離散型隨機(jī)變量的期望及方差.ppt
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,離散型隨機(jī)變量的均值與方差,1.離散型隨機(jī)變量的均值與方差 (1)均值 若離散型隨機(jī)變量ξ的概率分布為,則ξ的數(shù)學(xué)期望(或平均數(shù)、均值,簡稱期望)為 Eξ=x1p1+x2p2+…+xnpn+… 它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平. (2)方差 如果離散型隨機(jī)變量ξ所有可能取的值是x1,x2,…,xn,…且取這些值的概率分別是p1,p2,…,pn,…那么 D(ξ)=(x1-Eξ)2·p1+(x2-Eξ)2·p2+…+(xn-Eξ)2·pn+…叫做ξ的方差.,隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng)、集中與離散的程度.(標(biāo)準(zhǔn)差與隨機(jī)變量本身有相同的單位) (3)若ξ服從二項(xiàng)分布,即ξ~B(n,p),則 Eξ=np,Dξ=np(1-p).兩點(diǎn)分布,則Eξ=p,Dξ=p(1-p).,2.均值、方差的性質(zhì)及應(yīng)用 (1)EC=C(C為常數(shù)); (2)E(aξ+b)=aEξ+b(a、b為常數(shù)); (3)D(aξ+b)=a2Dξ.,1.設(shè)隨機(jī)變量ξ~B(n,p),且Eξ=1.6,Dξ=1.28,則( ) A.n=8,p=0.2 B.n=4,p=0.4 C.n=5,p=0.32 D.n=7,p=0.45,答案:A,2.如果ξ是離散型隨機(jī)變量,η=3ξ+2,那么( ) A.Eη=3Eξ+2,Dη=9Dξ B.Eη=3Eξ,Dη=3Dξ+2 C.Eη=3Eξ+2,Dη=9Eξ+4 D.Eη=3Eξ+4,Dη=3Dξ+2 答案:A,3.一個(gè)均勻小正方體的六個(gè)面中,三個(gè)面上標(biāo)以數(shù)0,兩個(gè)面上標(biāo)以數(shù)1,一個(gè)面上標(biāo)以數(shù)2.將這個(gè)小正方體拋擲2次,則向上的數(shù)之積的數(shù)學(xué)期望________.,,熱點(diǎn)之一 求離散型隨機(jī)變量的期望與方差 求離散型隨機(jī)變量X的均值與方差的步驟: 1.理解X的意義,寫出Y的所有可能取值; 2.求X取每個(gè)值的概率; 3.寫出X的分布列; 4.由均值的定義求EX; 5.由方差的定義求DX.,【例】某商場舉行抽獎(jiǎng)促銷活動(dòng),抽獎(jiǎng)規(guī)則是:從裝有9個(gè)白球,1個(gè)紅球的箱子中每次隨機(jī)地摸出1個(gè)球,記下顏色后放回,摸出1個(gè)紅球可獲得獎(jiǎng)金10元;摸出2個(gè)紅球可獲得獎(jiǎng)金50元,現(xiàn)有甲、乙兩位顧客,規(guī)定:甲摸一次,乙摸兩次,令X表示甲,乙摸球后獲得的獎(jiǎng)金總額.求: (1)X的概率分布; (2)X的數(shù)學(xué)期望.,解:摸球的情形有以下5種:甲1白,乙2白(0元);甲1紅,乙2白或甲1白,乙1紅1白(10元);甲1紅,乙1紅1白(20元);甲1白,乙2紅(50元);甲1紅,乙2紅(60元). (1)X的所有可能的取值為0,10,20,50,60,,,熱點(diǎn)之二 期望與方差的性質(zhì)及應(yīng)用 利用均值和方差的性質(zhì),可以避免復(fù)雜的運(yùn)算.常用性質(zhì)有: (1)EC=C(C為常數(shù)); (2)E(aX+b)=aEX+b(a,b為常數(shù)); (3)E(X1+X2)=EX1+EX2;E(aX1+bX2)=aE(X1)+bE(X2);,[例1] 袋中有20個(gè)大小相同的球,其中記上0號(hào)的有10個(gè),記上n號(hào)的有n個(gè)(n=1,2,3,4).現(xiàn)從袋中任取一個(gè),ξ表示所取球的標(biāo)號(hào). (1)求ξ的分布列、期望和方差; (2)若η=aξ+b,Eη=1,Dη=11,試求a,b的值.,(2)由Dη=a2Dξ,得a2×2.75=11, 即a=±2. 又Eη=aEξ+b,,∴當(dāng)a=2時(shí),由1=2×1.5+b,得b=-2; 當(dāng)a=-2時(shí),由1=-2×1.5+b,得b=4.,[思維拓展] 在計(jì)算離散型隨機(jī)變量的期望與方差時(shí),首先要弄清其分布特征,正確求出分布列,這是求均值和方差的前提,然后準(zhǔn)確應(yīng)用公式,特別是充分利用期望和方差的性質(zhì)解題,善于使用公式E(aX+b)=aEX+b,D(aX+b)=a2DX,能避免繁瑣的運(yùn)算過程,提高運(yùn)算速度和準(zhǔn)確度.,即時(shí)訓(xùn)練 如果X是離散型隨機(jī)變量,EX=6,DX=0.5,X1=2X-5,那么EX1和DX1分別是( ) A.12,1 B.7,1 C.12,2 D.7,2 解析:因?yàn)镋(aX+b)=aEX+b,D(aX+b)=a2DX,由已知可得EX1=7,DX1=2,應(yīng)選D. 答案:D,熱點(diǎn)之三 與二項(xiàng)分布有關(guān)的期望與方差 當(dāng)隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布或二項(xiàng)分布時(shí),可不用列出分布列,直接由公式求出EX和DX.,,[思路探究] 解答該5個(gè)問題可以認(rèn)為是5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),答對(duì)問題的個(gè)數(shù)ξ服從二項(xiàng)分布,求η的期望與方差可通過ξ與η的線性關(guān)系間接求出.,[思維拓展] (1)當(dāng)求隨機(jī)變量ξ的期望與方差時(shí),可首先分析ξ是否服從二項(xiàng)分布,如果服從,則用公式求解,可大大減少運(yùn)算量.(2)注意利用E(aξ+b)=aEξ+b及D(aξ+b)=a2Dξ求期望與方差.,即時(shí)訓(xùn)練 某運(yùn)動(dòng)員投籃命中率為p=0.6. (1)求一次投籃時(shí)命中次數(shù)X的期望與方差; (2)求重復(fù)5次投籃時(shí),命中次數(shù)η的期望與方差.,- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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- 關(guān) 鍵 詞:
- 離散 隨機(jī)變量 期望 方差
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