高中數(shù)學 3.3.2二倍角的三角函數(shù)（二）課件 北師大版必修4.ppt

§3 二倍角的三角函數(shù)(二),半角公式,2cos2-1,1-2sin2,2,1.判一判(正確的打“”，錯誤的打“×”) (1) ( ) (2) ( ) (3) ( ) (4)半角公式實質(zhì)就是二倍角公式的變形.( ),【解析】(1)錯誤. (2)錯誤. (3)錯誤. (4)正確.半角公式可由二倍角公式變形得到. 答案：(1)× (2)× (3)× (4),2.做一做(請把正確的答案寫在橫線上) (1)計算：sin 15°=_. (2)計算：tan 22.5°=_. (3)化簡： =_.,【解析】(1)sin 15°= 答案： (2)tan 22.5°= 答案： (3) 答案：,【要點探究】 知識點 半角公式 1.半角公式與二倍角公式的關系 半角公式與二倍角公式功能各異，本質(zhì)相同，對立統(tǒng)一.,2.公式適用的條件 (1)半角的正弦和余弦公式對任意的角都成立. (2) 和 中要求角 2k+,kZ,而 中則要求角 k,kZ.,3.半角公式的應用 (1)半角公式給出了求 的正弦、余弦、正切的另一種方式， 即只需知道cos 的值及相應的條件，便可求出 (2)由于 不含被開方數(shù)，且不 涉及符號問題，所以求解關于 的題目時，使用相對方 便，但需要注意該公式成立的條件.,(3)涉及函數(shù)的升降冪及角的二倍關系的題目，常用 求解.,【知識拓展】萬能代換公式,【微思考】 (1)半角公式的等式兩端有什么變化？ 提示：半角公式的等式兩端，從左向右，方次降低，角度加 倍，從右向左,方次增大,角度減半. (2)如何確定 公式中的正負號? 提示:依據(jù) 所在象限相應的三角函數(shù)值的符號確定，如果 所在象限無法確定，則應保留sin ，cos 公式中的正 負號.,【即時練】 1.設 則sin 等于( ),2.已知 則 等于( ),【解析】1.選D.因為 所以 所以 因為acos 所以,2.選C.方法一：因為sin 0，cos 0, 所以的終邊落在第一象限， 的終邊落在第一、三象限. 所以tan 0,故tan = 方法二：,【題型示范】 類型一 利用半角公式求解給值求值問題 【典例1】 (1)(2014·合肥高一檢測)若sin(-)= 且 則 =( ) (2)已知 求 的值.,【解題探究】1.如何由sin 求cos ?如何用cos 表示 2.半角公式的有理形式是什么？ 【探究提示】1. 2.,【自主解答】(1)選B.sin(-)=sin = 又 所以 由cos = 得， 所以,(2)分子、分母同除以sin 得 =,【延伸探究】在題(1)條件不變的情況下，求 【解析】由題(1)解析知， (方法一)得 (方法二),【方法技巧】利用半角公式求值的思路 (1)看角.若已知三角函數(shù)式中的角是待求三角函數(shù)式中角的兩倍，則常常借助半角公式求解. (2)明范圍.由于半角公式求值常涉及符號問題，因此求解時務必依據(jù)角的范圍，求出相應半角的范圍.,(3)選公式.涉及半角公式的正切值時，常用 其優(yōu)點是計算時可避免因開方帶來的求角的范圍問 題；涉及半角公式的正、余弦值時，常先利用 計算. (4)下結(jié)論.結(jié)合(2)求值.,【變式訓練】(2013·宿州高一檢測)已知 求 的值 【解題指南】利用sin2cos21求得cos ，代入半角 公式求解,【解析】因為 所以cos 又因為 所以 或,【補償訓練】已知 則 的值分別為( ),【解析】選B.因為 所以 由cos = 得 又 所以,類型二 利用半角公式化簡與證明 【典例2】 (1)化簡:cos2(+15°)+sin2(-15°)+sin(+180°)· cos(-180°)=_. (2)求證:,【解題探究】1.題(1)中如何把cos2(+15°),sin2(-15°)降冪？ 2.題(2)證明本題的關鍵是什么？ 【探究提示】1.cos2(+15°)= 2.借助公式把“1”消去.,【自主解答】(1)原式 答案：1,(2)左邊=,【方法技巧】利用半角(倍角)公式化簡的基本思路 (1)降次.一般運用公式 化次數(shù)較高的三角函數(shù)為次數(shù)較低的三角函數(shù). (2)統(tǒng)一函數(shù)名稱.化多種三角函數(shù)為單一的三角函數(shù). (3)統(tǒng)一角.化多角為單一角，減少角的種類. (4)弦切互化.一般地，若要化簡的式子中含有正切，則需要將正切化為正余弦；有時候也需要將弦化為切，要視已知條件或式子結(jié)構而定.,【變式訓練】化簡： (0). 【解題指南】由的范圍先確定出 的范圍，利用半角 公式將分母中根號里面的式子轉(zhuǎn)變成完全平方的形式.,【解析】因為0，所以0 ， 所以原式,【補償訓練】求證： 【證明】原式= = = =右邊.所以原等式成立.,類型三 三角恒等變換與三角函數(shù)的綜合問題 【典例3】 (1)(2014·合肥高一檢測)設aR,f(x)=cos x(asin x-cos x) + 滿足 =f(0),當x 時，則f(x)的值 域為( ),(2)已知函數(shù)f(x)cos4x2sin xcos xsin4x. 求函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間. 求當函數(shù)f(x)取最大值時的自變量x的值.,【解題探究】1.求解題(1)的關鍵是什么？ 2.如果遇到sin4x+cos4x或者sin4x-cos4x，一般的處理思路是什么？ 【探究提示】1.關鍵是利用三角恒等變換將函數(shù)的解析式化為y=Asin(x+)的形式. 2.遇到sin4x+cos4x或者sin4x-cos4x一般的處理思路是把前者配成完全平方的形式，即sin4x+cos4x=(sin2x+cos2x)2-2sin2xcos2x；而后者往往采取因式分解的形式，即sin4x-cos4x=(sin2x+cos2x)(sin2x-cos2x).,【自主解答】(1)選D.f(x)=asin xcos x-cos2x+sin2x = asin 2x-cos2x, 又 =f(0), 即 得 所以f(x)= 又x 所以 所以f(x),(2)根據(jù)題意可知f(x)cos4x2sin xcos xsin4x (cos4xsin4x)2sin xcos x (cos2xsin2x)(cos2xsin2x)2sin xcos x cos 2xsin 2x ,由 得遞增區(qū)間為 (kZ). 要使函數(shù)f(x)取最大值，自變量x應滿足 kZ，即 時，f(x)取最大值 ，此時x的集合 為,【方法技巧】較復雜三角函數(shù)性質(zhì)問題研究流程,【變式訓練】(2014·寶雞高一檢測)已知函數(shù)f(x)=sin2x+ 2sin xcos x+3cos2x,xR.求： (1)函數(shù)f(x)的最大值及取得最大值時的自變量x的取值集合. (2)函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.,【解析】(1)方法一： f(x)= =2+sin 2x+cos 2x= 所以當 即 (kZ)時，f(x)取得最大值 函數(shù)f(x)取得最大值時的自變量x的集合為,方法二： f(x)=(sin2x+cos2x)+2sin xcos x+2cos2x=2sin xcos x+1+ 2cos2x=sin 2x+cos 2x+2= 所以當2x+ =2k+ ,即x=k+ (kZ)時，f(x)取得最大值 函數(shù)f(x)取得最大值時的自變量x的集合為,(2)f(x)= 由題意得：2k+ 2x+ 2k+ (kZ), 即： (kZ).因此,函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間為,【補償訓練】函數(shù)y=sin6x+cos6x的最小正周期為_ 【解析】y=sin6x+cos6x=(sin2x+cos2x)(sin4x+cos4x- sin2xcos2x) =1-3sin2xcos2x= 函數(shù)y=sin6x+cos6x的最小正周期為 答案：,【易錯誤區(qū)】應用半角公式求值時的易錯點 【典例】設34， 等于( ),【解析】選B.由于 可得 又34，所以 所以 所以,【常見誤區(qū)】,【防范措施】 明確三角函數(shù)值的符號 應用半角公式求值時，要特別注意半角的三角函數(shù)值符號 的確定，否則會出現(xiàn)符號的失誤，如本例處對角的范圍的計 算，是明確 值的符號的關鍵.,【類題試解】若 是第三象限的角，則 等于( ) A. B. C.2 D.2,【解析】選A.因為是第三象限角， 所以sin = 所以,