高中數學 2.3函數的單調性課件 北師大版必修1.ppt

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成才之路 · 數學,路漫漫其修遠兮 吾將上下而求索,北師大版 · 必修1,函 數,第二章,第二章,§3 函數的單調性,你知道2008年北京奧運會開幕式時間為什么由原定的7月25日推遲到8月8日嗎？ 通過查閱資料，我們了解到開幕式推遲的主要原因是天氣，北京的天氣到8月中旬，平均氣溫、平均降雨量和平均降雨天數等均開始下降，比較適宜大型國際體育賽事． 在日常生活中，我們會關心很多數據的變化(如食品的價格、燃油價格等)，所有這些數據的變化，用函數觀點看，其實就是隨著自變量的變化，函數值是變大還是變小的問題，也就是本節(jié)我們所要研究的函數的單調性問題.,1.函數的遞增與遞減 在函數y＝f(x)的定義域內的一個區(qū)間A上，如果對于任意兩個數x1，x2∈A，當x1x2時，都有f(x1)f(x2)，那么就稱函數y＝f(x)在區(qū)間A上是________，有時也稱函數y＝f(x)在區(qū)間A上是________．在函數y＝f(x)的定義域內的一個區(qū)間A上，如果對于任意兩個數x1，x2∈A，當_______時，都有_________，那么就稱函數y＝f(x)在區(qū)間A上是減少的，有時也稱函數y＝f(x)在區(qū)間A上是________．,增加的,遞增的,x1x2,f(x1)f(x2),遞減的,2．函數的單調區(qū)間 如果y＝f(x)在區(qū)間A上是增加的或減少的，那么稱A為________．在單調區(qū)間上，如果函數是增加的，那么它的圖像是________；如果函數是________，那么它的圖像是下降的．對于函數y＝f(x)的定義域內的一個子集A，如果對于任意兩數x1，x2∈A，當x1x2時，都有f(x1)f(x2)，就稱函數y＝f(x)在數集A上是________．在函數y＝f(x)在定義域的一個子集A上，如果對于任意兩數x1，x2∈A，當x1x2時，都有________，就稱函數y＝f(x)在數集A上是________．,單調區(qū)間,上升的,減少的,增加的,f(x1)f(x2),減少的,3．函數的單調性 如果函數_______________________________________，那么就稱函數y＝f(x)在這個子集上具有單調性．如果函數y＝f(x)在整個定義域內是增加的或是減少的，我們分別稱這個函數為________或________，統(tǒng)稱為________．,在定義域的某個子集上是增加的或是減少的,增函數,減函數,單調函數,1.函數f(x)＝－x2的遞增區(qū)間為( ) A．(－∞，0] B．[0，＋∞) C．(－∞，＋∞) D．(－1，＋∞) [答案] A [解析] 由函數f(x)＝－x2的圖像可知，它的遞增區(qū)間為(－∞，0]．故選A.,3．函數f(x)的圖像如圖所示，則( ) A．函數f(x)在[－1,2]上是增加的 B．函數f(x)在[－1,2]上是減少的 C．函數f(x)在[－1,4]上是減少的 D．函數f(x)在[2,4]上是增加的 [答案] A [解析] 結合圖像可知函數f(x)在[－1,2]上是“上升”的，故A正確．,,[答案] (－∞，0) [解析] 由反比例函數的單調性知，－b0，∴bf(2)，則x的取值范圍是________． [答案] (3，＋∞) [解析] ∵f(x)是R上的增函數，且f(x－1)f(2)，∴x－12，∴x3.,已知四個函數的圖像如下圖所示，其中在定義域內具有單調性的函數是( ) [思路分析] 已知函數的圖像判斷其單調性應從它的圖像是上升的還是下降的角度來考慮． [規(guī)范解答] 根據函數單調性的定義結合函數圖像可知函數B在定義域內為單調遞增函數． [答案] B,函數單調性的判斷,,下列命題正確的是( ) A．定義在(a，b)上的函數f(x)，若存在x1，x2∈(a，b)，使得x1x2時有f(x1)f(x2)，那么f(x)在(a，b)上是增加的 B．定義在(a，b)上的函數f(x)，若有無窮多對x1，x2∈(a，b)，使得x1x2時有f(x1)f(x2)，那么f(x)在(a，b)上是增加的 C．若f(x)在區(qū)間I1上為增加的，在區(qū)間I2上也是增加的，那么f(x)在I1∪I2上也一定是增加的 D．若f(x)在區(qū)間I上是增加的且f(x1)f(x2)(x1，x2∈I)，那么x1x2,[答案] D,利用定義證明或判斷函數的單調性,[規(guī)律總結] 證明函數在某個區(qū)間上的單調性的步驟： (1)取值：在給定區(qū)間上任取兩個值x1，x2，且x1x2； (2)作差變形：計算f(x1)－f(x2)，通過因式分解、通分、配方、分母(分子)有理化等方法變形； (3)定號：判斷上式的符號，若不能確定，則分區(qū)間討論； (4)結論：根據差的符號，得出單調性的結論．,求函數單調區(qū)間,[思路分析] 求給定函數的單調區(qū)間通常采用以下方法：(1)利用已知函數的單調性；(2)圖像法；(3)定義法(利用單調性的定義探討)．,[答案] A,(2)函數y＝3x2＋6x－12在區(qū)間________上為增函數，在區(qū)間________上為減函數． [答案] [－1，＋∞) (－∞，－1] [解析] ∵y＝3x2＋6x－12＝3(x＋1)2－15， ∴它的圖像開口向上，對稱軸為x＝－1. ∴在[－1，＋∞)上為增函數，在(－∞，－1]上為減函數.,利用函數的單調性求最值,[思路分析] (1)結合函數f(x)的圖像分析f(x)的單調性，從而確定其最大值； (2)利用函數增加、減少的定義判斷f(x)在[2,6]上的單調性，再求最值．,[規(guī)律總結] 1.熟記運用函數單調性求最值的步驟： (1)判斷：先判斷函數的單調性． (2)求值：利用單調性代入自變量的值求得最值． 2．明確利用單調性求最大值、最小值易出錯的幾點： (1)寫出最值時要寫最高(低)點的縱坐標，而不是橫坐標． (2)求最值忘記求定義域． (3)求最值，尤其是閉區(qū)間上的最值，不判斷單調性而直接將兩端點值代入．,利用單調性求參數取值范圍,[規(guī)律總結] 利用函數的單調性求參數的取值范圍的步驟：①把自變量“裝在”定義域內；②找出x1，x2的關系，得出函數的單調性，從而得出函數值之間的關系(注意也可逆用)；③最后再應用分類討論、數形結合等思想解決問題．,已知y＝f(x)在定義域(－1,1)上是減少的，且f(1－a)f(2a－1)，求a的取值范圍． [分析] 不等式f(1－a)f(2a－1)為抽象不等式，不能直接求解．考慮到函數的單調性，可將函數值的不等關系轉化為自變量取值的不等關系，即轉化為具體不等式來求解．,若函數f(x)＝x2＋2(a－1)x＋4的單調遞減區(qū)間是(－∞，4]，則實數a的取值范圍是________． [錯解] 函數f(x)的圖像的對稱軸為直線x＝1－a，由于函數在區(qū)間(－∞，4]上單調遞減，因此1－a≥4， 即a≤－3. [辨析] 錯解中把單調區(qū)間誤認為是在區(qū)間上單調．,,[正解] 因為函數的單調遞減區(qū)間為(－∞，4]，且函數圖像的對稱軸為直線x＝1－a，所以有1－a＝4，即a＝－3. [答案] a＝－3 [規(guī)律總結] 單調區(qū)間是一個整體概念，比如說函數的單調遞減區(qū)間是I，指的是函數遞減的最大范圍為區(qū)間I.而函數在某一區(qū)間上單調，則指此區(qū)間是相應單調區(qū)間的子集．所以我們在解決函數的單調性問題時，一定要仔細讀題，明確條件含義．,