (4)判斷a，b的兩端的近似值是否相等且滿足要求的精確度，若是，得零點(diǎn)的近似解；否則，重復(fù)(2)～(4)步．特別注意要運(yùn)算徹底．,用二分法求函數(shù)y＝x3－3的一個(gè)正零點(diǎn)(精確到0.01)． [分析] 選定區(qū)間[1,2]→用二分法逐次計(jì)算→驗(yàn)證區(qū)間兩端點(diǎn)值精確到0.01后相等→取正零點(diǎn) [解析] 記f(x)＝y(tǒng)＝x3－3，由于f(1)＝－20，因此可取區(qū)間[1,2]作為計(jì)算的初始區(qū)間，用二分法逐次計(jì)算，見表如下,因?yàn)閰^(qū)間[1,44140625,1.443359375]內(nèi)的所有值，若精確到0.01都是1.44，所以1.44就是所求函數(shù)一個(gè)精確到0.01的正零點(diǎn)的近似值.,函數(shù)零點(diǎn)的綜合應(yīng)用,(1)指出方程x3－2x－1＝0的正根所在的大致區(qū)間； (2)求證：方程x3－3x＋1＝0的根一個(gè)在區(qū)間(－2，－1)內(nèi)，一個(gè)在區(qū)間(0,1)內(nèi)，另一個(gè)在區(qū)間(1,2)． [思路分析] 解答本題的關(guān)鍵是尋找合適的a、b使得f(a)·f(b)0.,[規(guī)范解答] (1)方程x3－2x－1＝0，即x3＝2x＋1，令F(x)＝x3－2x－1，f(x)＝x3，g(x)＝2x＋1在同一平面直角坐標(biāo)系中，作出函數(shù)f(x)和g(x)的圖像如圖，顯然它們 在第一象限只有1個(gè)交點(diǎn)，兩函數(shù)圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程的解． 又∵F(1)＝－20， ∴方程的正根在區(qū)間(1,2)內(nèi)．,,(2)證明：令G(x)＝x3－3x＋1，它的圖像一定是連續(xù)的， 又G(－2)＝－8＋6＋1＝－10， ∴方程x3－3x＋1＝0的一根在區(qū)間(－2，－1)內(nèi)． 同理可以驗(yàn)證G(0)·G(1)＝1×(－1)＝－10， G(1)·G(2)＝(－1)×3＝－30， ∴方程的另兩根分別在(0,1)和(1,2)內(nèi)．,[規(guī)律總結(jié)] 1.求函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間時(shí)，若F(x)＝0對(duì)應(yīng)函數(shù)y＝F(x)比較簡(jiǎn)單，其圖像容易畫出，就可以觀察圖像與x軸相交的點(diǎn)的位置，交點(diǎn)橫坐標(biāo)就是方程F(x)＝0的解，從而得到F(x)＝0的根所在大致區(qū)間；若函數(shù)y＝F(x)的圖像不容易畫出，則將F(x)分解為f(x)＝g(x)的形式，且y＝f(x)與y＝g(x)較容易畫出圖像，它們交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是F(x)＝0的解，這種方法要求作圖要準(zhǔn)確，否則得不出正確答案． 2．對(duì)于連續(xù)函數(shù)，可以多次驗(yàn)證某些點(diǎn)處的函數(shù)值的符號(hào)是否異號(hào)．若異號(hào)，則方程的解在以這兩個(gè)數(shù)為端點(diǎn)的區(qū)間內(nèi)．若同號(hào)，再需要利用二分法多次嘗試．,將(1)中的方程改為“x5－x－1＝0”時(shí)，求其一個(gè)正根所在的大致區(qū)間． [解析] ∵f(1)＝－1，f(2)＝29，∴f(1)·f(2)0， 即x5－x－1＝0的一個(gè)正根所在的區(qū)間為(1,2)．,用二分法求方程x2－5＝0的一個(gè)非負(fù)近似解(精確到0.1)． [誤解] 令f(x)＝x2－5， 因?yàn)閒(2.2)＝2.22－5＝－0.160， 所以f(2.2)·f(2.4)0，,因?yàn)閒(2.2)·f(2.3)0， 因?yàn)閒(2.2)·f(2.25)0，所以x0∈[2.2,2.25]， 所以原方程的非負(fù)近似解為2.2. [辨析] 本題產(chǎn)生錯(cuò)解的原因是對(duì)精確度的理解不正確，2.25取近似值為2.3.,[正解] 令f(x)＝x2－5， 因?yàn)閒(2.2)＝－0.160， 所以f(2.2)·f(2.4)0， 因?yàn)閒(2.2)·f(2.3)0， 因?yàn)閒(2.2)·f(2.25)0，所以x0∈[2.2,2.25]，,同理可得x0∈[2.225,2.25]，x0∈[2.225,2.2375]， 因?yàn)?.2375－2.225＝0.01250.1，區(qū)間[2.225，2.2375]的左、右端點(diǎn)精確到0.1所取的近似值2.2，所以2.2就是所給方程的一個(gè)非負(fù)近似解． [規(guī)律總結(jié)] 用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)，首先是大致區(qū)間的確定，使區(qū)間長(zhǎng)度盡量小，否則會(huì)增加運(yùn)算量．雖然此類問題要求用計(jì)算器運(yùn)算，但也應(yīng)注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性．另外，在計(jì)算到第n步時(shí)，區(qū)間[an，bn]的長(zhǎng)度應(yīng)小于精確度．,