高中數(shù)學(xué) 3.2.3兩角和與差的正切函數(shù)課件 北師大版必修4.ppt

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2.3 兩角和與差的正切函數(shù),兩角和與差的正切公式,sinαcosβ-cosαsinβ,cosαcosβ+sinαsinβ,sinαcosβ+cosαsinβ,cosαcosβ-sinαsinβ,1．判一判 (正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)tan(α±β)=tan α±tan β.( ) (2)tan(α+β)= ( ) (3)tan(40°+50°)= ( ) (4)tan 120°=tan(30°+90°)= ( ),【解析】(1)錯(cuò)誤，因?yàn)閠an(α±β)= (2)錯(cuò)誤，因?yàn)閠an(α+β)= (3)錯(cuò)誤，tan(40°+50°)中40°+50°=90°,不成立. (4)錯(cuò)誤,因?yàn)閠an 90°不存在. 答案：(1)× (2)× (3)× (4)×,2.做一做(請(qǐng)把正確的答案寫在橫線上) (1)tan(30°+45°)=_________. (2)tan(60°-45°)=_________. (3) =_________. (4) =_________.,【解析】(1)原式= 答案： (2)原式= 答案：2-,(3)原式=tan(78°-18°)=tan 60°= . 答案： (4)原式=tan(22°+23°)=tan 45°=1. 答案：1,【要點(diǎn)探究】 知識(shí)點(diǎn) 正切的和、差角公式Tα±β 1.公式成立的條件 角α,β以及α±β均不能等于kπ+ (k∈Z)，且tanαtanβ ≠1(或tan αtan β≠-1).,2.結(jié)構(gòu)特征 公式Tα±β的右側(cè)為分式形式，其中分子為tan α與tan β的和或差，分母為1與tan αtan β的差或和.,3.符號(hào)規(guī)律：分子同，分母反.,【微思考】 (1)正用Tα±β時(shí)應(yīng)注意什么? 提示：應(yīng)注意①角α±β及α,β的范圍及分母不為零； ②分子、分母中間符號(hào)的選取及“1”的位置. (2)逆用Tα±β的關(guān)鍵是什么？ 提示：利用相關(guān)三角知識(shí)將逆用的三角函數(shù)式化簡到Tα±β公式右邊的結(jié)構(gòu)，再逆用公式.,【即時(shí)練】 1.tan(-165°)的值是( ) 2.計(jì)算 的值為__________.,【解析】1.選C.原式=tan 15°=tan(60°-45°) = 2. =tan(45°-75°)= 答案：,【題型示范】 類型一 利用Tα±β求值 【典例1】 (1)(2014·渭南高一檢測(cè))已知 那么 =_________. (2)(2013·焦作高一檢測(cè))化簡: =_________. (3)設(shè)tan α，tan β是方程ax2-(2a+1)x+(a+2)=0的兩根，求 tan(α+β)的最小值.,【解題探究】 1.題(1)中β+ ,可拆分為α+β與α- 的關(guān)系嗎？ 2.題(2)中所求式子能否化為 的形式？ 3.分析公式Tα+β的整體結(jié)構(gòu)，題(3)中要求tan(α+β),需要 知道哪些量？,【探究提示】1. 2.可化為 的形式. 3.需要知道tan α與tan β的和與積.,【自主解答】(1)因?yàn)?所以 = 答案： (2)原式= 答案:1,(3)由tan α，tan β是方程的兩根得： 且a≠0， 又 所以tan(α+β)= 所以tan(α+β)的最小值是,【延伸探究】 若將題(2)中式子變?yōu)椤? ”，則 其化簡結(jié)果如何？ 【解析】原式=,【方法技巧】 1.從三個(gè)角度入手直接利用公式Tα±β求值 (1)復(fù)角化單角:公式tan(α－β)= 及tan(α+β) = 反映了復(fù)角化單角的思想，即要求α±β的正 切函數(shù)值，只需知道tan α和tan β的值，代入求解便可. (2)整體意識(shí)：公式Tα±β中有兩個(gè)小團(tuán)體“tan α±tan β ” 及“tan αtan β ”，求解時(shí)可利用整體思想代入求解.,(3)角的配湊：公式Tα±β中α,β只代表了角的某一形式，其 可能是單純的α，β，也可能是某些小團(tuán)體，如等式 中 相當(dāng)于α, 相當(dāng)于β.,2.逆用公式的技巧 在三角函數(shù)的化簡、求值過程中，通常存在著兩種形式的逆用： 公式的逆用和特殊角三角函數(shù)的逆用.當(dāng)式子中出現(xiàn) 這些特殊角的三角函數(shù)值時(shí)，往往就是“由值變角”的一種提 示，可以根據(jù)問題的需要，將常數(shù)用三角函數(shù)式表示出來，以 構(gòu)成適合公式的形式，從而達(dá)到化簡的目的.,【變式訓(xùn)練】已知tan(α+β)=5，tan(α-β)=3，求tan 2α， tan 2β， 【解題指南】利用2α=(α+β)+(α-β)，2β=(α+β)-(α- β). 進(jìn)行求解.,【解析】tan 2α=tan ［(α+β)+(α-β)］ = tan 2β=tan ［(α+β)-(α-β)］ =,【補(bǔ)償訓(xùn)練】 若 則 =__________. 【解析】 答案:,類型二 利用公式Tα±β求角 【典例2】 (1)(2014·漢中高一檢測(cè))已知tan α，tan β是方程x2+ x+4=0的兩根，且 則α+β的值為 ( ),(2)(2014·上饒高一檢測(cè))已知tan(α-β)= ,tan β= , 且α,β∈(0,π), ①求tan α; ②求2α-β的值.,【解題探究】 1.一元二次方程ax2+bx+c=0中，根與系數(shù)有怎樣的關(guān)系？ 2.題(2)中α是否可拆分為α-β與β的和或差?2α-β是否可拆分為α與α-β的和或差? 【探究提示】1.x1+x2= x1x2= 2.α=(α-β)+β,2α-β=α+(α-β).,【自主解答】(1)選B.由已知得,tan α+tan β= tan αtan β=4，所以tan α＜0，tan β＜0, tan (α+β)= 所以- ＜α＜0,- ＜β＜0， 所以-π＜α+β＜0,所以α+β=,(2)①tan α=tan(α-β)+β= ②tan(2α-β)=tan［(α-β)+α］= 又α，β∈(0,π),tan α= ＜1,tan β= ＜0, 所以 所以2α-β∈(-π,0),故2α-β=,【方法技巧】利用公式Tα±β求角的步驟 (1)求值.計(jì)算待求角的正切函數(shù)值. (2)求范圍.借助已知角的范圍及題目隱含信息，求相關(guān)角的范圍，注意角的范圍越小越好. (3)求角.借助角的范圍及角的三角函數(shù)值求角.,【變式訓(xùn)練】在△ABC中，tan A+tan B+ = tan Atan B， 則角C等于( ) 【解析】選A.由題意tan A+tan B=- (1-tan Atan B)， 故tan(A+B)= 又A+B+C=π，所以,【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2013·新余高一檢測(cè))已知tan(α+β)= , tan β= ,且 (1)求tan α的值. (2)求2α+β的值. 【解析】(1)tan α=tan(α+β-β)=,(2)tan(2α+β)=tan［α+(α+β)］= 又因?yàn)?且tan(α+β)= ＞0,所以α+β∈ 所以2α+β∈(0,π),所以2α+β= .,拓展類型 利用公式Tα±β的變形求值 【備選例題】(1)化簡：tan 10°tan 20°+tan 20°tan 60° +tan 60°tan 10°的值等于( ) A.1 B.2 C.tan 10° D. tan 20° (2)化簡:(1+tan 1°)(1+tan 2°)…(1+tan 44°).,【解析】(1)選A.因?yàn)閠an (20°+10°) = 所以tan 20°+tan 10°=tan 30°(1-tan 20°tan 10°)， 所以原式=tan 10°tan 20°+ tan 30°(1-tan 20°tan 10°) =tan 10°tan 20°+1-tan 20°tan 10°=1.,(2)由兩角和的正切公式可知： 可知：tan 1°+tan 44°=1-tan 1°tan 44°， 所以tan 1°+tan 44°+tan 1°tan 44°=1. 所以(1+tan 1°)(1+tan 44°) =1+tan 1°+tan 44°+tan 1°tan 44°=2， 同理(1+tan 2°)(1+tan 43°)=2，…， 所以(1+tan 1°)(1+tan 2°)…(1+tan 44°)=222.,【方法技巧】 1.兩角和的正切公式的幾種變形 (1)tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β). (2)1-tan αtan β= (3)tan α+tan β+tan α·tan β·tan (α+β)= tan (α+β). (4)tan α·tan β=,2.應(yīng)用Tα±β變形公式的解題技巧 解答由異角正切值的和或差或積構(gòu)成的三角求值問題時(shí)，常將待求式變形為滿足Tα±β變形公式的結(jié)構(gòu)，從而應(yīng)用變形公式求值.,【規(guī)范解答】兩角和與差的正切公式的綜合應(yīng)用 【典例】(12分)(2014·淮南高一檢測(cè))如圖， 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)x軸為始邊作兩 個(gè)銳角α,β，它們的終邊分別與單位圓交于 A,B兩點(diǎn)．已知A,B的橫坐標(biāo)分別為 (1)求tan(α＋β)的值. (2)求α＋2β的值．,【審題】抓信息，找思路,【解題】明步驟，得高分,【點(diǎn)題】警誤區(qū)，促提升 失分點(diǎn)1：解題時(shí)若在①處漏掉α為銳角，會(huì)使sin α的結(jié)果出現(xiàn)正負(fù)兩個(gè)值，則會(huì)導(dǎo)致多解而失分. 失分點(diǎn)2：解題時(shí)若在②處不會(huì)把α+2β變形為(α+β)+β，使得下面無法進(jìn)行而導(dǎo)致此題最多得6分. 失分點(diǎn)3：解題時(shí)若在③處忽視用α和β的范圍來限制α+2β的范圍，而直接得α+2β的值，最多得10分.,【悟題】提措施，導(dǎo)方向 1.確定角的范圍 由于角的范圍會(huì)直接影響三角函數(shù)方程解的個(gè)數(shù),因此,角的范圍的確定是求角問題中最為關(guān)鍵的因素. 2.注意挖掘隱含條件 在確定所求角的范圍時(shí)除了考慮給定的角的范圍外,還要從給定的三角函數(shù)值上進(jìn)一步縮小角的范圍,防止出現(xiàn)增根.,【類題試解】(2014·寶雞高一檢測(cè))三個(gè)相同的正方形并排相 連.求證:α+β+γ= .,【證明】由題圖易知γ= ,所以只需證明α+β= .由題圖 可知,tan α= ,tan β= ,且α,β∈ 則tan(α+β) = 因?yàn)?＜α＜ ,0＜β＜ ,所以0 ＜α+β＜π. 而在區(qū)間(0,π)內(nèi)，正切值為1的角有且只有1個(gè)，即 .所以 α+β= ,所以α+β+γ= .,