直線與雙曲線位置關(guān)系典例精析

直線和雙曲線的位置關(guān)系一、要點精講1直線和雙曲線的位置關(guān)系有三種：相交、相切、相離.2弦長公式：設(shè)直線交雙曲線于，則，或二、基礎(chǔ)自測1經(jīng)過點且與雙曲線僅有一個公共點的直線有（ ） (A) 4條 (B) 3條 (C) 2條 (D) 1條2直線y= kx與雙曲線不可能（ ）（A）相交 （B）只有一個交點 （C）相離 （D）有兩個公共點3過雙曲線的一個焦點且與雙曲線的實軸垂直的弦叫做雙曲線的通徑，則雙曲線的通徑長是(A) (B) (C) (D) 4若一直線平行于雙曲線的一條漸近線，則與雙曲線的公共點個數(shù)為 解：與雙曲線漸近線平行的直線與雙曲線有且只有一個公共點，應(yīng)注意直線與雙曲線不是相切5經(jīng)過雙曲線的右焦點且斜率為2的直線被雙曲線截得的線段的長是 6直線在雙曲線上截得的弦長為4，且的斜率為2，求直線的方程三、典例精析題型一：直線與雙曲線的位置關(guān)系1. 如果直線與雙曲線沒有公共點，求的取值范圍有兩個公共點呢？解，所以=， 所以，故選D.2(2010安徽)若直線ykx2與雙曲線x2y26的右支交于不同的兩點，則k的取值范圍是 ()A. B. C. D.解：由得(1k2)x24kx100，解得<k<1.3、過點與雙曲線有且只有一個公共點的直線有幾條，分別求出它們的方程。題型二：直線與雙曲線的相交弦問題4. 過雙曲線的左焦點，作傾斜角為的弦，求；的周長（為雙曲線的右焦點）。5. 已知雙曲線方程為，求以定點A(2,1)為中點的弦所在的直線方程解圓錐曲線與直線相交所得的中點弦問題，一般不求直線與圓錐曲線的交點坐標(biāo)，而是利用根與系數(shù)的關(guān)系或“平方差法”求解此時，若已知點在雙曲線的內(nèi)部，則中點弦一定存在，所求出的直線可不檢驗，若已知點在雙曲線的外部，中點弦可能存在，也可能不存在，因而對所求直線必須進(jìn)行檢驗，以免增解，若用待定系數(shù)法時，只需求出k值對判別式>0進(jìn)行驗證即可6. 雙曲線方程為.問：以定點B(1,1)為中點的弦存在嗎？若存在，求出其所在直線的方程；若不存在，請說明理由7、已知中心在原點，頂點在軸上，離心率為的雙曲線經(jīng)過點（）求雙曲線的方程；（）動直線經(jīng)過的重心，與雙曲線交于不同的兩點，問是否存在直線使平分線段。試證明你的結(jié)論。 題型三： 求雙曲線方程8. 已知焦點在x軸上的雙曲線上一點，到雙曲線兩個焦點的距離分別為4和8，直線被雙曲線截得的弦長為，求此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程9、設(shè)雙曲線與直線相交于不同的點A、B.求雙曲線的離心率的取值范圍；設(shè)直線與軸的交點為，且，求的值。解：(1)將yx1代入雙曲線y21中得(1a2)x22a2x2a20 由題設(shè)條件知，解得0<a<且a1， 又雙曲線的離心率e，0<a<且a1，e>且e.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0,1) ， (x1，y11)(x2，y21)x1x2，x1、x2是方程的兩根，且1a20， x2，x，消去x2得， a>0，a.10. 已知雙曲線的焦點為，過且斜率為的直線交雙曲線于、兩點，若 (其中為原點），求雙曲線方程。11. 雙曲線的中心為原點，焦點在軸上，兩條漸近線分別為，經(jīng)過右焦點垂直于的直線分別交于兩點已知成等差數(shù)列，且與同向（）求雙曲線的離心率；（）設(shè)被雙曲線所截得的線段的長為4，求雙曲線的方程解：（）設(shè)， 由勾股定理可得：得：，由倍角公式，解得,則離心率（）過直線方程為,與雙曲線方程聯(lián)立，將，代入，化簡有 將數(shù)值代入，有, 解得 故所求的雙曲線方程為。12、已知雙曲線1(b>a>0)，O為坐標(biāo)原點，離心率e2，點M(，)在雙曲線上(1) 求雙曲線的方程；(2) 若直線l與雙曲線交于P，Q兩點，且.求的值解： (1)e2，c2a，b2c2a23a2，雙曲線方程為1，即3x2y23a2.點M(，)在雙曲線上，1533a2.a24.所求雙曲線的方程為1.(2)設(shè)直線OP的方程為ykx(k0)，聯(lián)立1，得|OP|2x2y2. 則OQ的方程為yx，同理有|OQ|2， .13(2012上海)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線C1：2x2y21.(1)過C1的左頂點引C1的一條漸近線的平行線，求該直線與另一條漸近線及x軸圍成的三角形的面積；(2)設(shè)斜率為1的直線l交C1于P、Q兩點若l與圓x2y21相切，求證：OPOQ；(3)設(shè)橢圓C2：4x2y21.若M、N分別是C1、C2上的動點，且OMON，求證：O到直線MN的距離是定值解：(1)雙曲線C1：，左頂點A，漸近線方程為：yx.過點A與漸近線yx平行的直線方程為，即yx1.解方程組，得. 所求三角形的面積為S|OA|y|.(2)證明：設(shè)直線PQ的方程是yxb，直線PQ與已知圓相切，1，即b22.由得x22bxb210. 設(shè)P(x1，y1)、Q(x2，y2)，則又y1y2(x1b)(x2b)，x1x2y1y22x1x2b(x1x2)b22(1b2)2b2b2b220. 故OPOQ.(3)證明：當(dāng)直線ON垂直于x軸時，|ON|1，|OM|，則O到直線MN的距離為.當(dāng)直線ON不垂直于x軸時，設(shè)直線ON的方程為ykx(顯然)，則直線OM的方程為yx. 由得|ON|2.同理|OM|2. 設(shè)O到直線MN的距離為d.(|OM|2|ON|2)d2|OM|2|ON|2， 3，即d.綜上，O到直線MN的距離是定值五、能力提升1若不論k為何值，直線y=k(x-2)+b與雙曲線總有公共點，則b的取值范圍是（ ） (A) (B) (C) (D) 2過雙曲線的右焦點F作直線交雙曲線于A、B兩點，若|AB|=4，則這樣的直線有（ ） (A)1條 (B)2條 (C)3條 (D)4條3過點的直線與雙曲線有且僅有一個公共點，且這個公共點恰是雙曲線的左頂點，則雙曲線的實軸長等于（ ） (A)2 (B)4 (C) 1或2 (D) 2或44. 已知雙曲線的右焦點為F，若過點F且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則此雙曲線離心率的取值范圍是（ ） (A) (1，2 (B)（1，2) (C) 2，+) (D) (2，+)6直線與雙曲線的右支交于不同兩點，則k的取值范圍是 7. 已知傾斜角為的直線被雙曲線截得的弦長，求直線的方程8. 設(shè)直線與雙曲線于相交于A、B兩點，且弦AB中點的橫坐標(biāo)為 (1)求的值；(2)求雙曲線離心率9. 已知雙曲線的離心率，左、右焦點分別為、，左準(zhǔn)線為，能否在雙曲線的左支上找到一點P，使得是P到的距離與的等比中項？