矩陣的特征值與特征向量.ppt

第五章 矩陣的特征值與特征向量,在經(jīng)濟(jì)理論及其應(yīng)用中 常要求一個方陣的特征值和特征向量的問題 數(shù)學(xué)中諸如方陣的對角化及解微分方程組的問題 也都要用到特征值的理論,2,引言,純量陣 lE 與任何同階矩陣的乘法都滿足交換律，即 (lEn)An = An (lEn) = lAn 矩陣乘法一般不滿足交換律，即AB BA 數(shù)乘矩陣與矩陣乘法都是可交換的，即 l (AB) = (lA)B = A(lB) Ax = l x ? 例：,一 特征值與特征向量定義:,非零列向量X稱為A 的對應(yīng)于特征值的特征向量,定義6設(shè)A是n階矩陣 如果對于數(shù)，存在n維非零 列向量X , 使,AXX 成立,則稱為方陣A的一個特征值,第一節(jié) 矩陣的特征值與特征向量p117,AXX,如何求特征值和特征向量?,即,齊次方程有非0解,齊次方程有非0解的充要條件是系數(shù)行列式為0,即| I A| 0,(2) | I A| 0稱為方陣A的特征方程,二 特征多項(xiàng)式與特征方程,定義 設(shè)A為n階方陣,(1) f() | I A|稱為方陣A的特征多項(xiàng)式,即,即,(3)方陣A的特征值就是特征方程| I A| 0的根,所以方陣A的特征值也稱為方陣A的特征根,齊次線性方程組,的每一個非零解向量， 都是方陣A的對應(yīng)于特征值的特征向量,所以方陣A對應(yīng)于每一個不同特征值的特征向量都有無窮多個,三 特征向量,定理1 如果非零向量X為矩陣A對應(yīng)于特征值的特征向量,則CX(C0為任意常數(shù)）也是A對應(yīng)于特征值的特征向量,定理2 如果X1， X2為矩陣A對應(yīng)于特征值的特征向量，,且X1+ X2 0，則X1+ X2也是A對應(yīng)于特征值的特征向量，,即:矩陣A對應(yīng)于同一特征值的特征向量的非零線性組合仍然為A對應(yīng)于特征向量(不能為0),綜上所述,求矩陣A的特征值及特征向量的步驟如下:,第一步 計算矩陣A特征多項(xiàng)式| I A| ;,第二步 求出矩陣A的特征方程| I A|=0的全部根,即求得A的全部特征值1， 1，- n，(其中可能有重根）,第三步 對于A的每個特征值i ,求出對應(yīng)的齊次線性方程組 （ i I A）X=0的一個基礎(chǔ)解系.,矩陣A對應(yīng)于特征值i 的全部特征向量為,例1 求矩陣 的特征值和特征向量,解,(1) A的特征方程為,所以A的特征值為14 2-2,(2) 當(dāng)14時,其基礎(chǔ)解系可取為,則矩陣A對應(yīng)于特征值14的全體特征向量為,例1 求矩陣 的特征值和特征向量,解,(3) 當(dāng)2-2時,其基礎(chǔ)解系可取為,則矩陣A對應(yīng)于特征值2-2的全體特征向量為,例2 求矩陣 的特征值和特征向量,解,(1) A的特征方程為,所以A的特征值為12 24,(2) 當(dāng)12時,其基礎(chǔ)解系可取為,則矩陣A對應(yīng)于特征值12的全體特征向量為,例2 求矩陣 的特征值和特征向量,解,(3) 當(dāng)24時,其基礎(chǔ)解系可取為,則矩陣A對應(yīng)于特征值24的全體特征向量為,例3 求矩陣 的特征值和特征向量,解,(1) A的特征方程為,所以A的特征值為124， 32,例3 求矩陣 的特征值和特征向量,解,A的特征值為1=2=4 32,(2) 當(dāng)12=4,其基礎(chǔ)解系可取為,則矩陣A對應(yīng)于特征值12=4的全體特征向量為,例3 求矩陣 的特征值和特征向量,解,A的特征值為1=2=4 32,(3) 當(dāng)3=2,其基礎(chǔ)解系可取為,則矩陣A對應(yīng)于特征值32的全體特征向量為,例4 求矩陣 的特征值和特征向量,解,(1) A的特征方程為,所以A的特征值為1=2=1 32,例4 求矩陣 的特征值和特征向量,解,A的特征值為1=2=1 32,(2) 當(dāng)12=1,其基礎(chǔ)解系可取為,則矩陣A對應(yīng)于特征值12=1的全體特征向量為,例4 求矩陣 的特征值和特征向量,解,A的特征值為1=2=1 32,(3) 當(dāng)32,其基礎(chǔ)解系可取為,則矩陣A對應(yīng)于特征值3=2的全體特征向量為,在復(fù)數(shù)范圍內(nèi) n 階矩陣 A 有 n 個特征值（重根按重數(shù)計算） 設(shè) n 階矩陣 A 的特征值為 l1, l2, , ln，則 l1 + l2 + + ln = a11 + a22 + + ann l1 l2 ln = |A| （利用根與系數(shù)的關(guān)系可證，證明不要求。但性質(zhì)本身需牢固掌握）,四 特征值與特征向量的性質(zhì),例5 設(shè)是方陣A的特征值 證明 (1) 2是A2的特征值,證明,因?yàn)槭茿的特征值,故有X0,使AXX,于是,(1) A2X,2X,(AX),A(X),A(AX),所以2是A2的特征值,因?yàn)閄0 知0,有XA1X,由AXX,(2) 當(dāng)A可逆時,(2) 當(dāng)A可逆時, 是 的特征值,是 的特征值,例5：設(shè) l 是方陣 A 的特征值，證明 (1) l2 是 A2 的特征值； (2) 當(dāng) A 可逆時，1/l 是 A1 的特征值 結(jié)論：若非零向量 p 是 A 對應(yīng)于特征值 l 的特征向量，則 l2 是 A2 的特征值，對應(yīng)的特征向量也是 p lk 是 Ak 的特征值，對應(yīng)的特征向量也是 p 當(dāng) A 可逆時，1/l 是 A1 的特征值，對應(yīng)的特征向量仍然是 p ,一般地，令,則,例6：設(shè)3 階方陣 A 的特征值為1, 1, 2，求 A* +3A2E 的特征值 解： A* +3A2E = |A| A1 +3A2E = 2A1 +3A2E = j (A) 其中|A| = 1×(1) ×2 = 2 從而A* +3A2E的特征值分別為,例7 主對角線上的元素為1，2-n的n階對角矩陣或三角形矩陣A的n個特征值就是其主對角線上的n個元素1，2-n,定理4 n階方陣A與它的轉(zhuǎn)置矩陣AT有相同的特征值,證明,轉(zhuǎn)置矩陣AT的特征多項(xiàng)式為,即方陣A與它的轉(zhuǎn)置矩陣AT有相同的特征多項(xiàng)式,所以方陣A與它的轉(zhuǎn)置矩陣AT有相同的特征值,例8 證明: 方陣A為奇異矩陣的充要條件是A有一個特征值為0,證明,必要性,則,如果A為奇異陣,所以A有一個特征值為0,充分性,如果A有一個特征值為0，對應(yīng)的特征向量為X,則,有非0解,所以 |A|=0,定理3 n階方陣A可逆的充要條件是A的每一個特征值均不為0,p120定理2 設(shè)1 2 m(mn)是n階方陣A的m個互不同特征值X1 X2 Xm分別是A對應(yīng)于1 2 m的特征向量 則 X1 X2 Xm線性無關(guān),A (k1X1k2X2 ks Xs)0,證明,設(shè)有常數(shù)k1 k2 ks,1k1X12k2X2 sks Xs0,用數(shù)學(xué)歸納法,m=1時 X10 顯然成立,使 k1X1k2X2 ks Xs0,設(shè) m=s-1時 X1 X2 Xs-1線性無關(guān),現(xiàn)證明 m=s時 X1 X2 Xs線性無關(guān),k1X1k2X2 ks Xs0,sk1 X1s k2X2 s ks Xs0,1k1X12k2X2 sks Xs0,兩邊同乘s,兩式相減,(s -1)k1X1 (s - 2)k2X2 (s - s-1)ks-1 Xs-10,所以 X1 X2 Xs線性無關(guān),由設(shè) m=s-1時 X1 X2 Xs-1線性無關(guān),由數(shù)學(xué)歸納法知,對任意正整數(shù)m,結(jié)論成立,p121例10 設(shè)1和2是矩陣A的兩個不同的特征值 對應(yīng)的特征向量依次 為X1和X2 證明X1 X2不是A的特征向量,用反證法 假設(shè)X1X2是A的特征向量 則應(yīng)存在數(shù) 使 A(X1X2)(X1X2) 于是,證明,按題設(shè) 有AX11X1 AX22X2 故,A(X1X2)1X12X2,即(1)X1(2)X20,(X1X2) AX1AX2 1X12X2,因此X1X2不是A的特征向量,與題設(shè)12矛盾,即12,120,故由上式得,因?yàn)閄1 X2線性無關(guān),定理6 設(shè)1 2 m是方陣A的m個互不同特征值,為1的r1個線性無關(guān)特征向量,為2的r2個線性無關(guān)特征向量, ,為m的rm個線性無關(guān)特征向量,則 向量組,共r1+ r2+ +rm個,線性無關(guān),例3 求矩陣 的特征值和特征向量,解,(1) A的特征方程為,所以A的特征值為124， 32,(2) 當(dāng)12=4,其基礎(chǔ)解系可取為,(3) 當(dāng)3=2,其基礎(chǔ)解系可取為,由定理6可知,X1，X2 X3線性無關(guān),定理7 設(shè)是n階方陣A的一個k重特征值則A對應(yīng)于的線性無關(guān)的特征向量的最大個數(shù)為l ,則 lk,線性無關(guān)特征向量的個數(shù)不超過特征值的重數(shù),定理8 設(shè)是n階方陣A的1重特征值則A對應(yīng)于的線性無關(guān)的特征向量有且只有1個,